差分運算與差分表

差分DifferencestyleUintageUintage11UintageColleater1差分運算Uintage2差分表411Passone1101PASS01差分的作用ThebestqualityforyouⅠ客觀世界許多變量本身就是離散的(如酵母細(xì)胞的分裂,股市的開盤或收盤價的按日記錄等),它們表現(xiàn)出的函數(shù)關(guān)系也是離散的;Ⅱ現(xiàn)實世界中存在著大量的連續(xù)函數(shù)關(guān)系難以用解析式表示(如河流水位的高低作為時間的函數(shù)等),人們只能測得其一系列值而得到一個數(shù)列;Ⅲ有些函數(shù)關(guān)系盡管能用解析式表示,但其解析式比較復(fù)雜(如捕食與被捕食種群數(shù)的變化、接觸性傳染病的傳播等).在不妨礙研究結(jié)果有效性的前提下,為了方便,人們也愿意把對連續(xù)函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對數(shù)列的研究.而計算機技術(shù)的發(fā)展,更為數(shù)列的研究提供了方便,使數(shù)列模型的應(yīng)用也日趨廣泛.1101BriefintroductionPASS01

差分的定義1101BriefintroductionPASS01

記M={f|f:N0C

}。定義M上的移位算子E為：

Ef(n)=f(n+1).同樣定義Ek

f(n)

=E(Ek－1f(n)

)=f(n+k)。記I=E0

f(n)

=f(n)為恒等算子。

則有=E-I，E=I+。

差分的定義1101定理4.4

設(shè)f∈M，則有公式1101BriefintroductionPASS01

對實數(shù)域R上的任一函數(shù)f(x),定義f(x)的差分算子為：f(x)=f(x+1)-f(x).

f

稱為f的一階差分。

對k>1，定義k

f=(k－1

f)為f的k階差分。定理4.5設(shè)

f(x)是一個n次多項式，則n

f是常數(shù)，且n+1

f=0.1101BriefintroductionPASS01

定理4.6設(shè)mk,則11Passtwo1101BriefintroductionPASS01設(shè)f(x)是實數(shù)域R上的任一函數(shù)，下面的數(shù)值表稱為

f(x)的差分表

f(0)f(1)f(2)

f(3)……

f(0)

f(1)

f(2)

f(3)……

2

f(0)2

f(1)2

f(2)2

f(3)………………kf(0)kf(1)kf(2)kf(3)………………..差分表1101BriefintroductionPASS01

定理4.8設(shè)p(x)是一個n次多項式，則證

由定理4.5,x(x–1)…(x–m+1)/m!的差分表的左邊沿值為0,0,…,0,1,0,…,m個0的差分表的左邊沿值是p(0),

p(0),…,np(0),0,…p(x)的差分表有相同的左邊沿值p(0),p(0),…,np(0),0,…1101BriefintroductionPASS01

定理4.9設(shè)p(x)是一個n次多項式，則

證由定理4.8,因為1101BriefintroductionPASS01

例2h2(n)表示一平面被n條位于一般位置的直線（每兩條直線交于一點，沒有三條交于一點）所劃分的區(qū)域數(shù)；h3(n)表示三維空間被n個位于一般位置的平面(每兩個平面交于一條直線，沒有三個平面交于一條直線，每三個平面交于一點，但沒有四個平面交于一點)所劃分的區(qū)域數(shù)。

試求h2(n)，h3(n).1101BriefintroductionPASS01

解用h1(n)表示一條直線被n個不重合的點所劃分的線段數(shù)。有h1(0)=1,h1(1)=2,h1(2)=3,…,h1(n)=n+1.

考慮一平面被n-1條位于一般位置的直線劃分成h2(n-1)個區(qū)域.在平面內(nèi)插入第n條直線使其位于一般位置。

h2(n)=h2(n-1)+h1(n-1)或h2(n)–h2(n-1)=h1(n-1)=h2(n-1)這個式子表明h2(n)的差分表可從h1(n)的差分表得到.方法是在h1(n)的差分表的上面排出新的一行

h2(0),h2(1),h2(2),…1101BriefintroductionPASS01

現(xiàn)在考慮三維空間被n個位于一般位置的平面劃分成h3(n-1)個區(qū)域，在這個空間中插入第n個平面使其位于一般位置。先前的n-1個平面與第n個平面交于n-1條直線.這n-1條直線在第n個平面上位于一般位置，它們把第n個平面分割成h2(n-1)平面區(qū)域。而每一個這樣平面區(qū)域把該平面所路過的空間區(qū)域分成兩個空間區(qū)域。于是

h3(n)=h3(n-1)+h2(n-1)或h3(n)–h3(n-1)=h2(n-1)=h3(n-1)1101BriefintroductionPASS01

h3(n)=h3(n-1)+h2(n-1)或h3(n)–h3(n-1)=h2(n-1)=h3(n-1).這個式子表明h3(n)的差分表可從h2(n)的差分表得到.方法是在h2(n)的差分表的上面排出新的一行

h3(0),h3(1),h3(2),…

用h1(n)的差分表可得到h2(n),h3(n)的差分表h3(0)h3(1)h3(2)h3(3)…

h2(0)h2(1)h2(2)h2(3)…

1234……1111……0000……