ch3-3二階系統(tǒng)的時域響應

2023/2/63-3二階系統(tǒng)的時域響應一、二階系統(tǒng)數學模型（√）二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應（√）三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析（√）四、過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析（√）五、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應（自學）六、二階系統(tǒng)性能的改善（√）七、非零初始條件下二階系統(tǒng)的響應過程（自學)實例1：實驗二二階系統(tǒng)的時域響應

R(s)C(s)一、二階系統(tǒng)的數學模型R(s)C(s),

實例1：實驗二二階系統(tǒng)的時域響應2023/2/6實例2位置控制系統(tǒng)原理圖(P71)>SM發(fā)送減速器K12023/2/6>SM發(fā)送減速器二階系統(tǒng)的標準數學模型：開環(huán)傳函：閉環(huán)傳函：（1）傳遞函數2023/2/6R(s)C(s)二階系統(tǒng)的標準形式結構圖：2023/2/6二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應系統(tǒng)的特征方程為：特征方程式的特征根為：可見：這些根與阻尼比有關√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ωnS1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0二階系統(tǒng)根的分布

2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξ2023/2/61、實部為負的一對共軛復根稱阻尼振蕩角頻率平移性質平移性質2023/2/61．欠阻尼（）的情況

(續(xù))

特征方程的根為：系統(tǒng)輸出響應為：j0特征：衰減震蕩曲線衰減系數2023/2/6

圖3-10以參變量的二階系統(tǒng)單位階躍響應2023/2/62、無阻尼（=0）的情況

C(t)特征方程式的根為：系統(tǒng)的輸出響應為：特征：等幅震蕩曲線2023/2/63．臨界阻尼（=1）的情況C(t)系統(tǒng)的特征方程式的根為：特征：穩(wěn)態(tài)值為1的單調上升曲線4、過阻尼（）

系統(tǒng)的特征根為：過阻尼系統(tǒng)分析:衰減項的冪指數的絕對值一個大，一個小。絕對值大的離虛軸遠，衰減速度快，絕對值小的離虛軸近，衰減速度慢；衰減項前的系數一個大，一個小；二階過阻尼系統(tǒng)的動態(tài)響應呈非周期性，沒有振蕩和超調，但又不同于一階系統(tǒng)；離虛軸近的極點所決定的分量對響應產生的影響大，離虛軸遠的極點所決定的分量對響應產生的影響小，有時甚至可以忽略不計。與一階系統(tǒng)階躍響應的比較tc(t)0二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)響應1j0j0j0j0s1s2ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0二階系統(tǒng)單位

階躍響應定性分析Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2過阻尼臨界阻尼欠阻尼無阻尼2023/2/6三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調量σ%=AB100%動態(tài)性能指標定義2(圖3-1)h(t)t調節(jié)時間tsβ欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析(圖3-11)j0欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能計算(P77)由σ%=h(∞)h(tp)－h(huán)(∞)100%令h(t)一階導為0，取其解中的最小值或弧度令h(t)=1取其解中的最小值，2023/2/6h(t)ts的計算(P82)由包絡線求調節(jié)時間ts0.050.10.20.30.40.50.60.70.82.9973.0013.0163.0433.0833.1403.2193.3323.5060.050.10.20.30.40.50.60.70.83.9133.9173.9323.9593.9994.0564.1354.2694.4232023/2/6（1）上升時間tr

的計算

瞬態(tài)過程中第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間。當n一定時，阻尼比越大，則上升時間tr越長；當一定時，n越大，則tr越短，系統(tǒng)響應速度與一定成正比。2023/2/6（2）峰值時間的計算

將對求導，并令其導數為零，得

瞬態(tài)過程中第一次出現峰值的時間。2023/2/6（3）超調量的計算

最大超調量發(fā)生在第一個周期中時刻。

從上式知，二階系統(tǒng)的最大超調量與值有密切的關系，阻尼比越小，超調量越大。（4）調節(jié)時間ts

的計算調節(jié)時間近似與成反比關系。2023/2/6在設計系統(tǒng)時，一般系統(tǒng)的性能：注：超調量及調節(jié)時間兩項指標是在階躍輸入作用下計算的。再說欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能(補充)或弧度2023/2/6舉例設位置隨動系統(tǒng)，其結構圖如圖所示，當給定輸入為單位階躍時，試計算放大器增益KA＝200，1500，13.5時，輸出位置響應特性的性能指標：峰值時間tp，調節(jié)時間ts和超調量Mp，并分析比較之。2023/2/6輸入：單位階躍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數：2023/2/6當KA

＝200時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數：與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數對照得：2023/2/6當KA

＝1500時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數：與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數對照得：2023/2/6當KA

＝13.5時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數：與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數對照得：無2023/2/6系統(tǒng)在單位階躍作用下的響應曲線2023/2/6六、二階系統(tǒng)的性能改善1.誤差信號的比例－微分控制2023/2/6系統(tǒng)開環(huán)傳函為：閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：2023/2/6

可見，引入了比例－微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，使超調減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動態(tài)性能，因為它產生一種早期控制（或稱為超前控制），能在實際超調量出來之前，就產生一個修正作用。2023/2/6前面圖的相應的等效結構由此知道：2023/2/6和及的大致形狀如下一方面，增加項，增大了等效阻尼比，使曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使加上了它的微分信號，加速了c(t)的響應速度，但同時削弱了等效阻尼比的平穩(wěn)作用。2023/2/6總結：引入誤差信號的比例－微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的響應特性，還需要適當選擇微分時間常數。若大一些，使具有過阻尼的形式，而閉環(huán)零點的微分作用，將在保證響應特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。2023/2/62.輸出量的速度反饋控制將輸出量的速度信號c(t)采用負反饋形式，反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構成一個內回路，稱為速度反饋控制。如下圖示。2023/2/6閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振蕩傾向和超調量減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。2023/2/63.比例－微分控制和速度反饋控制比較從實現角度看，比例－微分控制的線路結構比較簡單，成本低；而速度反饋控制部件則較昂貴。從抗干擾來看，前者抗干擾能力較后者差。從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在相同的阻尼比和自然頻率下，采用速度反饋不足之處是其會使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內回路中被包圍部件的非線性特性、參數漂移等不利影響大大削弱。增大阻尼比的兩種方法(P83-87)2023/2/6例3-1

有一位置隨動系統(tǒng)，其結構圖如圖所示，其中K

=4。求該系統(tǒng)的（1）自然振蕩角頻率；（2）系統(tǒng)的阻尼比；（3）超調量和調節(jié)時間；（4）如果要求，應怎樣改變系統(tǒng)參數K

值。2023/2/6解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為

寫成標準形式：

得自然振蕩角頻率：阻尼比：由得超調量：調節(jié)時間：

2023/2/6

當要求時,

可見：

必須降低開環(huán)放大系數值，才能滿足二階工程最佳參數的要求。但應注意到，降低開環(huán)放大系數將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。

2023/2/6例3-2為了改善系統(tǒng)的暫態(tài)響應性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調量的要求，今加入微分負反饋，如圖所示，求微分時間常數。2023/2/6解：開環(huán)傳遞函數為閉環(huán)傳遞函數為

2023/2/6為了使，

由可求得并由此求得開環(huán)放大系數為2023/2/6結論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼比，減小階躍響應的超調量，縮短調節(jié)時間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強時，不用比例-微分控制。2023/2/6四、二階過阻尼系統(tǒng)階躍響應指標分析對于過阻尼二階系統(tǒng)的響應指標，只著重討論，它反映了系統(tǒng)響應過渡過程的長短，是系統(tǒng)響應快速性的一個方面，2023/2/6四、過阻尼二階系統(tǒng)性能指標(見P79)j0過阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析(補充)無零點的過阻尼二階系統(tǒng)階躍響應無振蕩無超調ξ不變時,ωn越大，調節(jié)時間ts越小j-a-b0ωn不變時,ξ越大，調節(jié)時間ts越大j0-a-b0.707012023/2/6Example3-3:electronicsystemR(s)C(s)2023/2/6T=RCK=Rx/R1取R=100K,C=1uf,則T=RC=0.1,Rx=50K,R1=100Kξ=0.25Mp(理論)=tS(理論)=tp(理論)=

Rx=100K,R1=100Kξ=0.5Mp(理