山西省長治市東火聯(lián)校東火中學2021年高二數(shù)學理期末試卷含解析

山西省長治市東火聯(lián)校東火中學2021年高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則++…+=（

）A.12

B.10

C.8

D.

2+參考答案：B2.直線x=t分別與函數(shù)、g（x）=的圖象交于P、Q兩點，當實數(shù)t變化時，|PQ|的最大值為（）A．2 B． C．1 D．參考答案：A【考點】三角函數(shù)的最值．【分析】將|PQ|表示成t的三角函數(shù)，利用公式asinx+bcosx=sin（x+θ）化簡|PQ|，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值．【解答】解：∵、g（x）=，∴|PQ|=|f（t）﹣g（t）|=|sin（2t﹣）﹣cos（2t﹣）|=|2sin（2t+）|≤2∴|PQ|的最大值為2，故選：A．3.若存在，使不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A4.當時，，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）

A．

B．（0，2）

C

D．參考答案：D5.散點圖在回歸分析過程中的作用是（

）

A．查找個體個數(shù)

B．比較個體數(shù)據(jù)大小關系

C．探究個體分類

D．粗略判斷變量是否線性相關參考答案：D6.設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是（

）A

B

C

D

參考答案：D略7.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1524石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．1365石 B．338石 C．168石 D．134石參考答案：C【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1524×=168石，故選：C．【點評】本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，比較基礎．8.如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)任取一點P，則點P到正六邊形六個頂點的距離都大于1的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】先求出正六邊形的面積，再求出到正六邊形一個頂點的距離小于等于的圖形面積，利用面積比即可求出結(jié)果.【詳解】因為正六邊形的邊長為2，所以其面積為；又到正六邊形頂點的距離小于等于1的圖像面積為，所以點到正六邊形六個頂點的距離都大于的概率為.故選A.【點睛】本題主要考查與面積有關的幾何概型，熟記概率計算公式即可，屬于基礎題型.9.已知等差數(shù)列前項和為，，210，130，=（

）（A）12

（B）14

（C）16

（D）18參考答案：B10.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，的對應值如下表：在下列區(qū)間內(nèi)，函數(shù)一定有零點的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（3x2+k）dx=10，則k=

．參考答案：1【考點】69：定積分的簡單應用．【分析】欲求k的值，只須求出函數(shù)3x2+k的定積分值即可，故先利用導數(shù)求出3x2+k的原函數(shù)，再結(jié)合積分定理即可求出用k表示的定積分．最后列出等式即可求得k值．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由題意得：23+2k=10，∴k=1．故答案為：1．【點評】本小題主要考查直定積分的簡單應用、定積分、利用導數(shù)研究原函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．12.已知變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值是

.參考答案：3

略13.直線：與曲線交點的個數(shù)為_________。

參考答案：314.設m∈R，復數(shù)z=2m2﹣3m﹣5+（m2﹣2m﹣3）i，當m=

時，z為純虛數(shù)．參考答案：【考點】A2：復數(shù)的基本概念．【分析】直接由實部為0且虛部不為0列式求解．【解答】解：由題意，得，解得m=．故答案為：．15.設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax+2y=0與直線l2：x+(a+1)y+4=0平行的

▲

條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”)參考答案：充分不必要條件16.方程組的增廣矩陣為

．參考答案：略17.不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集為． 參考答案：[﹣3，6]【考點】一元二次不等式的解法． 【專題】計算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應用． 【分析】不等式可化為（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，由此得到不等式的解集． 【解答】解：不等式x2﹣3x﹣18≤0，即（x+3）（x﹣6）≤0． 解得x≤﹣3≤x≤6， 故不等式解集為[﹣3，6]， 故答案為：[﹣3，6]． 【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線的焦點為,直線與軸交點為,與的交點為,且.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)過的直線與相交于兩點,若的垂直平分線與相交于兩點,且四點在同一圓上,求的方程.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)或試題分析：（Ⅰ）設點Q的坐標為（，4），把點Q的坐標代入拋物線C的方程，求得，根據(jù)求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）設l的方程為x=my+1（m≠0），代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程試題解析：(Ⅰ)設點,,則由拋物線定義知,所以得,即的方程為;(Ⅱ)如右圖所示,設,中點為,,則由得,其中恒成立,所以,,易求得,又,所以,,即,代入中得,,其中恒成立,故,,又易求得的中點,故,而由共圓知,,即,代入得,同時約去且化簡得,又,所以,即,也即直線或.考點：直線與圓錐曲線的綜合問題19.如圖，中心在原點的橢圓的焦點在x軸上，長軸長為4，焦距為2，O為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）是否存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）設橢圓的方程為：，由繼而求出b2=a2﹣c2=1，繼而得出橢圓方程．（Ⅱ）設直線斜率為k，則直線l的方程為：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為：，∵2a=4∴a=2…∵…∴b2=a2﹣c2=1…所以，橢圓的方程為：…（Ⅱ）法一：假設存在過M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，依題意可知OA⊥OB．①當直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸的端點，不符合題意

…②當直線l的斜率存在時，設為k，則直線l的方程為：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…設A（x1，y1），B（x2，y2），則…又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴∴∴k=±2…∴直線l的方程為：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（Ⅱ）法二：假設存在過M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，依題意可知OA⊥OB，設直線l的方程為：x=m（y﹣2）…由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…設A（x1，y1），B（x2，y2），則…又=…∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴∴，∴…∴所求直線的方程為：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0所以，存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合題，屬于難度較大的題目，計算量大，在高考中經(jīng)常在壓軸題中出現(xiàn)．20.如圖，A，B，C三個觀察哨，A在B的正南，兩地相距6km，C在B的北偏東60°，兩地相距4km.在某一時刻，A觀察哨發(fā)現(xiàn)某種信號，并知道該信號的傳播速度為1km/s；4秒后B,C兩個觀察哨同時發(fā)現(xiàn)這種信號。在以過A,B兩點的直線為y軸，以線段AB的垂直平分線為x軸的平面直角坐標系中，指出發(fā)了這種信號的地點P的坐標。參考答案：解:設點P的坐標為（x,y）,則A(0,-3),B(0,3),C().因為|PB|=|PC|，所以點P在BC的中垂線上．因為，BC中點D（），所以直線PD方程為①。又因為|PB|-|PA|=4，所以點P必在以A，B為焦點的雙曲線的下支上，雙曲線方程為②聯(lián)立①②，解得y=,或y=(舍去)所以x=所以P點坐標為（）21.已知圓O：，直線.（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB=時，求k的值.（2）若，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，探究：直線CD是否過定點；（3）若EF、GH為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值.參考答案：（1）∵∠AOB=，∴點O到l的距離

………2分∴=·

………4分（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設.其方程為：即

又C、D在圓O：上∴

即

………7分由

得

∴直線CD過定點

………9分（3）設圓心Ogc直線EF、GH的距離分別為.則

………11分∴

∴當且僅當即時，取“=”∴四邊形EGFH的面積的最大值為.

………14分22.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；參考答案：解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，

……………2分∴點(2，－6)在曲線上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

∴在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.

……………4分∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32.

……………6分(2)設切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝