第一章 誤差估算與數(shù)據(jù)處理方法

§1.1誤差基礎(chǔ)知識§1.2誤差的處理§1.3直接測量的數(shù)據(jù)處理§1.4間接測量的數(shù)據(jù)處理§1.5常用數(shù)據(jù)處理方法第1章誤差估算與數(shù)據(jù)處理方法下一頁章目錄返回上一頁§1.1常用基本概念§1.1.1測量(Measurement)§1.1.2誤差(Error)§1.1.3精度(Trueness)§1.1.4不確定度(Uncertainty)§1.1.5有效數(shù)字(Significantfigure)下一頁章目錄返回上一頁1.1.1測量1.測量的定義測量是利用儀器設(shè)備通過一定測量方法，將待測物理量與一個選做為標(biāo)準(zhǔn)的同類物理量進(jìn)行比較，確定待測物理量大小的過程。測量三個要素

(1)測量方法；(2)儀器設(shè)備；(3)測量結(jié)果

比較法

米尺

90.70cm§1-1誤差基礎(chǔ)知識測量的目的：獲得測量值(數(shù)據(jù))。例如：用最小刻度為mm的米尺測量物體的長度。90.70cm下一頁章目錄返回上一頁按測量結(jié)果獲得方法：測量可分為直接測量和間接測量在物理量的測量中，絕大多數(shù)是間接測量，但是，直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。

2.

測量的分類(1)直接測量用標(biāo)準(zhǔn)量與待測量直接進(jìn)行比較。例如：用直尺測量長度；以表計時間；天平稱質(zhì)量；安培表測電流；等等。

(2)間接測量經(jīng)過直接測量與待測量有函數(shù)關(guān)系的物理量，再經(jīng)過運(yùn)算得到待測物理量的測量方法。例如：用鋼卷尺測量桌子的面積S=a×b=S(a,b)下一頁章目錄返回上一頁按測量條件：測量可分為等精度測量和不等精度測量

2.

測量的分類(1)等精度測量相同測量條件下，對同一被測量進(jìn)行重復(fù)性測量。相同測量條件：同一測量水平的觀測者同一精度的儀器同樣的實(shí)驗(yàn)方法同樣的實(shí)驗(yàn)環(huán)境等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度相同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位相同，一視同仁。(2)非等精度測量不相同測量條件下，對同一被測量進(jìn)行重復(fù)性測量。非等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度不同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位不同，按測量精度的高低，區(qū)別對待。下一頁章目錄返回上一頁按被測量在測量過程中所處的狀態(tài)，測量可分為靜態(tài)測量和動態(tài)測量

2.

測量的分類(1)靜態(tài)測量在測量過程中被測量固定不變，不隨時間變化。靜態(tài)測量不考慮時間因素對測量值的影響，測量值和誤差作為隨機(jī)變量處理。(2)動態(tài)測量在測量過程中被測量隨時間變化。動態(tài)測量需考慮時間因素對測量值的影響，測量值和誤差作為隨機(jī)過程處理。下一頁章目錄返回上一頁1.真值與誤差的定義(1)真值x0

：任何物質(zhì)都有自身的各種特性，反映這種特性的物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)值

(2)誤差：由于測量儀器的限制、測量方法的不完善、周圍環(huán)境的變化、人的感官的缺陷等因素的影響，測量結(jié)果總是與真值之間有一定的差異。誤差δ用式子可表示為：1.1.2誤差測量不能得到真值，但可以減小測量誤差，誤差的基本性質(zhì)普遍性：存在一切測量之中，貫穿于測量始終。不可知性：一般真值是未知的，誤差就無法知道。下一頁章目錄返回上一頁2.誤差的分類下一頁章目錄返回上一頁誤差按照性質(zhì)分類，可分為2.誤差的分類(1)隨機(jī)誤差在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，每次測量的誤差可能是正或負(fù)，也可能是比較大或小，這是難以預(yù)測的，而且毫無規(guī)律而言。但是，如果測量次數(shù)很多時，誤差的出現(xiàn)又符合一定的統(tǒng)計規(guī)律。(2)系統(tǒng)誤差在同一測量條件下，多次測量同一物理量時，誤差的大小和符號保持恒定或隨條件的改變而按某一確定規(guī)律變化的誤差。例如：零點(diǎn)不準(zhǔn)、天平不等臂、刻度不均勻等。隨機(jī)誤差無法從實(shí)驗(yàn)中完全消除，但多次測量可以減小。系統(tǒng)誤差盡量消除或減小下一頁章目錄返回上一頁2.誤差的分類(3)粗大誤差在測量中某種原因所引起的錯誤，也稱疏失誤差。如讀數(shù)錯誤，記錄錯誤，操作錯誤，估算錯誤，等等。說明系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差關(guān)系系統(tǒng)誤差由測量過程中某一突出因素變化引起。隨機(jī)誤差由測量過程中多種因素微小變化綜合引起。存在粗大誤差時，測量值明顯偏離被測量的真值。數(shù)據(jù)處理時，先檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)是否存在粗大誤差，剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)。隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差不存在絕對的界限。在一定條件下，隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差可以相互轉(zhuǎn)化。下一頁章目錄返回上一頁3.誤差的表示形式(1)絕對誤差用絕對大小給出的誤差，表示為δ＝x－x0相對誤差反映了測量精度的高低，無單位，用百分?jǐn)?shù)表示。絕對誤差反映了測量值偏離真值的大小和方向，可正可負(fù)，有單位。(2)相對誤差絕對誤差與被測量真值的比值，表示為E＝δ/x0×100％例如：測量兩個物體的長度分別為L1=100.0mm，L2=40.0mm；絕對誤差分別為δ1=0.8mm，δ2=0.4mm。相對誤差分別為：E1=0.8%，E2=1.0%

。下一頁章目錄返回上一頁3.誤差的表示形式(1)絕對誤差(2)相對誤差(3)引用誤差絕對誤差與測量范圍上限或量程的比值，表示為E＝δ/xmax×100％引用誤差主要用于儀器誤差的表示，實(shí)際上是一種簡化方便的儀器相對誤差，無單位，用百分?jǐn)?shù)表示。最大引用誤差稱為引用誤差限。引用誤差限的絕對值×100稱為儀器準(zhǔn)確度等級。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定電工儀表分為11個準(zhǔn)確度等級，分別為0.05、0.1、0.2、0.3、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0和5.0。根據(jù)儀器的準(zhǔn)確度等級可計算儀器誤差。下一頁章目錄返回上一頁不確定度是與測量結(jié)果相聯(lián)系的一種參數(shù)?；径x：對測量結(jié)果可信賴程度的評定。不確定度是評價測量質(zhì)量的一個重要的指標(biāo)。不確定度大，可信賴程度低；不確定度小，可信賴程度高。精度也稱精確度，描述測量結(jié)果與真值的接近程度。精度是一個定性的概念，不能用數(shù)值大小來表示，只能講高低。1、不確定度的概念測量不確定度是對測量結(jié)果不確定范圍的標(biāo)度，也可以理解為測量誤差可能出現(xiàn)的范圍，表征測量結(jié)果的分散性、準(zhǔn)確性和可靠程度，也表示待測量的真值可能在某個量值范圍的評定。1.1.3、精度1.1.4、測量不確定度下一頁章目錄返回上一頁1、不確定度的概念2、不確定度的相關(guān)表述標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)差表示，u合成不確定度：幾個不確定度的合成，uc擴(kuò)展不確定度：合成不確定度的倍數(shù)，UU＝kuc置信因子k

，與誤差分布特性有關(guān)的系數(shù)。1.1.4、測量不確定度3、不確定度的表示形式絕對不確定度：

uc相對不確定度：E4、測量結(jié)果的表示形式被測量x，最佳估計值不確定度u

，完整的測量結(jié)果表示為下一頁章目錄返回上一頁5、不確定度的分類不確定度B類分量：用非統(tǒng)計方法評定的不確定度，

uB1、不確定度的概念2、不確定度的相關(guān)表述3、不確定度的表示形式4、測量結(jié)果的表示形式5、不確定度的分類按評定方法的不同，可分成兩類：A類分量和B類分量。不確定度A類分量：用統(tǒng)計方法評定的不確定度，

uA1.1.4、測量不確定度標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類分量由測量列概率分布導(dǎo)出的概率密度函數(shù)求出。標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類分量由一個認(rèn)定的或假定的概率密度函數(shù)求出。下一頁章目錄返回上一頁一、有效數(shù)字的概念有效數(shù)字是指能正確表達(dá)某物理量數(shù)值和精度的一個近似數(shù)，由準(zhǔn)確數(shù)字和可疑數(shù)字組成。通常，測量結(jié)果的有效數(shù)字是由若干位準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成的。

有效數(shù)字與測量條件(如儀器、環(huán)境、人員)密切相關(guān)，有效數(shù)字的位數(shù)由測量條件和待測量的大小共同決定。1.1.5、有效數(shù)字例如，用最小分度值為1mm的尺，測量一物體長度得到1.65cm?！?”是在6和7兩個整毫米刻度內(nèi)估讀的，是不可靠的，可疑數(shù)字；1.6是由尺子刻度直接讀出的，是可靠數(shù)字。1.65cm下一頁章目錄返回上一頁1、有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字＝“可靠數(shù)字”＋“一位可疑數(shù)字”總共有幾位稱為幾位有效數(shù)字。有效數(shù)字由表征測量結(jié)果的可靠數(shù)字與可疑數(shù)字組成的?？梢蓴?shù)字在有效數(shù)字中一般只有一位。一、有效數(shù)字的概念15.86，四位有效數(shù)字5.32，三位有效數(shù)字5.320，四位有效數(shù)字0.0532，三位有效數(shù)字1.65cm下一頁章目錄返回上一頁2．?dāng)?shù)字“0”在有效數(shù)字中的作用“0”在數(shù)據(jù)中的位置不同，可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字。如：0.03020m這個數(shù)中共有4個“0”，其中數(shù)字“3”前面的兩個“0”只用來表示小數(shù)點(diǎn)位置，不是有效數(shù)字，而其余兩個“0”是有效數(shù)字，即數(shù)字中間和末尾的“0”是有效的。既然數(shù)字末尾的“0”是有效數(shù)字，那么就不能在數(shù)字的末尾隨意加0或去掉0，否則物理意義將發(fā)生變化。由于數(shù)字“3”前面的兩個“0”只用來表示小數(shù)點(diǎn)位置，不是有效數(shù)字，那么數(shù)字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效數(shù)字都是4位。因此，在十進(jìn)制單位進(jìn)行換算時有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生變化。如，3.5A的電流值，若用mA單位表示，不能寫3500mA，而應(yīng)采用科學(xué)記數(shù)法，寫成。當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)較多進(jìn)行取舍時，一般采用“四舍六入五湊偶的方法”。此方法是：4以下舍去，6以上“入”，5是否“入”，要看其前一位是否為奇數(shù)，若前一位為奇數(shù)，則5進(jìn)位，把前一位湊成偶數(shù)，即“5湊偶”；若前一位為偶數(shù)，則5舍去，不湊偶。3、有效數(shù)字的修約規(guī)則3.14159

6.3785012.71729

4.51050

5.6235

3.21650

下一頁章目錄返回上一頁修約成4位有效數(shù)字→

3.142→

6.378→

2.717→

4.510→

5.624→

3.2161、直接測量的有效數(shù)字2.00cm(1)有指針或刻度的儀器：最小刻度以下再估讀一位。(2)數(shù)字顯示儀表：顯示值均為有效數(shù)字，不再估讀。下一頁章目錄返回上一頁二．有效數(shù)字的確定2、間接測量的有效數(shù)字

間接測量量有效數(shù)字的確定，應(yīng)遵循由不確定度來確定測量量的有效數(shù)字，即間接測量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對齊。

2、間接測量的有效數(shù)字間接測量量有效數(shù)字的確定，應(yīng)遵循由不確定度來確定測量量的有效數(shù)字，即間接測量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對齊。如面積絕對不確定度

面積S的正確結(jié)果

在間接測量中，由于最終結(jié)果是由許多測量數(shù)值，經(jīng)過一定的函數(shù)運(yùn)算得到，那么在中間運(yùn)算過程中，參與計算的量可能很多，這些數(shù)據(jù)的有效數(shù)字可能都不一致，使得數(shù)據(jù)計算顯得繁瑣和復(fù)雜為了簡化運(yùn)算過程，同時又不會造成過大的計算誤差，一般可采用一些規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算：下一頁章目錄返回上一頁(1)加減法運(yùn)算加減運(yùn)算應(yīng)以參與運(yùn)算各數(shù)據(jù)中末位數(shù)數(shù)量級最大的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)在中間計算過程中向后可多取一位，最后結(jié)果與末位數(shù)數(shù)量級最大的那一位對齊。

(2)乘除法運(yùn)算乘除法運(yùn)算以參與運(yùn)算各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余數(shù)字在中間運(yùn)算過程中可多取一位有效數(shù)字，最后結(jié)果的有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)相同。(3)乘方和開方運(yùn)算規(guī)則與乘除法運(yùn)算規(guī)則相同，即結(jié)果的有效數(shù)字與被乘方、開方數(shù)的有效數(shù)據(jù)位數(shù)相同。下一頁章目錄返回上一頁(4)對數(shù)運(yùn)算自然對數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)有效位數(shù)相同。而以10為底的對數(shù)，其尾數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字)的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。(5)指數(shù)運(yùn)算對于ex，其有效數(shù)字用如下方法決定：

把ex的結(jié)果用科學(xué)表示法表達(dá)，小數(shù)點(diǎn)前保留一位，小數(shù)點(diǎn)后保留的位數(shù)與指數(shù)x在小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)相同。

對于10x，其有效數(shù)字用如下方法決定：其有效數(shù)字的取法與ex的取法相同，或少取一位(當(dāng)10x的結(jié)果的第一位大于5時可少取一位)。下一頁章目錄返回上一頁(6)三角函數(shù)運(yùn)算三角函數(shù)運(yùn)算，其有效數(shù)字位數(shù)取法是：通過改變sinx末位數(shù)的一個單位，觀察函數(shù)值的變化，以決定原來函數(shù)值的位數(shù)。例如，計算sin30o17/(7)常數(shù)、π、e、系數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算以上這些數(shù)可認(rèn)為其有效數(shù)字是無限的，計算時一般比運(yùn)算各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最多的還多一位。上述所述有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則，只是一個基本原則。實(shí)際問題中，為了防止取舍所造成的誤差過大，常常在運(yùn)算過程中多取1位，特別是隨著計算機(jī)和計算器的普及，這種處理不會帶來太多的麻煩，只是在最后結(jié)果根據(jù)不確定度所在位進(jìn)行截斷。下一頁章目錄返回上一頁四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效數(shù)字實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效數(shù)字由不確定度確定。有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對齊。下一頁章目錄返回上一頁三．不確定度有效數(shù)字的確定

一般情況下絕對不確定度只取1位有效數(shù)字，對重要的、比較精密的測量或其他特殊情況，可取2位或2位以上有效數(shù)字，相對不確定度可取1～2位。如無特殊說明，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，絕對不確定度取1位有效數(shù)字，相對不確定度取2位有效數(shù)字。不確定度有效數(shù)字的取舍，應(yīng)遵循“只進(jìn)不舍”的原則，%0.2B;cm)07.064.3(L=±=;cm07.0u,cm6456.3L==§1-2誤差的處理1.2.1隨機(jī)誤差的處理1.2.2系統(tǒng)誤差的處理1.2.3粗大誤差的處理1.2.4儀器誤差下一頁章目錄返回上一頁1、正態(tài)發(fā)布規(guī)律隨機(jī)誤差的特點(diǎn)隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律有很多，最常見的是正態(tài)分布規(guī)律。遵從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)誤差特征：單峰性：絕對值小/大的誤差可能性大/小對稱性：大小相等的誤差正、負(fù)機(jī)會均等有界性：絕對值非常大的可能性幾乎為零低償性：正負(fù)誤差相互低消1.2.1、隨機(jī)誤差的處理f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機(jī)誤差可以應(yīng)用概率統(tǒng)計理論進(jìn)行估算下一頁章目錄返回上一頁2、正態(tài)發(fā)布規(guī)律隨機(jī)誤差的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差是定量描述統(tǒng)計分布規(guī)律的兩個重要參數(shù)。(1)測量值的數(shù)學(xué)期望等于真值。(2)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。(3)標(biāo)準(zhǔn)差σ反映了測量值與真值的偏離程度，即測量值之間的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差小，離散程度小，測量精度高。(4)標(biāo)準(zhǔn)差的物理意義任一測量數(shù)據(jù)的誤差落在〔－σ,σ〕區(qū)間內(nèi)的概率為P=68.3%。1.2.1、隨機(jī)誤差的處理置信概率與置信區(qū)間〔－kσ,kσ〕k置信因子〔－σ,σ〕，P=68.3%〔－2σ,2σ〕，P=95.5%〔－3σ,3σ〕，P=99.7%±3σ稱為極限誤差下一頁章目錄返回上一頁多次測量，x1、x2、…、xn，測量列的算術(shù)平均值為：當(dāng)測量次數(shù)n趨于無窮時，算術(shù)平均值趨于真值。其中xi為第i次測得值。誤差的對稱性和抵償性1.2.1、隨機(jī)誤差的處理

3、算術(shù)平均值下一頁章目錄返回上一頁多次測量，x1,x2,…,xn，測量列的標(biāo)準(zhǔn)差為：1.2.1、隨機(jī)誤差的處理

4、標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)n為有限次時，測量列的算術(shù)平均值作為真值的最佳估計值；標(biāo)準(zhǔn)差常采用貝塞爾法來估計。多組等精度重復(fù)測量時，各測量列算術(shù)平均值也具有離散性，用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來描述。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差下一頁章目錄返回上一頁1、儀器的極限誤差儀器誤差屬于未定系統(tǒng)誤差，影響因素多，規(guī)律復(fù)雜，一般只能給出最大允許誤差多估計值。即儀器的極限誤差Δ儀。1.2.2、系統(tǒng)誤差的處理

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，盡可能消除或減小。(1)極限誤差的獲得計量部門檢定，說明書標(biāo)明。無標(biāo)明時，數(shù)顯儀器，末位數(shù)1個單位；刻度儀器，最小分度的一半。(2)均勻分布的標(biāo)準(zhǔn)差儀器誤差近似服從均勻分布規(guī)律，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2.3、粗大誤差的處理

判別粗大誤差，從測量數(shù)據(jù)中剔除。1.2.4、儀器誤差下一頁章目錄返回上一頁當(dāng)測量次數(shù)只有一次時，§1-3直接測量的數(shù)據(jù)處理一、最佳估計值二、不確定度評定三、測量結(jié)果的表示四、數(shù)據(jù)處理基本步驟直接測量是將待測量與標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，得到待測量的量值，待測量與標(biāo)準(zhǔn)量量綱是一致的。如米尺測長度、天平稱質(zhì)量、秒表測時間等，都屬于直接測量。直接測量只要有條件就要多次重復(fù)測量。下一頁章目錄返回上一頁一、最佳估計值多次測量，x1、x2、…、xn，測量列的算術(shù)平均值可表示為：二、不確定度評定(1)A類分量直接測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類分量用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差公式估算。(2)B類分量只考慮儀器誤差，標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類分量為用算術(shù)平均值作為直接測量量的最佳估計值。(3)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度下一頁章目錄返回上一頁二、不確定度評定(4)單次測量有時因條件所限不可能進(jìn)行多次測量(如地震波強(qiáng)度、雷電時電暈電流強(qiáng)度等)；或者由于儀器精度太低，多次測量讀數(shù)相同，測量隨機(jī)誤差較小；或者對測量結(jié)果的精度要求不高等情況，往往只進(jìn)行一次測量。單次測量時，不確定度A類分量，無法考慮；最佳估計值即測量值本身。(4)單次測量合成不確定度只考慮B類分量為三、測量結(jié)果單表示用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示測量結(jié)果。下一頁章目錄返回上一頁一般來說，給出測量結(jié)果的同時，還應(yīng)給出相應(yīng)的測量不確定度，并有詳盡的測試參數(shù)和條件。采用不確定度評價測量結(jié)果應(yīng)表示為三、測量結(jié)果的表示例如：測量一物體的長度L，10次測量結(jié)果的平均值為10.34cm，估算合成不確定度為0.03cm，測量結(jié)果表示為下一頁章目錄返回上一頁四、數(shù)據(jù)處理步驟對直接測量列數(shù)據(jù)處理的基本步驟為：(1)判斷測量數(shù)據(jù)中是否有已定系統(tǒng)誤差，并且盡量消除或減小系統(tǒng)誤差。(2)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的合理性，發(fā)現(xiàn)含有粗大誤差的數(shù)據(jù)應(yīng)剔除。(3)求算術(shù)平均值，作為測量結(jié)果的最佳值。(4)計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，作為標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類分量。(5)根據(jù)儀器的極限誤差，計算標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類分量。(6)計算合成不確定度和相對不確定度。(7)完整表示測量結(jié)果。下一頁章目錄返回上一頁一、間接測量的最佳值二、間接測量的不確定度傳播公式間接測量量y的不確定度與各直接測量量的不確定度有關(guān)，它們之間的關(guān)系由標(biāo)準(zhǔn)差傳播公式表示為間接測量是利用已知函數(shù)關(guān)系式的轉(zhuǎn)換測量。間接測量量：y直接測量量：x1,x2,…,xk函數(shù)關(guān)系形式為：§1-4間接測量的數(shù)據(jù)處理下一頁章目錄返回上一頁三、間接測量的結(jié)果表示二、間接測量的不確定度傳播公式下一頁章目錄返回上一頁§1-5常用數(shù)據(jù)處理方法

一、制表與作圖

二、差值法與逐差法

三、線性函數(shù)的最小二乘法

四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理舉例數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)開始到得出結(jié)論為止的數(shù)據(jù)加工過程，包括記錄、整理、計算和分析。數(shù)據(jù)處理是實(shí)驗(yàn)的重要組成部分，貫穿于實(shí)驗(yàn)的始終，與實(shí)驗(yàn)操作、誤差分析、不確定度估算、結(jié)果評價等形成有機(jī)的整體，對實(shí)驗(yàn)的成敗起著至關(guān)重要的作用。下一頁章目錄返回上一頁1、制表制表是實(shí)驗(yàn)中常用的記錄數(shù)據(jù)、表示物理量之間關(guān)系的一種方法。一、制表與作圖制表的特點(diǎn)：(1)記錄和表示數(shù)據(jù)簡單明了；(2)便于表示物理量之間對應(yīng)關(guān)系；(3)便于隨時檢查數(shù)據(jù)是否合理，及早發(fā)現(xiàn)問題，提高數(shù)據(jù)處理效率等。制表的要求：(1)欄目清楚，項目分明。(2)寫明表的序號和名稱，標(biāo)明物理量、單位及數(shù)量級。(3)表中所列數(shù)據(jù)應(yīng)是正確反映結(jié)果的有效數(shù)字。(4)注明測量日期、說明和必要的實(shí)驗(yàn)條件。下一頁章目錄返回上一頁制表舉例：表1伏安法測100電阻數(shù)據(jù)表

2004/2/10注：(1)電壓表量程7.5V，精度等級1.0。

(2)電流表量程50mA，精度等級1.0。

(3)常溫常壓條件下測量。

(4)采用電流表外接法。下一頁章目錄返回上一頁2、作圖作圖法是將測量數(shù)據(jù)之間的關(guān)系及其變化情況作成圖線直觀地表示出來，并且通過所作圖線求解未知量或經(jīng)驗(yàn)方程，是一種最常用的粗略的數(shù)據(jù)處理方法。作圖法的優(yōu)點(diǎn)：(1)能夠直觀地反映各物理量之間的變化規(guī)律，幫助找出合適的經(jīng)驗(yàn)公式。(2)可從圖上用外延、內(nèi)插方法求得實(shí)驗(yàn)點(diǎn)以外的其它點(diǎn)。(3)可以消除某些恒定系統(tǒng)誤差。(4)有取平均、減小隨機(jī)誤差對結(jié)果的影響的作用。作圖要求：作圖對于初學(xué)著是一種困難的科學(xué)技巧，必須認(rèn)真遵守作圖規(guī)則，才能繪制出合格的圖線。下一頁章目錄返回上一頁(1)根據(jù)各變量之間的變化規(guī)律，選擇相應(yīng)類型的坐標(biāo)紙。鼓勵使用優(yōu)秀的軟件，如Origin,Excel計算機(jī)繪圖。(2)正確選擇坐標(biāo)軸的比例和標(biāo)度。(3)注明圖名，坐標(biāo)軸代表的物理量、單位和數(shù)值的數(shù)量級。(4)測量數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)采用比較明顯的標(biāo)志符號，如“△、×、○、

、□”等，不能用“·”

。(5)變化規(guī)律容易判斷的曲線平滑連線，曲線不必通過每個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但應(yīng)均勻分布在曲線兩邊；難以確定規(guī)律的曲線可以用折線連接。下一頁章目錄返回上一頁(1)判斷各量的相互關(guān)系通過作圖可以判斷各量的相互關(guān)系，特別是在還沒有完全掌握科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律和結(jié)果的情況下，或還沒有找出適合的函數(shù)表達(dá)式時，作圖法是找出函數(shù)關(guān)系式并求得經(jīng)驗(yàn)公式的最常用的方法之一。如二極管的伏安特性、彈簧振子振幅衰減規(guī)律等，都可從曲線圖上清楚地表示出來。作圖法的應(yīng)用：(2)求未知量—圖解法非實(shí)驗(yàn)點(diǎn)(x1,y1)(x2,y2)測量范圍內(nèi)取盡量遠(yuǎn)兩點(diǎn)下一頁章目錄返回上一頁(3)曲線改直――非線性函數(shù)未知量的求法物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的圖線類型有：直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)函數(shù)曲線等。一般情況下，直線是最能夠精確繪制的曲線，并能在曲線上可以求出一些常數(shù)。因此，往往要通過坐標(biāo)代換，將非直線畫成直線，稱為曲線改直技術(shù)。例如：

y=axb冪函數(shù)形式，a、b為常數(shù)。函數(shù)形式可以作如下變換，將方程兩邊取對數(shù)(以10為底)得到：1gy=b1gx＋1ga在直角坐標(biāo)紙上取lgy為縱坐標(biāo),1gx為橫坐標(biāo),得到一條直線,從而可以求出系數(shù)a和b。下一頁章目錄返回上一頁1、差值法差值法是利用兩次實(shí)驗(yàn)中自變量的改變量Δx和函數(shù)的改變量Δy求待測物理量的方法。目的：減小或消除某些系統(tǒng)誤差。三、差值法與逐差法例如：拉伸法測量鋼絲的倔強(qiáng)系數(shù)k，若僅加力測一次F＝k(L－L0)其中包含了鋼絲由彎曲變直造成的伸長，必然存在系統(tǒng)誤差。若改變力測兩次，其關(guān)系為：F1＝k(L1－L0)；F2＝k(L2－L0)上述兩式相減得：F2－F1＝k(L2－L1)由此式求k，可以消除這類系統(tǒng)誤差。差值法是測量物理量中常用的一種方法。2、逐差法逐差法是為了改善實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果，減小誤差影響而引入的一種實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理方法。逐差法的應(yīng)用條件：(1)自變量等間隔變化，y=f(x)，

xi+1-xi=c

。(2)函數(shù)關(guān)系可以寫為多項式關(guān)系：y=a0+a1x+a2x2+a3x3+……逐差法的應(yīng)用：(1)逐項逐差－－判斷函數(shù)關(guān)系對函數(shù)y=f(x)，測得測量列：xi(i=1,2,…,n)、yi(i=1,2,…n)若yi+1－yi＝Δi，基本相等，函數(shù)關(guān)系為：y=a0+a1x。若Δi+1－Δi＝Δ2i，基本相等，則為：y=a0+a1x+a2x2

。(2)隔項逐差－－求取物理量例如：對下表伏安法測量電阻的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，應(yīng)用逐差法求電阻值。表1伏安法測100電阻數(shù)據(jù)表

2004/2/10數(shù)據(jù)分為兩組，隔3項逐差，再取平均。即：注：電壓表量程7.5V，精度等級1.0；電流表量程50mA精度等級1.0利用逐差法求取物理量，可以充分利用數(shù)據(jù)，消除一些定值系統(tǒng)誤差，減小隨機(jī)誤差的影響，但必須采用隔項逐差方法，否則會失去效果。下一頁章目錄返回上一頁1、最小二乘法原理ν

i為偏差，定義為在∑νi2=最小的條件下求出的未知量值，未知量的最佳值。最小二乘法是應(yīng)用最小二乘法原理處理數(shù)據(jù)的方法。最小二乘法原理建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上的一個數(shù)學(xué)原理，被廣泛地應(yīng)用于許多學(xué)科領(lǐng)域。如數(shù)據(jù)處理中的實(shí)驗(yàn)曲線的擬合、經(jīng)驗(yàn)公式的確定等。最小二乘法應(yīng)用非常廣泛，不僅適用于線性函數(shù)，也可應(yīng)用于非線性函數(shù)，由于本教材中涉及的大多為線性問題，而且一些非線性的問題也可以轉(zhuǎn)化為線性問題，所以我們只討論一元線性函數(shù)的最小二乘法。四、線性函數(shù)的最小二乘法下一頁章目錄返回上一頁2、一元線性函數(shù)的最小二乘法設(shè)y=a+bx，測得x1，x2……xn和

y1，y2……yn，求a、b。根據(jù)測量數(shù)據(jù)可以得到一組觀測方程：一般情況下，觀測方程個數(shù)大于未知量的數(shù)目時，a和b的解不能確定。因此，現(xiàn)在的問題是如何從觀測方程中確定a和b的最佳值，這就需要采用最小二乘法。假定最佳方程為：y=a0+b0x，其中a0和b0是最佳系數(shù)。為了簡化計算，設(shè)測量中x方向的誤差遠(yuǎn)小