扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)

第四章扭轉(zhuǎn)對(duì)稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽工程中承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)一、扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算MM受力特征：外力偶矩的作用面與桿件的軸線相垂直。

縱向線傾斜一個(gè)角度γ，稱為剪切角(或稱剪應(yīng)變)；兩個(gè)橫截面之間繞桿軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為扭轉(zhuǎn)角。扭轉(zhuǎn)/扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算變形特征：外力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系功率功時(shí)間力偶矩角位移角速度每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)扭轉(zhuǎn)/扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算P:kWn:r/min二、軸受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算已知圓軸受外力偶矩作用，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。則１１用截面法求內(nèi)力：１１扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算１１扭矩扭矩符號(hào)：按右手螺旋法則。扭矩矢量的指向與截面外法線的指向一致，為正；反之為負(fù)。扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算nn（+）nn（-）１１２２扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算截面2-2上的內(nèi)力：２２１１２２（+）１１２２扭矩圖：扭矩隨構(gòu)件橫截面的位置變化的圖線。（-）扭矩圖扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算例題3-1圖示傳動(dòng)軸上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位置更換放置是否合理？ACBD扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算IIIIIIIIIIII經(jīng)由A、B、C、D輪傳遞的外力偶矩分別為解：扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算ACBDIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算ACBDIIIIIIIIIIIIACBD（-）扭矩圖（+）（在CA段和AD段）扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算IIIIIIIIIIII繪出扭矩圖：將A、D輪的位置更換，則ACBD扭矩圖（-）（AD段）因此將A、D輪的位置更換不合理。扭轉(zhuǎn)/桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算薄壁圓筒橫截面上的剪應(yīng)力分布三、純剪切r薄壁圓筒:橫截面半徑遠(yuǎn)大于其厚度薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象純剪切的概念TT實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：1.縱向線傾斜了相同的微小角度，方格斜歪成了菱形。2.圓周線沒有發(fā)生改變，繞軸線發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，距離不變，大小不變。，稱單元體取出微元體，當(dāng)，且dx、dy都很小時(shí)，視為正六面體單元體左右兩個(gè)側(cè)面產(chǎn)生錯(cuò)動(dòng)，稱剪切變形

為剪應(yīng)變,此時(shí)必有剪應(yīng)力。分析現(xiàn)象1方格斜歪成了菱形*薄壁圓筒截面上的剪應(yīng)力純剪切的概念dxdydz剪應(yīng)力互等定理：二個(gè)相互垂直的截面上，剪應(yīng)力大小相等方向相反。圓周線之間的距離保持不變，仍為圓形，大小不變，繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。橫截面上不存在正應(yīng)力。純剪切的概念T薄壁圓筒橫截面上的剪應(yīng)力分布分析現(xiàn)象2思考：由應(yīng)力概念TT認(rèn)為剪應(yīng)力沿圓周方向均勻分布。純剪切的概念純剪切——若單元體各個(gè)面上只承受剪應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。純剪切*剪切虎克定律其中G是材料的剪切彈性模量。實(shí)驗(yàn)證明：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比。單位：Mpa、Gpa.且純剪切的概念1、實(shí)驗(yàn)觀察扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形橫截面上存在剪應(yīng)力,不存在正應(yīng)力.平面假設(shè)——圓軸的橫截面變形后保持為平面，圓軸右端截面上所繪的徑向線保持直線。TT圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分布理論分析(1)幾何分析dx扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形TTT式中表示扭轉(zhuǎn)角沿軸長的變化率稱為單位扭轉(zhuǎn)角，在同一截面上，=常數(shù)。扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形在半徑為的層面上（小變形條件下）(2)物理?xiàng)l件——剪切胡克定律扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形T(3)靜力平衡條件(單位扭轉(zhuǎn)角,單位：rad/m)

稱為極慣性矩，是截面的幾何性質(zhì)，與截面的幾何形狀、尺寸有關(guān)。扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形T在扭矩相同的條件下，因此表示圓軸抵抗變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度。（橫截面上剪應(yīng)力的計(jì)算公式。）式中稱為抗扭截面模量。扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形D=2R(4)公式中幾何量與的計(jì)算。a、實(shí)心圓截面因此而dA扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形b、空心圓截面Dd式中而扭轉(zhuǎn)/圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例3-1內(nèi)外徑分別為20mm和40mm的空心圓截面軸，受扭矩T=1kN·m作用，計(jì)算橫截面上A點(diǎn)的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。解：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形例3-2

實(shí)心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時(shí)，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的

倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的

倍？816

例3-3

水平面上的直角拐，AB段為圓軸，直徑為d，在端點(diǎn)C受鉛垂力P作用，材料的剪切彈性模量為G，不計(jì)BC段變形。求C點(diǎn)的鉛垂位移。解：例3-4圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后,原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由90°變?yōu)?8°。如桿長l=300mm，試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量G=2.7MPa，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩ｍ。解：由受扭圓軸失效的標(biāo)志：塑性材料：首先發(fā)生屈服，在試樣表面出現(xiàn)螺旋線，最后沿橫截面被剪斷。脆性材料：變形很小，在與軸線約成45o的面上斷裂。圓軸的強(qiáng)度條件為式中（u為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力許用剪應(yīng)力,n為安全系數(shù)）扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件（一）強(qiáng)度條件四、圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件不是剪切破壞（二）剛度條件或[]的數(shù)值按照對(duì)機(jī)器的要求決定：精密機(jī)器的軸：一般傳動(dòng)軸：精度要求不高的軸：扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件解：由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：例3-5某汽車傳動(dòng)軸，用45號(hào)鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為Mmax=1500N.m,試校核此軸的強(qiáng)度。已知[]=60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑D1為？扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件所以此軸安全。若此軸改為實(shí)心軸，而式中解得：扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件軸的最大剪應(yīng)力實(shí)心軸的橫截面面積為空心軸的橫截面面積為空心軸與實(shí)心軸的重量之比：因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、比較經(jīng)濟(jì)。扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。①根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律，軸心附近處的應(yīng)力很小，對(duì)實(shí)心軸而言，軸心附近處的材料沒有較好地發(fā)揮其作用；

②從截面的幾何性質(zhì)分析，橫截面面積相同的條件下，空心軸材料分布遠(yuǎn)離軸心，其極慣性矩Ip必大于實(shí)心軸，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wt也比較大，強(qiáng)度和剛度均可提高；

扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件AllBCd例3-6

圖示等截面圓軸，已知d=90mm,l=50cm,,

。軸的材料為鋼，G=80GPa,求（1）軸的最大剪應(yīng)力；（2）截面B和截面C的扭轉(zhuǎn)角；（3）若要求BC段的扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在BC段鉆孔的孔徑d′應(yīng)為多大？（+）（-）扭矩圖解：(1)軸的最大剪應(yīng)力作扭矩圖：AllBCd2211因此扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件（2）B、C截面扭轉(zhuǎn)角截面B：扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件AllBCd2211截面C扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件AllBCd2211（3）BC段孔徑d’由得解得：扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件AllBCd例3-7

圖示圓截面桿AB左端固定，承受一集度為t的均布力偶矩作用。試導(dǎo)出計(jì)算截面B的扭轉(zhuǎn)角公式。Lt

xdx解：取微段作為研究對(duì)象。Tx(x)Tx(x)+dTx

L-xtTx(x)由平衡條件,橫截面上的扭矩為：微段兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：AB扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件求出扭矩因此扭轉(zhuǎn)/圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件LtAB五、扭轉(zhuǎn)的靜不定問題例3-8兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C受外力偶矩m作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。解：靜力平衡方程為：變形協(xié)調(diào)條件為：即：例3-9

一組合桿由實(shí)心桿1和空心管2結(jié)合在一起所組成（端面焊接），桿和管的材料相同。剪切模量為G,試求組合桿承受外力偶矩M以后，桿和管內(nèi)的最大剪應(yīng)力。12T12解：（1）靜力學(xué)關(guān)系（2）變形協(xié)調(diào)條件扭轉(zhuǎn)/扭轉(zhuǎn)的靜不定問題（3）物理關(guān)系：代入變形協(xié)調(diào)方程，得補(bǔ)充方程（4）補(bǔ)充方