第七章有限長單位脈沖響應FIR濾波器的設計方法

第七章有限長單位脈沖響應（FIR）濾波器的設計方法

1內(nèi)容線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性窗口設計法（時間窗口法）頻率取樣法IIR與FIR數(shù)字濾器的比較2

FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)：

優(yōu)點：很容易獲得嚴格的線性相位；極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉變?yōu)橐蚬蛄校砸蚬钥偸菨M足；無反饋運算，運算誤差小。3缺點：因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價；無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。4線性相位系統(tǒng)的時域特性線性相位系統(tǒng)的頻域特性線性相位系統(tǒng)H(z)的零點分布特性7.1線性相位FIR濾波器及其性質51．FIR濾波器的定義傳輸函數(shù)第一類線性相位FIRDR第二類線性相位為常數(shù)，為起始相位幅度特性（可為負值）相位特性6系統(tǒng)的群時延群時延均為常數(shù)稱為恒定群延時濾波器：72線性相位的條件時域約束第一類線性相位：8三角函數(shù)關系9滿足上式的一組解

關于求和區(qū)間的中心奇對稱

則要求關于偶對稱

1011第二類線性相位12三角函數(shù)關系13滿足上式的一組解

關于求和區(qū)間的中心奇對稱

則要求關于奇對稱14

類型3:（N為奇數(shù)，奇對稱）15類型4:（N為偶數(shù)，奇對稱）16

偶對稱

奇對稱圖1線性相位特性17頻域約束兩類線性相位FIR濾波器在N取奇數(shù)和偶數(shù)時，幅度特性各不相同。（1）h(n)=h(N-n-1)，N為奇數(shù)幅頻特性為：1819（1）h(n)=h(N-n-1)，N為奇數(shù)幅度特性為：相位特性由于偶對稱，因此對這些頻率也呈偶對稱。可實現(xiàn)低通、高通、帶通、

帶阻濾波器20(2)h(n)=h(N-n-1)，N為偶數(shù)幅度特性為：相位特性21證明：22幅度特性為：相位特性由于偶對稱，因此對這些頻率也呈偶對稱。而：因此這種情況不能用于設計高通、帶阻濾波器。233.h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，h(n)=-h(N-1-n)相位特性24由于點呈奇對稱，所以對這些點也奇對稱。由于時，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設計。254.h(n)奇對稱，N為偶數(shù)相位特性頻率特性Hg()在=0，2

處為零；Hg()在=0，2

奇對稱，在=處偶對稱。不能用于低通和帶阻26四種線性相位FIRDF特性（教材P179圖）第一種情況，偶、奇，四種濾波器都可設計。第二種情況，偶、偶，可設計低、帶通濾波器，不能設計高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設計帶通濾波器，其它濾波器都不能設計。第四種情況，奇、偶，可設計高通、帶通濾波器，不能設計低通和帶阻。一般微分器與90°相移器用3、4；選頻性濾波器用1、2。27小結：四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關。幅度特性取決于h(n)。設計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。28線性相位FIR濾波器的零點特性29如是H(z)的零點，其倒數(shù)也是其零點；因h(n)是實序列，H(z)的零點必共軛成對，和也是其零點；307.2窗函數(shù)設計FIRDF（WindowMethod）設計思想保證線性相位逼近理想濾波器窗口設計法（時域逼近）頻率采樣法（頻域逼近）最優(yōu)化設計（等波紋逼近）

317.2窗函數(shù)設計FIRDF的基本方法1.構造希望逼近的理想濾波器，例:

理想低通濾波器2.求32無限長、非因果的。用窗函數(shù)法設計FIR濾波器加窗長度為N如設計第一類線性相位，要求關于點偶對稱33例：理想低通濾波器，矩形窗N=31347.2.2窗函數(shù)法的設計性能分析矩形窗函數(shù)：其頻率響應為：35理想濾波器加窗得到的FIRDF的單位脈沖響應為h(n)的頻率響應函數(shù)3637幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性與窗函數(shù)幅度特性的卷積相位保持嚴格線性因此，只需分析幅度逼近誤差3839卷積結果矩形窗對理想低通幅度特性的影響WRg(θ)40對加矩形窗處理后，其頻率響應的幾點影響：41對加矩形窗處理后，其頻率響應的幾點影響：改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為，等于的主瓣寬度。（決定于窗長）通帶、阻帶均有紋波，紋波取決于的旁瓣，旁瓣幅度大，紋波幅度大，與窗口長度N無關。（決定于窗口形狀）

N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關系，只能改變的絕對值大小和起伏的密度，當N增加時，幅值變大，起伏變密，而最大肩峰永遠為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應。42改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：①窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；②相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。437.2.3典型窗函數(shù)介紹矩形窗描述參數(shù)旁瓣峰值：幅度函數(shù)的最大旁瓣相對于主瓣最大值的衰減（dB）44描述參數(shù)過渡帶寬度阻帶最小衰減45窗函數(shù)長度對主瓣的影響N增大，不能改善阻帶的衰減特性46三角窗（BartlettWindow）單位脈沖響應函數(shù)頻率響應47其主瓣寬度為

，第一旁瓣比主瓣低26dB。

484950漢寧窗（升余弦窗）（HanningWindow）頻率響應51當N>>1，可近似為：三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為

525354哈明窗（改進升余弦窗）（HammingWindow）窗函數(shù)其頻率響應的幅度函數(shù)為55當N>>1，可近似為：是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度（對應第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。5657布萊克曼窗（BlackmanWindow）窗函數(shù)增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，增加N可減少過渡帶585960窗口函數(shù)的頻譜N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|四種窗函數(shù)的比較6162

63凱塞窗（KaiserWindow）以上五種窗函數(shù)，濾波器的阻帶衰減是固定的不同的窗函數(shù)通過增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。凱塞窗函數(shù)64凱塞窗函數(shù)β是調(diào)整參數(shù)，可自由選擇決定主瓣寬度與旁瓣衰減。β越大，wk(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取4<β<9。β=5.44接近漢明β=8.5接近布萊克曼β=0為矩形65I0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)參數(shù)控制濾波器阻帶的最小衰減66通帶紋波幅度近似等于阻帶紋波幅度，未單獨控制67圖2凱塞窗函數(shù)圖1零階修正貝塞爾函數(shù)I0(x)x016869707.2.4用窗函數(shù)設計FIR濾波器的步驟：選擇窗函數(shù)的類型和長度根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)的類型原則是：在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。根據(jù)過渡帶的寬度選擇窗函數(shù)的長度按性能指標要求，構造希望頻率響應函數(shù)

近似為過渡帶中心頻率，幅度函數(shù)衰減一半（-6dB)71確定期望濾波器的單位脈沖響應加窗得到設計結果72例：用窗函數(shù)設計線性相位高通FIRDF，要求通帶邊界頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減，解：1）選擇窗函數(shù)

因為阻帶最小衰減，可選擇漢寧窗、哈明窗。這里選擇漢寧窗。

N=？

根據(jù)過渡帶寬73高通，N為奇數(shù)，N=252)期望理想濾波器74確定期望濾波器的單位脈沖響應全通濾波器低通濾波器754)加窗767.3利用頻率采樣法設計FIRDF將理想濾波特性經(jīng)N等分采樣后得到頻域采樣值：單位脈沖響應其系統(tǒng)函數(shù)為：77由內(nèi)插公式，可從頻率采樣值直接實現(xiàn)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用頻率采樣法設計FIR數(shù)字濾波器主要關心兩個問題：實現(xiàn)線性相位Hd(k)應滿足的條件；逼近誤差？改進措施。787.3.2線性相位的約束條件H(k)=?如果FIR數(shù)字濾波器為線性相位的，則必滿足第一或第二類線性相位的條件頻域采樣

分別為幅度采樣、相位采樣791）第一類線性相位N為奇數(shù)N為偶數(shù)802）第二類線性相位N為奇數(shù)N為偶數(shù)817.3.3逼近誤差及其改進措施

例7.3.1用頻率采樣法設計第一類線性相位低通FIRDF，要求截止頻率，頻率采樣點數(shù)分別取N=15和N=75，繪制h(n)及其頻率響應，誤差如何？解：1）理想低通濾波器82頻域采樣83H(k)的單位脈沖響應頻率響應函數(shù)848586在每個頻率采樣點上，濾波器的頻響嚴格地與理想濾波器的頻響采樣值H(k)相等；在采樣點之間則由內(nèi)插公式確定，因而有一定的逼近誤差。誤差大小與理想頻率響應的曲線形狀有關，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大。在理想頻率響應的不連續(xù)點附近，會產(chǎn)生肩峰和波紋N增大，則采樣點變密，逼近誤差減小87改進措施：（1）增加N，減少逼近誤差，但間斷點附近的誤差仍很大；（2）在頻響間斷點附近區(qū)間增加一個或多個過渡采樣點（也稱為加頻窗），使不連續(xù)點變成緩慢過渡。結果是加大了過渡帶，但增大了阻帶衰減。N=15N=7588根據(jù)過渡帶的寬度要求，選擇合適的濾波器長度，m為增加的過渡