2021年微積分基礎(chǔ)教程

**歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07微積分教程歐陽光明(2021.03.07)微積分(Calculus)是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學(xué)，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分的基本介紹微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運算［把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積］，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細分'就是微分，‘無限求和'就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因為，代數(shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無限的量，這時就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以0的麻煩，相反引入了一個過程任意小量。就是說，除的數(shù)不是零，所以有意義，同時，這個小量可以取任意小，只要滿足在德爾塔區(qū)間，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機取巧，但是，他的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個概念是成功的。微積分是與實際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計算機的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展?？陀^世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造。微積分的本質(zhì)【參考文獻】劉里鵬.《從割圓術(shù)走向無窮小——揭秘微積分》，長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1．用文字表述：增量無限趨近于零，割線無限趨近于切線，曲線無限趨近于直線，從而以直代曲，以線性化的方法解決非線性問題，這就是微積分理論的精髓所在。2．用式子表示：微積分的基本方法微積分的基本原理告訴我們微分和積分是互逆的運算，微積分的精髓告訴我們我們之所以可以解決很多非線性問題，本質(zhì)的原因在于我們化曲為直了，現(xiàn)實生活中我們會遇到很多非線性問題，那么解決這樣的問題有沒有統(tǒng)一的方法呢？經(jīng)過研究思考和總結(jié)，筆者認(rèn)為，微積分的基本方法在于：先微分，后積分。筆者所看到的是，現(xiàn)在的教材沒有注意對這些基本問題的總結(jié)，基本上所有的教材每講到積分時都還重復(fù)古人無限細分取極限的思想，講到弧長時取極限，講到面積時又取極限，最后用一個約等號打發(fā)過去。這樣一來不僅讓學(xué)生聽得看得滿頭霧水，而且很有牽強附會之嫌，其實懂得微積分的本質(zhì)和基本方法后根本不需要再那么重復(fù)。微積分學(xué)的建立從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題（積分學(xué)的中心問題）。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程（積分法）。德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。直到19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布?貝努利和他的兄弟約翰?貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。微積分的基本內(nèi)容研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的。最初，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對第谷浩瀚的天文觀測數(shù)據(jù)進行了分析運算，得到了萬有引力定律，并進一步導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學(xué)成了推動近代數(shù)學(xué)發(fā)展強大的引擎，同時也極大的推動了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。一元微分定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，X0及x0+Ax在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Ay=f(xO+Ax)-f(x0)可表示為Ay=AAxO+o(Ax0)(其中A是不依賴于Ax的常數(shù))，而o(AxO)是比Ax高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的，且AAx稱作函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量Ax的微分，記作dy,即dy=Adx。通常把自變量x的增量Ax稱為自變量的微分，記作dx,即dx=Ax。于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此,導(dǎo)數(shù)也叫做微商。幾何意義設(shè)Ax是曲線y=f(x)上的點M的在橫坐標(biāo)上的增量，Ay是曲線在點M對應(yīng)Ax在縱坐標(biāo)上的增量,dy是曲線在點M的切線對應(yīng)Ax在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)|Ax|很小時，|Ay-dyl比|Ay|要小得多(高階無窮小),因此在點M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。多元微分多元微分又叫全微分,是由兩個自變量的偏導(dǎo)數(shù)相對應(yīng)的一元微分的增量表示的。AZ=A*AX+B*AY+o(p)為函數(shù)Z在點(x、y)處的全增量，(其中A、B不依賴于AX和AY,而只與x、y有關(guān),p=［(xA2+yA2)］人(1\2),A*AX+B*AY即是Z在點的全微分?？偟膩碚f，微分學(xué)的核心思想便是以直代曲，即在微小的鄰域內(nèi)，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計算過程。積分有兩種：定積分和不定積分。定積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，定積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。一個函數(shù)的不定積分(亦稱原函數(shù))指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)。其中：［F(x)+C］'=f(x)—個實變函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的定積分，是一個實數(shù)。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去在a的值。定積分和不定積分的定義迥然不同，定積分是求圖形的面積，即是求微元元素的累加和，而不定積分則是求其原函數(shù)，它們又為何通稱為積分呢？這要靠牛頓和萊布尼茨的貢獻了，把本來毫不相關(guān)的兩個事物緊密的聯(lián)系起來了。詳見牛頓——萊布尼茨公式。—階微分與高階微分函數(shù)—階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的微分稱為—階微分;—階微分的微分稱為二階微分;n階微分的微分稱為(n+1)階微分即:d(n)y=f(n)(x)*dxM(f(n)(x)指n階導(dǎo)數(shù),d(n)y指n階微分,dxAn指dx的n次方）含有未知函數(shù)yt=f（t）以及yt的差分Dyt,D2yt,…的函數(shù)方程，稱為常差分方程（簡稱差分方程）；出現(xiàn)在差分方程中的差分的最高階數(shù)，稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為F（t，yt，Dyt，…，Dnyt）=0，其中F是t,yt,Dyt，…，Dnyt的已知函數(shù)，且Dnyt一定要在方程中出現(xiàn)。含有兩個或兩個以上函數(shù)值yt，yt+1,...的函數(shù)方程，稱為（常）差分方程，出現(xiàn)在差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差，稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為F（t，yt，yt+1，…，yt+n）=0,其中F為t，yt，yt+1,…，yt+n的已知函數(shù)，且yt和yt+n—定要在差分方程中出現(xiàn)。常微分方程與偏微分方程的總稱。含自變量、未知函數(shù)和它的微商（或偏微商）的方程稱為常（或偏）微分方程。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函，從而出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程，稱為偏微分方程。微積分的誕生及其重要意義微積分的誕生是繼Euclid幾何建立之后，數(shù)學(xué)發(fā)展的又一個里程碑式的事件。微積分誕生之前，人類基本上還處在農(nóng)耕文明時期。解析幾何的誕生是新時代到來的序曲，但還不是新時代的開端。它對舊數(shù)學(xué)作了總結(jié)，使代數(shù)與幾何融為一體，并引發(fā)出變量的概念。變量，這是一個全新的概念，它為研究運動提供了基礎(chǔ)推導(dǎo)出大量的宇宙定律必須等待這樣的時代的到來，準(zhǔn)備好這方面的思想，產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茨、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來，為科學(xué)活動提供方法，指出方向的領(lǐng)袖，但也必須等待創(chuàng)立一個必不可少的工具——微積分，沒有微積分，推導(dǎo)宇宙定律是不可能的。在17世紀(jì)的天才們開發(fā)的所有知識寶庫中，這一領(lǐng)域是最豐富的，微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強地認(rèn)識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強與加深了數(shù)學(xué)的作用。恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里?！庇辛宋⒎e分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為。宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律的所包含范圍內(nèi)。這是人類認(rèn)識史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠的社會影響。它強有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。一場空前巨大的、席卷近代世界的科學(xué)運動開始了。毫無疑問，微積分的發(fā)2021.03.072021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編現(xiàn)是世界近代科學(xué)的開端。微積分優(yōu)先權(quán)大爭論歷史上，微積分是由兩位科學(xué)家，牛頓和萊布尼茨幾乎同時發(fā)現(xiàn)的。在創(chuàng)立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績相當(dāng)。這兩位數(shù)學(xué)家在微積分學(xué)領(lǐng)域中的卓越貢獻概括起來就是：他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問題的一般方法，認(rèn)識到求積問題與切線問題互逆的特征，并揭示出微分學(xué)與積分學(xué)之間的本質(zhì)聯(lián)系；他們都各自建立了微積分學(xué)基本定理，他們給出微積分的概念、法則、公式和符號理論為以后的微積分學(xué)的進一步發(fā)展奠定了堅實而重要的基礎(chǔ)?？傊?，他們創(chuàng)立了作為一門獨立學(xué)科的微積分學(xué)。微積分這種數(shù)學(xué)分析方法正式誕生以后，由于解決了許多以往靠初等數(shù)學(xué)無法作答的實際問題，所以逐漸引起科學(xué)家和社會人士的重視。同時，也帶來了關(guān)于“誰先建立微積分”問題的爭論。從牛頓和萊布尼茨還在世時就開始出現(xiàn)這種爭論，英國和歐洲大陸各國不少科學(xué)家都卷入這場曠日持久的、尖銳而復(fù)雜的論戰(zhàn)。這場論戰(zhàn)持續(xù)了100多年的時間。就創(chuàng)造與發(fā)表的年代比較，牛頓創(chuàng)造微積分基本定理比萊布尼茨更早。前者奠基于1665—1667年，后者則是1672—1676年，但萊布尼茨比牛頓更早發(fā)表微積分的成果。故發(fā)明微積分的榮譽應(yīng)屬于他們兩人。第二次數(shù)學(xué)危機及微積分邏輯上的嚴(yán)格化微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來了一次空前繁榮的時期。對18世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重要而深遠的影響。但是牛頓和萊布尼茨的微積分**歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07都缺乏清晰的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)，這在初創(chuàng)時期是不可避免的?？茖W(xué)上的巨大需要戰(zhàn)勝了邏輯上的顧忌。他們需要做的事情太多了，他們急于去攫取新的成果?；締栴}只好先放一放。正如達朗貝爾所說的：“向前進，你就會產(chǎn)生信心！”數(shù)學(xué)史的發(fā)展一再證明自由創(chuàng)造總是領(lǐng)先于形式化和邏輯基礎(chǔ)。于是在微積分的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了這樣的局面：一方面是微積分創(chuàng)立之后立即在科學(xué)技術(shù)上獲得應(yīng)用，從而迅速地發(fā)展；另一方面是微積分學(xué)的理論在當(dāng)時是不嚴(yán)密的，出現(xiàn)了越來越多的悖論和謬論。數(shù)學(xué)的發(fā)展又遇到了深刻的令人不安的危機。例如，有時把無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時卻又令無窮小量為零而忽略不計。由于這些矛盾，引起了數(shù)學(xué)界的極大爭論。如當(dāng)時愛爾蘭主教、唯心主義哲學(xué)家貝克萊嘲笑“無窮小量”是“已死的幽靈”。貝克萊對牛頓導(dǎo)數(shù)的定義進行了批判。當(dāng)時牛頓對導(dǎo)數(shù)的定義為：當(dāng)X增長為x+o時，x的立方（記為xA3）成為（x+o）的立方（記為（x+o）人3）。即xA3+3xA2o+3xo人2+o人3。x與xA3的增量分別為o和3xA2o+3xoA2+oA3o這兩個增量與x的增量的比分別為1和3x^2+3xo+。人2，然后讓增量消失，則它們的最后比為1與3x^2o我們知道這個結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過程確實存在著明顯的偷換假設(shè)的錯誤：在論證的前一部分假設(shè)o是不為0的，而在論證的后一部分又被取為0。那么o到底是不是0呢？這就是著名的貝克萊悖論。這種微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機在數(shù)學(xué)史上稱為第二次數(shù)學(xué)危機，而這次危機的引發(fā)與牛頓有直接關(guān)系。歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。第一個為補救第二次數(shù)學(xué)危機提出真正有見地的意見的是達朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴(yán)格化的是拉格朗日。為了避免使用無窮小推理和當(dāng)時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒展開式的基礎(chǔ)上。但是，這樣一來，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級數(shù)的收斂問題，所以，拉格朗日的以冪級數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題。到了19世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極為微積分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲學(xué)家B.Bolzano.曾著有《無窮的悖論》，明確地提出了級數(shù)收斂的概念，并對極限、連續(xù)和變量有了較深入的了解。分析學(xué)的奠基人，法國數(shù)學(xué)家柯西在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列的基本概念和精確定義。對分析基礎(chǔ)做更深一步的理解的要求發(fā)生在1874年。那時的德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。黎曼發(fā)現(xiàn)，柯西沒有必要把他的定積分限制于連續(xù)函數(shù)。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。也就是將柯西積分改進為Riemann積分。這些事實使我們明白，在為分析建立一個完善的基礎(chǔ)方面，還需要再深挖一步：理解實數(shù)系更深刻的性質(zhì)。這項工作最終由外爾斯特拉斯完成，使得數(shù)學(xué)分析完全由實數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。這樣一來，數(shù)學(xué)分析所有的基本概念都可以通過實數(shù)和它們的基本運算表述出來。微積分嚴(yán)格化的工作終于接近封頂，只有關(guān)于無限的概念沒有完全弄清楚，在這個領(lǐng)域，德國數(shù)學(xué)家Cantor做出了杰出的貢獻。總之，第二次數(shù)學(xué)危機和核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固。柯西的貢獻在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)上。外爾斯特拉斯的貢獻在于邏輯地構(gòu)造了實數(shù)論。為此，建立分析基礎(chǔ)的邏輯順序是實數(shù)系——極限論——微積分18世紀(jì)的分析學(xué)驅(qū)動18世紀(jì)的微積分學(xué)不斷向前發(fā)展的動力是物理學(xué)的需要，物理問題的表達一般都是用微分方程的形式。18世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)。他們把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個領(lǐng)域，并