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討論含參函數(shù)單調(diào)性的四種常用題型一、能分解型例1.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;【解析】的定義域為,則,當時,,當時,,當時,,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,當時,令,解得或,當時,恒成立,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,無單調(diào)遞增區(qū)間,當時,,當或時,,當,時,,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或,單調(diào)遞增區(qū)間為,,當,,當或,時,,當時,,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或,,單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上所述:當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,當時,單調(diào)遞減區(qū)間為,無單調(diào)遞增區(qū)間,當時,單調(diào)遞減區(qū)間為,,單調(diào)遞增區(qū)間為,,當時,單調(diào)遞減區(qū)間為或,,單調(diào)遞增區(qū)間為.變式1.已知函數(shù),.若,討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】的定義域為,,當時,∵,∴.∴時,,時,,當時,的解集為,解集為,當時,,當時取等號,當時,解集為,解集為,∴時,的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,時,的單調(diào)增區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為,時,的單調(diào)增區(qū)間為,沒有減區(qū)間,時,的單調(diào)增區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為.例2.已知函數(shù)().討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】,,令,則或,當時,函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當時,函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;變式.已知函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;【解析】由題意知,函數(shù)的定義域為由已知得當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為當時,由,得,由,得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為綜上,當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.二、不可分解型例1.已知.討論的單調(diào)性;【解析】由題得函數(shù)的定義域為,,又,①當時,,所以在上單調(diào)遞增.②當時,即時,在上單調(diào)遞減.即時,令則,當時,當時.在和上單調(diào)遞減,在上遞增.綜上,當時,在上單調(diào)遞增;當時,在和上單調(diào)遞減,在上遞增.當時,在上單調(diào)遞減.變式1.已知函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】當時,恒有,所以在單調(diào)遞增;當時,令,則,則,(舍去),當時,,在單調(diào)遞增;當時,,在單調(diào)遞減.綜上所述,當時,在單調(diào)遞增;當時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.例2.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】由題意,函數(shù)的定義域為,且,設方程,可得,①當時,即時,,所以在上單增;②當時,即時,設方程的兩根為和,且,則,,且,①當時,可得,,所以在上單減,在上單增;②當時,可得,,所以在上單增,在上單減,在上單增.綜上可得:①當時,在上單增;②當時,在上單減,在上單增;③當時,在和上單增,在上單減.變式1.已知函數(shù),當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】函數(shù)的定義域為,,①當,即時,,所以在單調(diào)遞增;②當,即時,令,得,,且,,當時,;當時,;∴單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述:當時,在單調(diào)遞增;時,在區(qū)間,單調(diào)遞增;在區(qū)間單調(diào)遞減.變式2.設函數(shù),.討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】函數(shù)的定義域為,當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時,當時,則,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,所以時,函數(shù)在單調(diào)遞減,在上遞增;三、一次型例1.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】函數(shù)的定義域為,.當時,,從而,故函數(shù)在上單調(diào)遞減;當時,若,則,從而;若,則,從而.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述,當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,無單調(diào)遞增區(qū)間;當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.四、超越型例1.已知,函數(shù).(為自然對數(shù)的底數(shù)).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;【解析】由題得,令或,因為,所以,所以不等式組的解為或,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;令或,解之得,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.變式1.已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】因為,.所以.①當時,令,得.在上單調(diào)遞減;令,得,在上單調(diào)遞增.②當時,令,得.在上單調(diào)遞減;令,得或.在和上單調(diào)遞增.③當時,在時恒成立,在單調(diào)遞增.④當時,令,得.在上單調(diào)遞減;令,得或.在和上單調(diào)遞增.綜上所述:當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.變式2.已
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