大自然的數(shù)學(xué)游戲2-蜜蜂和數(shù)學(xué)

大自然的數(shù)學(xué)遊戲

系列之二蜜蜂與數(shù)學(xué)蜜蜂與數(shù)學(xué)

一個(gè)印度數(shù)學(xué)問題印度數(shù)學(xué)家婆什迦拉（Bhaskara,1114～約1185年）寫了一本數(shù)學(xué)書，叫做《麗羅娃蒂》(Lilavati)，其中有一題以蜜蜂為主角帶著美麗眼睛的少女──

麗羅娃蒂，請(qǐng)你告訴我：茉莉花開香撲鼻，誘得蜜蜂忙採蜜，熙熙攘攘不知數(shù)。全體之半平方根，飛入茉莉花園裡。總數(shù)的九分之八，徘徊園外做遊戲。另外有一隻雄蜂，循著蓮花的香味，進(jìn)入花朵中被困。一隻雌蜂來救援，環(huán)繞於蓮花周圍，悲傷地飛舞低泣。問蜂群共有幾隻？設(shè)蜜蜂共有x隻，根據(jù)題意列得方程式

化簡得本質(zhì)上這是個(gè)一元二次方程式。

，則x=2y2。從而式子變成但不合，故因此，蜜蜂總共有72隻。x=2×62=72

令解得y=6或蜜蜂與數(shù)學(xué)

解此題用到的變數(shù)代換的技巧非常重要，透過它使我們能夠「以簡馭繁」或穿越「表象」抓住「本質(zhì)」古印度盛行運(yùn)動(dòng)競賽，其中有一關(guān)是解數(shù)學(xué)難題（頭腦體操）。有一本數(shù)學(xué)參考書開頭就說：能夠解出本書題目的人，將使太陽暗淡，星星失去光彩。上述蜜蜂問題就是書中的一個(gè)題目，可見在當(dāng)時(shí)這是一道難題《麗羅娃蒂》書名由來《麗羅娃蒂》是婆什迦拉女兒的名字。占星家預(yù)測麗羅娃蒂的婚姻永遠(yuǎn)無成，但是有一個(gè)解運(yùn)的辦法。一個(gè)可漂浮在水面上的杯子，底部開一個(gè)很小的洞，水可慢慢流進(jìn)，一小時(shí)後若杯子沈沒就可擺脫厄運(yùn)。在一個(gè)吉日良辰施行解運(yùn)時(shí)，由於好奇心，麗羅娃蒂觀看杯中水逐漸上昇，突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡，恰好堵住進(jìn)水口，一小時(shí)後杯子並沒有沈沒，因此麗羅娃蒂還是要面對(duì)永遠(yuǎn)結(jié)不了婚的命運(yùn)。為了安慰女兒，婆什迦拉說：「我要寫一本書，以妳的名字為書名，讓妳流芳萬世；因?yàn)楹妹暿且粋€(gè)人的第二生命，也是不朽的基礎(chǔ)?！箷褪恰尔惲_娃蒂》蜜蜂簡介蜜蜂是群居性的昆蟲，嚴(yán)格施行分工合作的社會(huì)。一個(gè)蜂巢通常是由一隻后蜂、約五萬隻的工蜂以及數(shù)百隻的雄蜂組成的。受精卵會(huì)發(fā)育為雌蜂，未受精卵則為雄蜂。蜂王（后蜂）蜂王專司產(chǎn)卵，是蜂群共同生活中心，一群蜜蜂只有一隻蜂王，腹部長橢圓形，裡面裝滿待產(chǎn)的卵粒，壽命達(dá)3-5年處女王自空中婚禮交尾之後，約三天就負(fù)起產(chǎn)卵的使命，每天可產(chǎn)下1500-2000粒卵受精卵孵化出雌蜂之幼蟲，若持續(xù)餵以蜂王乳就長成蜂王工蜂負(fù)責(zé)築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛(wèi)、餵食幼蜂等工作；蜂群中絕大部分的各體都是工蜂她們不具有生殖的能力，其產(chǎn)卵管也已變成螫針。若前三天餵以蜂王乳，以後餵以蜂蜜或花粉，就發(fā)育成工蜂，因此工蜂是雌蜂雄蜂是蜂蜜世界中唯一的男性，后蜂所產(chǎn)的未受精卵就孵化為雄蜂，一群中大約有數(shù)十隻到數(shù)百隻不等腹部末端多毛沒有螫針，整天飛舞玩耍、鍛鍊肌肉，而無採集食物的能力，雄蜂唯一的任務(wù)是與蜂王交尾傳宗接代，是「小白臉」。雄蜂的食量驚人，比工蜂多吃三倍，14天已經(jīng)發(fā)育成熟，可交配。但須具有充沛的體力才有成親的機(jī)會(huì)。通常雄蜂精囊中的精液，精子數(shù)量有1200-1600萬個(gè)。蜜蜂的各種知識(shí)目前由蜜蜂生產(chǎn)而廣為利用的蜂品有蜂蜜、蜂王乳、花粉、蜂膠、蜂醋、蜂臘、蜂毒、蜂幼蛹等。蜂蜜甜甜的，蜂蜜的原料是花蜜，直接由蜜蜂採集而成。主要為提供蜜蜂活動(dòng)或飛行的能量，主成份為糖類（碳水化合物）蜂王漿(乳)有點(diǎn)辣辣的、酸酸的，並不好喝。工蜂食用花蜜及花粉後，經(jīng)過消化後，再由咽頭腺分泌出來而成蜂王漿。，而蜂王漿(乳)是蜂王生長發(fā)育所需的食物，也是使蜂王擁有每日產(chǎn)卵2,000個(gè)的活力，所以蜂王漿一直被人類視為營養(yǎng)補(bǔ)給的聖品工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必須出動(dòng)八萬次，每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。換言之，每釀造1公斤的蜂蜜，必須飛行32萬公里，大約是繞地球8圈的距離。蜂舞採蜜是工蜂的工作，先派一些做偵察蜂去找蜜源。當(dāng)偵察蜂發(fā)現(xiàn)採蜜的地點(diǎn)時(shí)，回巢要如何告知同伴呢？我們?nèi)祟惷枋龅攸c(diǎn)的方式有很多種，例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風(fēng)所在的經(jīng)緯度，到數(shù)學(xué)上更有效的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、廣義坐標(biāo)等等。蜜蜂以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點(diǎn)，基本上就是數(shù)學(xué)上的『極坐標(biāo)』！偵察蜂發(fā)現(xiàn)蜜源，牠飛回巢就先放出氣味，並且在蜂巢表面上跳舞?；旧戏殖蓛煞N舞步：圓舞與搖尾舞。圓舞如果蜜源在100公尺以內(nèi)，偵察蜂就跳圓舞。這表示蜜源就在附近，請(qǐng)同伴出去四周圍轉(zhuǎn)一下就可以找到。搖尾舞如果蜜源距離蜂巢超過100公尺，則跳搖尾舞。先走一小段直線路徑，再繞半圓，回到原出發(fā)點(diǎn)，然後走原直線路徑，再對(duì)另一側(cè)繞半圓，如此規(guī)律地反覆交替繞半圓。在走直線路徑時(shí)，還不斷地?fù)u擺牠的下腹，這是「搖尾舞」名稱的由來。極坐標(biāo)極坐標(biāo)就是，為了描述平面上P點(diǎn)（蜜源）的位置，於是在平面上選定一條半線（蜂巢與太陽方向之半線），叫做極軸，O點(diǎn)叫做極點(diǎn)（蜂巢），將極軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，遇到P點(diǎn)，，那麼P點(diǎn)的極坐標(biāo)就是(r,θ)。極坐標(biāo)有時(shí)是直角坐標(biāo)方程式難於表達(dá)的。太陽、蜂巢與蜜源的位置關(guān)係圖直線路徑偏離鉛垂線右方30度，這表示蜜源在太陽方向偏右30度的方向。蜂巢與蜜源的距離由單位時(shí)間的繞圈數(shù)決定，繞越多圈表示距離越遠(yuǎn)鳥類與魚類也有類似的行為KarlvonFrisch（1886～1982）奧地利動(dòng)物學(xué)家KarlvonFrisch就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向而有成的人。由於對(duì)個(gè)別動(dòng)物及其社會(huì)行為規(guī)律的研究有卓著的貢獻(xiàn)，在1973年得到諾貝爾生理學(xué)暨醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)KarlvonFrisch（1886～1982）在1910年證明魚可以看出不同的顏色1919年發(fā)現(xiàn)蜜蜂透過身體的搖動(dòng)來傳遞訊息在1947年發(fā)現(xiàn)蜜蜂利用極化光來定向他更在1967年出版《蜜蜂的跳舞語言與定向》一書（即參考資料）物理學(xué)家李政道曾說，他喜讀各種雜書，其中Frisch的這本名著就是他覺得特別有趣的一本。蜂巢巢房是用蜂蠟造成的，是由工蜂腹部的蠟腺分泌而出，須由工蜂吃下三至四公斤的蜂蜜，才能產(chǎn)生半公斤的的蜂蠟。蜂巢做為后蜂產(chǎn)卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的儲(chǔ)藏室。從正面看起來，蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲(chǔ)藏室連結(jié)而成蜂巢從整個(gè)立體的蜂巢來看，它具有左右（或前後）兩側(cè)的儲(chǔ)藏室．其截面如圖蜂巢圖是一個(gè)柱狀的蜂巢儲(chǔ)藏室，其底部是由三個(gè)全等的菱形面ASBR、ASCQ與PBSC所組成。蜂巢為何是正六邊形？底邊為何是三個(gè)全等的菱形面組成？為何是正六邊形？在平面上，要用固定長的線段圍成一塊封閉的領(lǐng)域，使其面積為最大，問應(yīng)如何圍法？正確的答案：圓。不過，要等到兩千多年後的十九世紀(jì)，透過變分學(xué)(calculusofvariation)的研究，才有真正嚴(yán)格的證明?！髟?943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯地證明，在所有首尾相連的正多邊形中，正多邊形的周長是最小的。為何是正六邊形？正多邊形能為成平面的只有正三邊形、正四邊形，正六邊形邊數(shù)越多，越接近圓形，表示可用最少的材料（周長）創(chuàng)造出最大的空間（面積），所以正六邊形就成為最佳的選擇。底邊為何是三個(gè)全等的菱形面組成？蜂巢的一個(gè)儲(chǔ)藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個(gè)菱形面組成，交會(huì)於底部中心頂點(diǎn)S

底邊為何是三個(gè)全等的菱形面組成？1712年，巴黎天文觀測所的天文學(xué)家馬若迪，他實(shí)際度量菱形的角度，得到的結(jié)果是70°32'與109°28'，並且相信蜜蜂是根據(jù)單純與數(shù)學(xué)美兩個(gè)原理來築巢底邊為何是三個(gè)全等的菱形面組成？馬若迪的結(jié)果引起法國著名的博物學(xué)家黎曼的興趣，他猜測蜜蜂選擇這兩個(gè)角度一定是有原因的，因此，黎曼就去請(qǐng)教瑞士年輕的數(shù)學(xué)家?guī)鞂?，題目如下：給定正六角形柱，底部由三個(gè)全等的菱形作成，問應(yīng)如何做會(huì)最節(jié)省材料？沒有透露這個(gè)問題是由蜂巢引起的底邊為何是三個(gè)全等的菱形面組成？庫寧算得的結(jié)果為70°34“與109°26”，與蜂巢實(shí)際的角度僅相差2“。底邊為何是三個(gè)全等的菱形面組成？庫寧的結(jié)果支持了蜜蜂是按「最經(jīng)濟(jì)原理」來行事。庫寧利用微分法解決上述的極值問題，他說：「蜜蜂所解決的問題，超越古典幾何的能力範(fàn)圍，而必須用到Newton與Leibniz的微積分?！挂话阏J(rèn)為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示，「不知亦能行」地（盲目地）使用高等數(shù)學(xué)而已。後來經(jīng)過的重算，發(fā)現(xiàn)蜜蜂是對(duì)的，而庫寧所犯的小錯(cuò)是出在計(jì)算時(shí)，所使用的數(shù)值表印錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字。蜜蜂的故事－1在《伊索寓言》一書中，有一則「蜜蜂與宙斯」的故事:「蜜蜂看到自己辛苦採來的蜜被人偷走，感到很氣憤，就到天神宙斯(Zeus)那裡，請(qǐng)求給予一種能力，能夠懲罰接近蜂巢的人。宙斯對(duì)蜜蜂這種惡毒心理非常不高興，於是就賦予蜜蜂螫人之針，但是針連著腸子並且有倒鉤，使得蜜蜂刺人一次，腸子就被拉出來，因而喪命?！姑鄯涞墓适拢?臺(tái)灣也有類似的故事：「蜜蜂向觀世音請(qǐng)求給予自衛(wèi)武器，起先觀世音不同意，生怕蜜蜂胡亂攻擊人。於是蜜蜂發(fā)誓，非到不得已的緊要關(guān)頭不會(huì)螫人，並且只要螫人一次，自己也願(yuàn)意付出生命的代價(jià)。觀世音同意，因此賦予連腸螫針。」結(jié)論蜂蜜是人們自古以來最早享用的甜食，古時(shí)候的中國人形容蜂蜜是日月及大地孕育的百花精華，古埃及人把蜂蜜當(dāng)成最貴重的貢品，獻(xiàn)給他們最崇敬的王。聖經(jīng)裡提到，上帝將給以色列人一個(gè)「流著奶與蜜」的地方，可見蜜蜂在