概率統(tǒng)計第二章

第二章隨機變量的分布與數(shù)字特征2/6/20232.1隨機變量及其分布隨機變量概念的產生引入隨機變量的意義隨機變量的分類2/6/2023一、隨機變量概念的產生在實際問題中，我們考察隨機試驗的結果發(fā)現(xiàn)：1、有些試驗結果本身明顯是數(shù)值型的例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；九月份常州的最高溫度；每天在常州站下火車的人數(shù)；從宿舍走到教室所花費的時間；2/6/20232、有些試驗結果表面上不是數(shù)值的下課走出教室遇到的第一人的性別;投擲硬幣，令X=1表示正面，X=0表示反面。簡記為r.v.(randomvariable)隨量機變表示隨機現(xiàn)象的各種結果或描述隨機事件的變量。隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示，而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.2/6/2023例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關于X的各種問題.如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5<X<1.7)=?隨機變量具有以下兩個特點：（1）在一次試驗前，不能預言隨機變量取什么值，它的取值決定于隨機試驗的結果。（2）隨機變量的所有可能取值是事先知道的，而且對應于隨機變量取某一數(shù)值或某一范圍的概率也是確定的。特別注意：隨機變量的取值或取值范圍表示隨機事件，隨機變量X本身不是事件。

2/6/2023事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律引入隨機變量重要意義

任何隨機現(xiàn)象可被隨機變量描述

借助微積分方法將討論進行到底二、引入隨機變量的意義2/6/2023三、隨機變量的分類

通常分為兩類：如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.取值不能一一列舉，連續(xù)取某個區(qū)間中的一切值

這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.2/6/2023離散型隨機變量2/6/2023設X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是x1,x2,…。為了描述隨機變量X，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應知道X取每個值的概率。這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律。從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1且2/6/2023其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

k=1,2,…1.定義：設xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的概率分布或分布列，有的書上也稱概率函數(shù).用這兩條性質判斷一個函數(shù)是否是概率分布一、離散型隨機變量概率分布的定義2/6/20232.表示方法（1）列表法：（2）公式法：再看例1任取3個球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,22/6/2023P(X=k)≥0,

2/6/2023例3：某籃球運動員投籃命中的概率是0.9，求他兩次獨立投籃，投中次數(shù)X的概率分布.解：

X可取0、1、2

P(X=0)=(0.1)×(0.1)=0.01P(X=1)=2×

(0.9)×(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)×(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1即X的分布列為：2/6/2023一般來說,離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求:(1)確定隨機變量的所有可能取值;(2)設法（如利用古典概率）計算取每個值的概率.(3)列出隨機變量的概率分布表（或寫出概率函數(shù)）.2/6/2023連續(xù)型隨機變量continuousrandomvariable,c.r.v.2/6/2023,使得,有1.定義對于隨機變量X,如果存在非負可積函數(shù)f(x),則稱X為連續(xù)型隨機變量(c.r.v.),稱f(x)為X的概率密度函數(shù)(pdf)，簡稱為概率密度或密度函數(shù).一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)的定義2.概率密度函數(shù)的性質1o2of(x)xo面積為12/6/20231。密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.這就是“密度”的含義。2。面積與概率f(x)xo2/6/20233.連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值證：由此得，1)對連續(xù)型隨機變量X,有2/6/2023因為，由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件,2)由P(A)=0,不能推出并非必然事件由P(B)=1,不能推出

B=2/6/2023例1.

設隨機變量X～求(1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2);(3)P(-3<X≤2)．解(1)

即所以A=1/πAπ=1,(2)P(-1/2<X≤1/2)==1/π(π/6+π/6)=1/3(3)P(-3<X≤2)==12/6/2023

2/6/2023分布函數(shù)(積累概率分布函數(shù))

為了對離散型的和連續(xù)型的隨機變量以及更廣泛類型的隨機變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進了分布函數(shù)的概念.一、分布函數(shù)的定義1.定義：設X是一個隨機變量，對任意的實數(shù)，隨機變量X取值落入?yún)^(qū)間內的概率為稱為隨機變量的分布函數(shù).2/6/2023

因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.顯然，對任意2/6/2023即是右連續(xù)的。2.分布函數(shù)的性質：反之，具有上述四個性質的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該四個性質是分布函數(shù)的充分必要性質。2/6/2023二、離散型隨機變量的分布函數(shù)設離散型隨機變量X

的分布律是則

由于是X

取的諸值

的概率之和，故又稱為累積概率函數(shù).離散型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù),在x=xk(k=1,2…)處有跳躍值pk=P{X=xk},如右圖所示2/6/2023解由定義當時,當時，當

時，故當時，例1求

。2/6/2023故下面我們從圖形上來看一看。注意右連續(xù)不難看出，

的圖形是階梯狀的圖形，在處有跳躍，其躍度分別等于2/6/2023分布函數(shù)圖概率函數(shù)圖2/6/2023二.連續(xù)性隨機變量c.

r.v.的分布函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的定積分.若c.r.v.X的概率密度

為f(x),則(1)由上式可得，有2/6/20232/6/2023(3)P{-1<X≤2}2/6/2023

從這里我們可以看出，不管是概率分布和積累概率分布,還是概率密度函數(shù)和積累概率分布,都用不同的形式傳達了相同的信息,反映了隨機變量的具體分布情況.2/6/20232.3常見的離散型隨機變量的概率分布(I)二點分布（0-1分布）

設E是一個只有兩種可能結果的隨機試驗：事件A發(fā)生或者A沒有發(fā)生。來源X=1,A發(fā)生0,A沒有發(fā)生P（X＝1）＝p,P（X=0）=q=1－p凡試驗只有兩個結果,常用0–1分布描述,如產品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超標等等。應用場合X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)?；?/6/2023

200件產品中，有196件是正品，4件是次品，今從中隨機地抽取一件，若規(guī)定例4：X=1,取到正品0,取到次品則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02故X服從參數(shù)為0.98的二點分布。2/6/2023例5：設生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).貝努里概型和二項分布(II)我們來求X的概率分布.X的概率分布是：X可取值0,1,2,3,4.2/6/2023例6將一枚均勻骰子拋擲3次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)X的概率分布是：1.定義：用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則稱r.v.X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作X~B(n,p)2/6/2023注:貝努里概型對試驗結果有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重貝努里試驗中A事件出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或，且P(A)=p，；（3）各次試驗相互獨立.2/6/2023最有可能遇到幾次紅燈呢?2/6/20232.二項分布的最可能值2/6/20233.下面我們研究二項分布B(n,p)和兩點分布B(1,p)之間的一個重要關系.

設試驗E只有兩個結果:A和。記p=P(A)，則P()=1-p，0<p<1,我們把試驗E在相同條件下，相互獨立地進行n次，記X為n次獨立試驗中結果A出現(xiàn)的次數(shù)。把描述第i次實驗結果的隨機變量記作Xi則Xi

～B(1,p),且X1,X2,,Xn也是相互獨立的(隨機變量相互獨立的嚴格定義第三章再講)。則有X=X1+X2++Xn2/6/2023

1、泊松分布的定義及圖形特點設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().(III)泊松分布(Poissondistribution)2/6/2023*泊松分布一般刻劃稀有事件出現(xiàn)的概率Poisson分布更多地專用于研究單位時間、單位人群、單位空間內，某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布。理論上單位時間或單位空間內的發(fā)生數(shù)可為無窮大。1)在單位時間內來到電話交換局的電話呼喚次數(shù)2)在單位時間內來到某一路邊話亭打電話的人數(shù)3)在單位時間內來到某一公共汽車站的乘客人數(shù)4)在單位時間內來到某一機場降落的飛機數(shù)5)在單位時間內某一母雞下蛋的個數(shù)6)在單位時間內蓋革-米勒計數(shù)器測到的粒子數(shù)7)在單位時間內來到某商店的顧客人數(shù)8)在單位時間內來到某商店某柜臺的顧客人數(shù)9)紡織廠生產的一批布上疵點的個數(shù)Poisson分布發(fā)展成為描述小概率事件出現(xiàn)規(guī)律性的一種重要的離散型分布。2/6/2023易見?泊松分布的圖形特點：X~P()2/6/2023

某一無線尋呼臺,每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布.求：(1)一分鐘內恰好收到3次尋呼的概率.(2)一分鐘內收到2至5次尋呼的概率.

例8：解:

(1)P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.71692/6/2023

某一城市每天發(fā)生火災的次數(shù)X服從參數(shù)為0.8的泊松分布.求:該城市一天內發(fā)生3次以上火災的概率.解:例9

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.04742/6/2023對于二項分布B(n,p),當n充分大，p又很小時,則對任意固定的非負整數(shù)k，有近似公式歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學家泊松引入的.2、二項分布與泊松分布命題Poisson定理設r.v.，，設(當)，則對固定的非負整數(shù)，有2/6/2023例10某種藥品的過敏反應率為0.0001，今有20000人使用此藥品，求20000人中發(fā)生過敏反應的人數(shù)不超過3的概率。解以表示20000人中發(fā)生過敏反應的人數(shù)，則服從二項分布，所求的概率為：2/6/2023如果利用近似公式計算，可以得到：，且比較兩個結果可以看到，近似程度是很高的。2/6/2023(Ⅳ)幾何分布2/6/2023(Ⅴ)超幾何分布引例：某班有學生20名，其中5名女同學，今從班上任選4名學生去參觀世博，被選到的女同學數(shù)X是一個隨機變量，求X的分布。解:X可以取0，1，2，3，4。定義：設N個元素分為兩類，有個屬于第一類，個屬于第二類()。從中按不重復抽取n個，X表示這n個中第一類元素的個數(shù)。則X的分布稱為超幾何分布。其概率函數(shù)為2/6/2023常見的連續(xù)型隨機變量1.均勻分布(Uniformdistribution)它用來描述一個隨機變量再一個區(qū)間上取每一個值的等可能性均等的分布規(guī)律。[a,b]區(qū)間上的均勻分布是該區(qū)間上每一點的概率密度相同，即取值落在該區(qū)間中每個子區(qū)間上的概率與子區(qū)間的長度成正比。2/6/2023若連續(xù)型隨機變量X的pdf為：則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作：X～U[a,b]（注：X～U（a,b））2/6/2023均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對小數(shù)點后第一位進行四舍五入時，那么一般認為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。2/6/2023則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記為X~E(λ)(λ>0).若隨機變量X的概率密度函數(shù)為概率密度曲線如圖:xf(x)注

指數(shù)分布常用作電子產品“壽命”分布，研究系統(tǒng)可靠性問題。2.指數(shù)分布（exponentialdistribution）2/6/20232/6/20232/6/2023正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布。正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面。3、正態(tài)分布(normaldistribution)2/6/2023德國馬克10元上高斯頭像和正態(tài)分布的密度曲線。2/6/2023I、正態(tài)分布的定義若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布。2/6/2023II、正態(tài)分布的圖形特點正態(tài)分布的密度曲線是一關于對稱的鐘形曲線。特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”。1).決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度。固定σ固定2/6/20232).f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:

這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。3).當x→∞時，f(x)→0,4).用求導的方法可以證明:為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=μ

σ2/6/2023Ⅲ.可以證明證明：作變量代換左邊2/6/2023化為極坐標其中2/6/2023實例年降雨量問題我們用上海99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。2/6/2023在現(xiàn)實中，許多隨機現(xiàn)象可以用正態(tài)分布或近似的正態(tài)分布來刻畫。如在生產中，在生產條件不變的前提下，各種產品的某些量度(如建筑材料的抗壓強度、細沙的強力、電燈泡的使用壽命、零件的尺寸等)一般都服從正態(tài)分布；在生物學中，同一種群的某種特征(像身高、體重等)一般也服從正態(tài)分布；在自然科學中，熱力學中理想氣體分子的速度分量，射擊時命中位置目標沿某個坐標軸的偏差，測量同一物體的測量誤差，考試成績等都服從或近似服從正態(tài)分布。2/6/2023Ⅳ、標準正態(tài)分布其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

表示：2/6/2023它的依據(jù)是下面的定理：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.根據(jù)定理1，只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,則~N(0,1)設定理12/6/2023設X~,則X的分布函數(shù)是三、正態(tài)分布的概率計算2/6/2023(一)、標準正態(tài)分布的概率計算其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：若X～N(0,1),2/6/2023書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.表中給的是x>0時,Φ(x)的值.當-x<0時P(|X|<a)=2Φ(a)-1.2/6/2023例6設，計算：解2/6/2023標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.

根據(jù)定理1就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,則~N(0,1)設定理1(二)、一般正態(tài)分布的概率計算若~N(0,1)2/6/2023將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,時，則可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內.這在統(tǒng)計學上稱作“3準則”（三倍標準差原則）.當X～N(0,1)時，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內2/6/2023例7設求與。所以解：2/6/2023例8設，計算：解2/6/2023

例9（1）假設某地區(qū)成年男性的身高（單位：cm）X～N(170,7.692)，求該地區(qū)成年男性的身高超過175cm的概率。解:(1)根據(jù)假設X～N(170,7.692)，則故事件{X>175}的概率為P{X>175}==0.2578（2）公交車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的，問車門高度應如何確定?2/6/2023(2)設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的

h.因為X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+17.92188設計車門高度為188厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.2/6/2023背景

前面我們介紹了隨機變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)全面地刻畫了隨機變量的全部概率性質。但在實際問題中，我們往往只需要了解隨機變量的主要特點，并不要求知道整個分布的所有細節(jié)。2/6/20232.2隨機變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學期望4.2方差2/6/2023數(shù)學期望引例1人壽保險經(jīng)紀人說，在美國40歲的婦女可期望再活38年。引例2

某教練員培養(yǎng)了甲、乙兩射手運動員，需要選拔其中一名參加運動會，現(xiàn)兩選手各向目標靶射擊十槍，二人命中的情況分別為：（單位：環(huán)）甲乙9810899898967910109108910試問該挑選誰去參加比賽？2/6/2023對于甲選手，命中環(huán)數(shù)的平均值為對于乙選手，命中環(huán)數(shù)的平均值為2/6/2023引例3設某離散型隨機變量X的分布列為如果對隨機變量進行N次隨機取值，問這N個值的平均值應是多少？（假設N相當大）解：X123以概率為權的加權平均數(shù)2/6/2023若級數(shù)絕對收斂（即收斂），則稱級數(shù)的和為隨機變量的數(shù)學期望（也稱期望或均值），記為。一、離散型隨機變量的數(shù)學期望定義1設離散型隨機變量的分布為注：①如果不絕對收斂，則隨機變量X的數(shù)學期望不存在。即②是個實數(shù)而非變量，是一種加權平均。2/6/2023例如:你以10%的利率借給你的朋友100元一年,到時若你朋友將錢還給你，那么你能拿到110元（100元的本金+10元的利息），但是有1%的可能是你朋友不還錢，那么你一分錢也拿不到。因此還款額是一隨機變量，求還款的期望值是多少？解：110×0.99+0×0.01=108.9多次這樣的借還過程中，平均而言，你將拿到的還款額是108.9元。2/6/2023二、常見分布的數(shù)學期望例1（0-1分布）設隨機變量服從0-1分布，求。解：2/6/2023例2（泊松分布）設隨機變量，求。解：2/6/2023例3（二項分布）設隨機變量,求。2/6/2023

例4假設你的阿姨是一所大學的人事處處長，她答應提供你一份暑期工作，但現(xiàn)在還不能肯定能提供的確切職位，她給出了下列估計：問你能期望的暑期工資為多少？2/6/2023其數(shù)學期望為二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望由于與很接近，所以區(qū)間中的值可用來近似，因此X近似于一個離散型隨機變量。

設連續(xù)型隨機變量的概率密度函為，將取值范圍用點x0

<x1<x2<…分為若干小區(qū)間，則落在小區(qū)間內的概率是2/6/2023由此啟發(fā)我們引進如下定義：定義2設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x),如果有限，則定義X的數(shù)學期望為也就是說，連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的積分。2/6/2023解：由于均勻分布的概率密度函數(shù)為例5（均勻分布）設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，求。正好是區(qū)間的中點。2/6/2023解：由于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為例6（正態(tài)分布），求。2/6/2023因此，顧客平均等待5分鐘就可得到服務。例7（指數(shù)分布）設顧客在某銀行的窗口等待服務時間（以分鐘計）服從指數(shù)分布，其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間？解:2/6/2023注：數(shù)學期望不一定存在。

如:隨機變量取值為時,對應的概率為級數(shù)但是所以，EX不存在。是發(fā)散的。2/6/2023注：數(shù)學期望不一定存在。

如:隨機變量服從柯西分布,概率密度為2/6/2023下面的定理給出了肯定的答案。設隨機變量的分布已知，如何計算的某個函數(shù)的數(shù)學期望呢？一種方法：也是隨機變量，它的分布可以由已知的的分布求出來，從而按照期望定義計算出

是否可以不先求出的分布而只根據(jù)的分布求出呢？三隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望2/6/2023（1）若為離散型隨機變量，其概率分布為且絕對收斂，則定理1設為隨機變量的函數(shù)，這里為連續(xù)的實值函數(shù)，（2）若為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為且絕對收斂，則2/6/2023例8設離散型隨機變量X的分布列為

X-1023試計算：和。解：2/6/2023已知X

的概率密度為例9已知X

服從上的均勻分布，計算的數(shù)學期望。解則所求的數(shù)學期望為：2/6/2023四、數(shù)學期望的性質如果X、Y是兩個隨機變量，C為任意常數(shù)，且都存在，則數(shù)學期望有以下四條常見的性質。2/6/2023

中心中心如:甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙較好因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.方差2/6/2023方差2/6/2023

容易算得，二人擊中環(huán)數(shù)的平均值都是8.8環(huán)，現(xiàn)問，甲、乙二人哪一個水平發(fā)揮的更穩(wěn)定？甲981089889109乙67910109108910直觀的理解，二選手中哪一個擊中的環(huán)數(shù)偏離平均值越少，這個選手發(fā)揮的更穩(wěn)定假設甲乙兩射手各發(fā)十槍，擊中目標靶的環(huán)數(shù)分別為2/6/2023一些。為此我們利用二人每槍擊中的環(huán)數(shù)距平均值的偏差的均值來比較。為了防止偏差和的計算中出現(xiàn)正、負偏差相抵的情況，應由偏差的絕對值之和求平均更合適。對于甲選手，偏差絕對值之和為：2/6/2023對乙選手，容易算得偏差絕對值之和為10.8環(huán)，所以甲、乙二人平均每槍偏離平均值為0.64環(huán)和1.08環(huán)，因而可以說，甲選手水平發(fā)揮更穩(wěn)定些。類似的，為了避免運算式中出現(xiàn)絕對值符號。我們也可以采用偏差平方的平均值進行比較。2/6/2023為此我們引入以下定義：定義對隨機變量X，如果數(shù)學期望存在，且的數(shù)學期望也存在，則稱的值為隨機變量X

的方差，記為由前面的例子容易理解，方差反映了隨機變量取值相對于均值的分散程度，即反映X取值的穩(wěn)定性。2/6/2023應當注意，對隨機變量X而言，其數(shù)學期望是一常數(shù)，而與是隨機變量，利用數(shù)學期望的性質可得2/6/2023即。這是方差運算中一個常用的公式?？紤]到方差的單位難以解釋，我們稱方差的平方根為隨機變量X的標準差或均方差，記為即：2/6/2023X為d.r.v,P{X=xk}=pk方差是隨機變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學期望X為c.r.v，X~f(x)D(X)=E(X2)-[E(X)]2

常用此公式計算常見分布的方差.計算方差的一個簡化公式總結方差的計算方法:2/6/2023求:D(X)解:例1:

設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f(x)為2/6/2023服從0—1分布的隨機變量X，分布列為求X的方差。已知而且則X的方差為解2/6/2023泊松分布:

X～P()其中>0∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2+-2=2/6/2023對服從[a，b]區(qū)間上均勻分布的隨機變量X，計算已知，且解2/6/2023從而2/6/2023指數(shù)分布2/6/2023例:已知求由方差的定義可得解作代換則2/6/2023由此可知，正態(tài)分布的兩個參數(shù)和分別表示隨機變量X的均值和方差。2/6/2023關于方差的性質，常見的有以下幾條：2/6/2023證明2/6/2023例2設隨機變量X的期望E（X）和方差D（X）都存在，則稱為X的標準化隨機變量，試求和注意到均為常數(shù)，再由期望及方差的性質可得：解2/6/2023可見，標準化隨機變量的期望是0，方差是1。因此，把隨機變量標準化，可以使所討2/6/2023論的問題變得較簡單，這種處理問題的方法在概率與數(shù)理統(tǒng)計中時有應用。例如，隨機變量X服從正態(tài)分布