第八章線性常微分方程的級數(shù)解法和某些特殊函數(shù)

第八章線性常微分方程的級數(shù)解法和某些特殊函數(shù)(P148)基本內(nèi)容:常點和正則奇點鄰域上的冪級數(shù)解法;勒讓德多項式、貝塞爾函數(shù)等特殊函數(shù);非齊次方程的通解.

本章難點:正則奇點鄰域上的冪級數(shù)解法.本章既是本課程下篇的基礎(chǔ),也是學習近代物理的基礎(chǔ),所以學好本章具有重要意義.2/6/20231第八章§8.1常點鄰域方程的級數(shù)解

勒讓德方程1常點鄰域方程的級數(shù)解2勒讓德方程2/6/20232第八章1常點鄰域方程的級數(shù)解方程的一般形式定解條件：

(8.1)（8.2）為應(yīng)用解析函數(shù)理論設(shè)p(z)、q(z)、y(z)是分別由p(x)、q(x)、y(x)唯一確定的復(fù)變函數(shù).為了書寫方便變量仍記作x.2/6/20233第八章1)方程的常點：在是解析的，則2)解的存在和唯一性定理：設(shè)函數(shù)在則(8.1)存在唯一的滿足條件(8.2)的解析函數(shù)3)求解步驟：b)將、、在并比較(x-x0)的同冪項系數(shù)，給出系數(shù){ak}的遞推公式；稱為方程的常點。內(nèi)是解析的，.；c)運用系數(shù)遞推公式，將系數(shù)確定至兩個積分常數(shù)；上的冪級數(shù)展開式代入方程，d)討論.確定x0為方程常點，設(shè)2/6/20234第八章2勒讓德方程[在第十二章“球坐標系下的分離變數(shù)法”中，勒讓德多項式和球函數(shù)要用此處結(jié)果，在那里取值待定、而1)同一般形式比較,均在上解析，故是方程的常點x0=0.

2/6/20235第八章2)設(shè)

將以上諸式代入勒讓德方程，得↓的系數(shù)：…∴2/6/20236第八章3)定系數(shù)：

2/6/20237第八章4)討論：解在上是絕對且一致收斂的，在物理上需要考慮處的收斂問題，P151具體論證了y0(x)在x=1發(fā)散所以,要求有限值,是數(shù)學問題有物理意義的必然要求.，y0(x)退化為l=2n次多項式,y1(x)仍發(fā)散舍去；：多項式,

y0(x)仍發(fā)散舍去.總之,l=整數(shù)：方程的兩個特解中有一個退化為l次多項式(l階勒讓德多項式),另一個發(fā)散級數(shù)解舍去..y1(x)退化為l=2n+1次2/6/20238第八章5)階勒讓德多項式∵

∴上式中k=1,2,…,2/6/20239第八章若選取則使得yl(1)=1,此時yl(x)稱為l階勒讓德多項式由上式易得，、、、注:本征值問題本征值：本征函數(shù)：[Pl(x)的表達式在第十二章中要用]、…2/6/202310第八章§8.2正則奇點鄰域方程的級數(shù)解柱貝塞爾方程(P153)1.正則奇點鄰域方程的級數(shù)解4.柱貝塞爾方程(m=0或整數(shù)的情況)2.柱貝塞爾方程(和正整數(shù)的情況)3.柱貝塞爾方程(m=半整數(shù)的情況)2/6/202311第八章1正則奇點鄰域方程的級數(shù)解（1）（2）當(1)與(3)總是線性無關(guān)的2)在正則奇點鄰域上方程冪級數(shù)獨立解或（3）1)方程的奇點x0:是p(x)高于一階或q(x)高于二階的極點.

正則奇點x0:(Fuchs富克斯定理)是p(x)不高于一階的極點或q(x)

的不高于二階的極點.在奇點x0鄰域上運用級數(shù)解法是不方便的,故本課程只研究正則奇點鄰域上的冪級數(shù)解.2/6/202312第八章3)指標方程p-1是p(x)在上展開式中的負一次冪項系數(shù)上展開式中的負二次冪項系數(shù)a)判定x0為正則奇點代入方程→各冪次系數(shù)為零→c)s1-s2=非整數(shù)，取系數(shù)遞推公式中s=s1、s2分別給出y1、y2；若s1-s2=整數(shù)，仍取系數(shù)遞推公式中s=s1、s2分別給出y1、y2，d)必要的討論.4)求解步驟：b)將若二者線性相關(guān)，則另取代入方程從頭開始；q-2是q(x)在2/6/202313第八章思考與討論題1.何謂方程的常點？在常點鄰域方程的冪級數(shù)解有怎樣的形式？2.二階線性齊次常微分方程在常點鄰域的冪級數(shù)解法的主要步驟有哪些？其中要注意的要點是哪些？作業(yè)：p175：8.1(1)、(3)，8.22/6/202314第八章2柱貝塞爾方程(和正整數(shù)的情況)(在柱坐標系、球坐標系中求解定解問題時將遇到)在區(qū)域上解析，顯然x0=0是的單極點，q(x)的二階極點，所以x0=0是方程的正則奇點；1)2)設(shè)2/6/202315第八章

而∴—系數(shù)遞推公式，(k=1,2,…)c0任意，s1=m,s2=-m,s1-s2=2m≠0或正整數(shù)2/6/202316第八章2)給出如下[其中利用了取則—m階貝塞爾函數(shù)；給出第二個特解：—-m階貝塞爾函數(shù)類似取2/6/202317第八章a)若m是非整數(shù)與非半整數(shù)時，與線性獨立，通解b)m階貝塞爾函數(shù)中m的對任何實數(shù)都適用，只是與線性相關(guān).當m=整數(shù)時3)討論：2/6/202318第八章3柱貝塞爾方程(m=半整數(shù)的情況)先討論的情況：:,c0任意,所以2/6/202319第八章當取:時，推導(dǎo)同2，可得

當取時，常數(shù)任意2/6/202320第八章則1)可以驗證：,顯然它與線性無關(guān),所以方程的通解為因此,在保證與線性獨立的前提下,可取,則2)對的情況，可知與線性獨立，則階貝塞爾方程的通解為的初等函數(shù)表示見第十三章P285～286.；階貝塞爾討論：則2/6/202321第八章4柱貝塞爾方程(或整數(shù)的情況)=(當k+1-m=0或負整數(shù)時，Γ(k+1-m)→∞)它與線性相關(guān),所以第二個特解應(yīng)取為:經(jīng)過P161～164的推導(dǎo)(推導(dǎo)過程較為復(fù)雜,故不作要求),可得與線性獨立的第二個特解為階諾依曼(Neumann)函數(shù)所以當m為0或正整數(shù)時，m階貝塞爾方程的通解為綜上所述：只要是實數(shù)，通解總可以寫成上式2/6/202322第八章﹡§8.3高斯方程和庫默爾方程(P167)

§8.4非齊次方程的通解(P172)非齊次方程：相應(yīng)的齊次方程：1齊次方程的通解2非齊次方程的通解（1）（2）2/6/202323第八章若已知第一個特解為y1(x),則齊次方程的通解為只所以為通解,是因為上式中含有兩個不定積分;若兩個不定積分改為帶有固定下限的積分，則上式為與y1獨立的第二個特解.（3）由y1、y2組成的朗斯基行列式：證明:設(shè)y1、y2是獨立特解，則（4）1齊次方程的通解2/6/202324第八章

再由(3)、(4)∴證畢.2/6/202325第八章2非齊次方程的通解含有兩個積分常數(shù)是方程(1)的通解;而y1、y2分別是(2)的兩個線性獨立特解.設(shè)y3是(1)的任意特解（5）y1×上式-y3

×(3)式，令，則上式成為為求作如下代換：，2/6/202326第八章則上方程化為：而∴∴

由(5)與(6)式∴=（6）2/6/202327第八章由齊次方程的第二個特解∴此式中含有兩個不定積分，所以實際上是非齊次常微分方程的通解.證畢.2/6/202328第八章[例]求方程解:化為一般形式(必須)易得:∴齊次方程的通解，所以第二個特解為