量子力學(xué)第七章

第六章

自旋與全同粒子

1前言

盡管單粒子體系的薛定諤方程取得了很大的成功。但是該理論有很大的局限性。首先，絕大部分微觀粒子都存在自旋，而前面討論的問題都未涉及到粒子的自旋特征。另外，實(shí)際粒子體系一般多為多粒子體系，所以研究多粒子體系的問題更有實(shí)際意義。6.1電子自旋(Electronspin)施特恩-蓋拉赫（Stern-Gerlach）實(shí)驗(yàn)基本思想是通過討論基態(tài)氫原子在非均勻磁場中運(yùn)動(dòng)情況，得知電子具有自旋的信息2

通電線圈只有在非均勻磁場中才可能受外力作用否則只能受外力矩作用，外力矩只能使它轉(zhuǎn)動(dòng)而不產(chǎn)生平動(dòng)，具有自旋的氫原子也是如此

基態(tài)氫原子，總電量為0，軌道角動(dòng)量也為0，即核外電子無軌道磁矩，表面上其運(yùn)動(dòng)應(yīng)該不受磁場的影響，實(shí)際情況是氫原子在磁場中軌跡分裂成兩條，這說明氫原子有自旋磁矩。3即自旋磁矩平行或反平行于外加磁場由此，氫原子運(yùn)動(dòng)情況與磁場和電子自旋磁矩的夾角有關(guān)，由于只有兩個(gè)軌跡，所以電子的自旋磁矩只有兩個(gè)方向，計(jì)算表明烏侖貝克.哥德斯米脫假設(shè)（1）每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量，它在空間任意方向的取值只能有兩個(gè)4（SI）

（CGS）在任意方面上的投影（SI）

（CGS）

（2）每個(gè)電子具有自旋磁矩

,它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系是（——玻爾磁子）

5自旋回轉(zhuǎn)磁比率（磁矩與角動(dòng)量的比值）：（SI）（CGS）

軌道磁矩與軌道角動(dòng)量的關(guān)系：（SI）（CGS）

自旋回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的兩倍

（SI）（CGS）6§6.2電子的自旋算符和自旋函數(shù)1自旋算符

為了描述電子的自旋角動(dòng)量的特性，需要引入一個(gè)厄米算符來表征電子的自旋角動(dòng)量注意：自旋角動(dòng)量是電子內(nèi)部的一種固有特性，它是由電子的自身結(jié)構(gòu)決定的，在經(jīng)典理論中沒有對(duì)應(yīng)量，它不能表示為空間坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)。但是

作為自旋角動(dòng)量，它與軌道角動(dòng)量應(yīng)該具有相同的量子性質(zhì)，應(yīng)滿足角動(dòng)量算符的普遍對(duì)易關(guān)系7自旋角動(dòng)量平方算符

與各分量間的對(duì)易關(guān)系為8

由于在空間任意方向上的投影只有兩個(gè)取值，所以、、的本征值是

的本征值都是

即的本征值

將自旋角動(dòng)量本征值表示為角動(dòng)量本征值的一般表示式:1.自旋算符的本征值它們相當(dāng)于一個(gè)數(shù)值算符

93泡利算符s為自旋量子數(shù)為“磁”量子數(shù)為了討論問題方便，引入泡利算符10對(duì)易關(guān)系泡利算符的平方算符11的本征值本征值的本征值都是

12Prove反對(duì)易關(guān)系Prove134．自旋算符的矩陣表示

描述電子自旋角動(dòng)量狀態(tài)，類似于一般角動(dòng)量的描述方法，通常選作為力學(xué)量完全集，即以它們的共同本征態(tài)描述體系的狀態(tài)，稱為表象，通常也簡稱表象，該本征態(tài)只有兩個(gè)，兩個(gè)態(tài)相應(yīng)于S2的取值總為3/4?2，而Sz取+1/2?或者-1/2?，在該表象中，自旋算符矩陣應(yīng)該是兩行兩列矩陣，波函數(shù)為兩分量的列矩陣：很顯然14相應(yīng)于Sz取的本征態(tài)可表示為相應(yīng)于Sz取的本征態(tài)可表示為兩個(gè)本征矢15該兩個(gè)函數(shù)滿足正交歸一化條件16故有

（a,d必為實(shí)數(shù)）由

設(shè)的矩陣形式為現(xiàn)在來求的矩陣形式17則

而

再由得到18取

19泡利矩陣自旋算符矩陣Sz表象中本征函數(shù)設(shè)本征函數(shù)為則其本征方程為20相應(yīng)的久期方程為由此可以解得相應(yīng)于其本征方程為21化簡后有即由此的本征函數(shù)為或者歸一化后為其物理意義：表示在Sx取的本征態(tài)中，Sz取22的概率各占1/2類似地的本征方程為歸一化后的本征函數(shù)同理的本征值也為相應(yīng)的本征函數(shù)分別為及23思考題在Sz本征值為的本征態(tài)中測(cè)量Sx，測(cè)量結(jié)果及相應(yīng)的概率為多少？24上一節(jié)內(nèi)容復(fù)習(xí)1、自旋角動(dòng)量算符及對(duì)易關(guān)系

本征值均為25本征值均為本征值為及與電子的具體自旋狀態(tài)無關(guān)，所以，它們相當(dāng)于是一個(gè)數(shù)量算符2、泡利算符26對(duì)易關(guān)系反對(duì)易關(guān)系27相應(yīng)算符的本征值的本征值都是

本征值均為1本征值均為3及均為數(shù)量算符3．自旋算符及本征態(tài)的矩陣表示在表象，即以本征矢為基矢量的表象中所有自旋波函數(shù)均為兩行一列矩陣，而算符則為兩行兩列矩陣28常用算符的矩陣形式29常用算符的本征函數(shù)算符本征函數(shù)算符本征函數(shù)算符本征函數(shù)304.考慮自旋的電子波函數(shù)的幾率密度。表示t時(shí)刻，在處找到自旋的電子的幾率密度

表示t時(shí)刻，在處找到自旋的電子表示t時(shí)刻粒子在x，y，z處的電子出現(xiàn)的幾率密度31電子的概率表示在全空間找到自旋為其中電子的概率表示在全空間找到自旋為表示電子在全空間出現(xiàn)總概率為0在一般情況下，自旋和軌道運(yùn)動(dòng)之間有相互作用，因而電子的自旋狀態(tài)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)有影響，與不同。當(dāng)電子的自旋和軌道運(yùn)動(dòng)相互作用小到可以忽略時(shí)，與相同，這時(shí)總波函數(shù)為32對(duì)于任意一個(gè)力學(xué)量算符，在考慮自旋的情況下都是一個(gè)兩行兩列矩陣335.考慮自旋的電子波函數(shù)

電子既然有自旋，其波函數(shù)應(yīng)包含電子自旋的信息，電子自旋通常用來表示，所以波函數(shù)表示為寫成矩陣形式，為二行一列矩陣34物理意義：的幾率密度。的幾率密度

表示t時(shí)刻，在處找到自旋的電子表示t時(shí)刻粒子在x，y，z處的電子出現(xiàn)的幾率密度表示t時(shí)刻，在處找到自旋的電子35粒子在全空間的歸一化條件其中表示在全空間找到自旋為電子的概率表示在全空間找到自旋為電子的概率在一般情況下，自旋和軌道運(yùn)動(dòng)之間有相互作用，因而電子的自旋狀態(tài)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)有影響，這通過中的和是的不同函數(shù)來體現(xiàn)。

當(dāng)電子的自旋和軌道運(yùn)動(dòng)相互作用小到可以忽略時(shí)，和對(duì)空間位置的依賴關(guān)系是一樣時(shí)，這時(shí)，總的波函數(shù)可以分解為空間波函數(shù)和自旋波函數(shù)的乘積36因?yàn)榇藭r(shí)空間波函數(shù)不受自旋方向的影響，所以軌道波函數(shù)為設(shè)電子的自旋波函數(shù)為則總波函數(shù)可表示為37考慮電子自旋情況下，體系力學(xué)量的平均值對(duì)于任意一個(gè)力學(xué)量算符，在考慮自旋的情況下都是一個(gè)兩行兩列矩陣所以，總的平均值為

由此對(duì)自旋求平均：

該式僅是對(duì)x，y，z點(diǎn)與電子自旋有關(guān)的力學(xué)量的平均

38§6.3簡單塞曼效應(yīng)考慮氫原子和類氫原子在均勻磁場中的情況，這時(shí)電子除了具有原來的動(dòng)能和勢(shì)能外，因?yàn)榫哂凶孕蛙壍来啪?，所以還具有附加的磁場能，另外電子和自旋之間還具有相互作用能。假設(shè)外磁場很強(qiáng)，以至于自旋和軌道的相互作用能遠(yuǎn)小于它們?cè)谕獯艌鲋械哪芰?，這時(shí)可忽略相互作用能。在有強(qiáng)磁場的情況下的附加磁場能量39取的方向?yàn)檩S方向，則定態(tài)Schr?dinger方程由于不考慮自旋與軌道相互作用，所以該方程的本征函數(shù)為：

或者40把以上兩式代入以上本征方程，可得當(dāng)外磁場不存在時(shí)，方程的解為對(duì)于氫原子，其能級(jí)只與n有關(guān)，即對(duì)L與m簡并，而對(duì)于堿金屬由于內(nèi)層電子對(duì)原子核的庫侖場的屏蔽，其能級(jí)不僅與n有關(guān)，也與L有關(guān)，僅對(duì)m簡并41在有外磁場作用情況下，因?yàn)樗匀匀粸樾碌姆匠痰哪芰勘菊骱瘮?shù)，把代入兩個(gè)方程可得到由此，加入磁場后，原先對(duì)m的簡并也消除了下圖是加磁場時(shí)的2p到1s能級(jí)躍遷4243在外場中由能級(jí)躍遷到的譜線頻率為由m的選擇定則可知

在外磁場中分裂成三條譜線，這種現(xiàn)象稱為簡單塞曼效應(yīng)。,44上一節(jié)內(nèi)容復(fù)習(xí)類氫原子在強(qiáng)外磁場作用下，自旋和軌道的相互作用能遠(yuǎn)小于它們?cè)谕獯艌鲋械哪芰?，這時(shí)可忽略相互作用能。定態(tài)薛定諤方程：類氫原子的簡單塞曼效應(yīng)其中該方程的兩個(gè)本征函數(shù)45或者相應(yīng)的兩個(gè)軌道波函數(shù)方程為該兩個(gè)方程的解相應(yīng)的能量本征值為46即在磁場作用下，體系能級(jí)對(duì)m的簡并消除體系的譜線分裂為3條這種現(xiàn)象稱為簡單塞曼效應(yīng)47§6.4兩個(gè)角動(dòng)量的耦合

經(jīng)典力學(xué)中，若一個(gè)物體同時(shí)具有兩個(gè)不同來源的角動(dòng)量，則其總角動(dòng)量可以表示為的矢量和，根據(jù)算符假設(shè)，量子力學(xué)中總角動(dòng)量也應(yīng)表示為算符的形式，且根據(jù)經(jīng)典力學(xué)量之間的關(guān)系與相應(yīng)算符之間關(guān)系的對(duì)應(yīng)性，表示總角動(dòng)量的算符應(yīng)定義為兩個(gè)分角動(dòng)量算符的矢量和，即

可以證明該角動(dòng)量與前面介紹的角動(dòng)量具有相同的對(duì)易關(guān)系或48另外但是以下根據(jù)的本征值，求角動(dòng)量的本征值先介紹兩套表象1、非耦合表象

前面已介紹過，描述體系狀態(tài)需要一組相互對(duì)易的49力學(xué)量組成力學(xué)量完全集，很顯然對(duì)于兩個(gè)角動(dòng)量體系，可以選構(gòu)成力學(xué)量完全集，其共同本征函數(shù)系用由此由于兩套角動(dòng)量相互獨(dú)立，所以50以這一組本征函數(shù)系為基矢所構(gòu)成的表象稱為非耦合表象，在該表象中均為對(duì)角陣2、耦合表象由于也相互對(duì)易，所以也可以選以上的四個(gè)力學(xué)量構(gòu)成描述兩個(gè)角動(dòng)量體系的力學(xué)量完全集，它們的共同本征函數(shù)在該態(tài)中51復(fù)習(xí)兩個(gè)角動(dòng)量合成兩個(gè)角動(dòng)量合成的總角動(dòng)量在量子力學(xué)中同樣是用算符表示其對(duì)易關(guān)系它與一般角動(dòng)量具有相同的性質(zhì)，所以的本征值為的本征值為52幾個(gè)重要的對(duì)易關(guān)系式兩種表象描述兩個(gè)角動(dòng)量耦合時(shí)通常選作為力學(xué)量完全集，它們共同的本征函數(shù)系用表示，以這一套本征函數(shù)系作為基矢量的表象稱為非耦合表象53也可以選作為力學(xué)量完全集，它們的共同本征函數(shù)系用表示，以該本征函數(shù)系為基矢的表象稱為耦合表象543、已知兩個(gè)角動(dòng)量量子數(shù)，求總角動(dòng)量量子數(shù)這種情況下，耦合表象的波函數(shù)可表示為

把它按非耦合表象的本征函數(shù)系進(jìn)行展開，由于在該態(tài)中，確定，非耦合表象中展開式中只能包含確定的態(tài)以這組函數(shù)系為基矢的表象稱為耦合表象

描述兩個(gè)角動(dòng)量體系可以用耦合表象也可以用非耦合表象，要看研究問題的方便而定。例如，討論自旋-軌道相互作用時(shí)通常用耦合表象比較方便可能值分角動(dòng)量量子數(shù)確定總角動(dòng)量量子數(shù)的可能值由其中j，m待定55否則在該態(tài)中測(cè)量就有除由于所以而的可能值可根據(jù)求出。展開式可表示為克來布希-高登系數(shù)由此對(duì)于確定的m，以外的其它值56由于構(gòu)成該本征矢的基矢量共有個(gè)，因此，獨(dú)立的個(gè)數(shù)也應(yīng)該為

個(gè)，它們相應(yīng)于取不同的可能值，的最大值為令的最小值為對(duì)應(yīng)于每一個(gè)可能

，可有種可能的取值，由此可算出總態(tài)數(shù)為可以求出57所以有由于j只能取正整數(shù)或0，所以58

由此，在兩個(gè)分角動(dòng)量量子數(shù)一定的情況下，總角動(dòng)量量子數(shù)可能值為到間的所有正整數(shù)值和之間的關(guān)系可用一三角形來表示例：設(shè)電子的軌道角動(dòng)量量子數(shù)，和軌道總角動(dòng)量的可能值及相應(yīng)簡并度求電子的自旋59§6.6全同粒子的特征固有性質(zhì)相同的粒子稱為全同粒子

例：電子、質(zhì)子、中子、超子、重子、輕子等

固有性質(zhì)指的是：質(zhì)量、電荷、自旋、宇稱等……1.全同粒子2．不可區(qū)分性

經(jīng)典力學(xué)中，兩個(gè)性質(zhì)相同的物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍然可以區(qū)分，因各自有確定軌道。60例如：在電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中，考察兩個(gè)電子，無法判別哪個(gè)電子通過哪條縫，也無法判別屏上觀察到的電子，通過哪條縫來的，也無法判別哪個(gè)是第一個(gè)電子，哪個(gè)是第二個(gè)電子……微觀體系（粒子），因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)具有波粒二象性，無確定軌道，在位置重迭處就不能區(qū)分是哪個(gè)粒子。3．全同性原理由于全同粒子的不可區(qū)分性，在全同粒子所組成的系統(tǒng)中，任意兩個(gè)全同粒子相互交換（位置等）不會(huì)引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)中的基本原理之一，也稱基本假設(shè)之一。614．全同粒子體系波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)設(shè)體系由N個(gè)全同粒子組成以表示第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋表示第i個(gè)粒子在外場中的能量表示第i個(gè)粒子和第i個(gè)粒子的相互作用能則體系的哈米頓算符：則兩粒子互換，哈米頓算符不變62此時(shí)薛定諤方程可表示為：交換與63

這表示如果是方程的解，則也是方程的解。

根據(jù)全同性原理，它們描述的是同一狀態(tài)，則它們間只可能相差一常數(shù)因子，以表示.即有

再交換與64

描述全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是交換對(duì)稱或者反對(duì)稱的。當(dāng)時(shí)

即波函數(shù)為交換反對(duì)稱函數(shù)當(dāng)時(shí)

即波函數(shù)為交換對(duì)稱函數(shù)655．波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)不隨時(shí)間而變化

設(shè)時(shí)刻波函數(shù)對(duì)稱：它滿足薛定格方程：

由于

對(duì)稱,也對(duì)稱在時(shí)刻，波函數(shù)為它是兩個(gè)對(duì)稱函數(shù)之和，故也是對(duì)稱的。同樣可證明反對(duì)稱函數(shù)在以后任何時(shí)刻都是反對(duì)稱的。666、費(fèi)米子和玻色子費(fèi)米子：自旋為奇數(shù)倍的粒子稱為費(fèi)米子。如電子、質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為，它們均為費(fèi)米子。

玻色子：自旋為的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、光子的自旋分別為O或，它們均為玻色子。

玻色子服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，其波函數(shù)是對(duì)稱的。費(fèi)米子系統(tǒng)服從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)，其波函數(shù)是反對(duì)稱的。

結(jié)論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間變化。67§6.7全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理一、兩粒子體系在不考慮粒子間相互作用時(shí)，體系的哈米頓算符

以和表示的第i個(gè)本征值和本征函數(shù)，則單粒子的本征值方程為：體系的哈米頓算符的本征值方程為： 68本征波函數(shù)

（6.7-1）

本征能量

若兩粒子交換，則（6.7-2）

能量值仍為是簡并的，這種簡并稱為交換簡并。

如果兩粒子處于同一狀態(tài)，

則（6.7-1）和（6.7-2）給出同一個(gè)對(duì)稱波函數(shù)

如果兩粒子處于不同狀態(tài)，

則（6.7-1）和（6.7-2）式的函數(shù)既不對(duì)稱，也不反對(duì)稱，故不符合全同粒子體系波函數(shù)的要求。69

這表明（6.7-1）和（6.7-2）兩式所表示的函數(shù)，只能部分滿足全同粒子體系對(duì)波函數(shù)的要求，不能完全滿足，故不能作為全同粒子體系的波函數(shù)。

但由（6.7-1）和（6.7-2）兩式的和、差可以構(gòu)成對(duì)稱函數(shù)和反對(duì)稱函數(shù)。玻色系統(tǒng)：

費(fèi)米系統(tǒng)：

則以上兩式既是原方程的解，又滿足交換對(duì)稱或反對(duì)稱的條件，因此可以作為兩個(gè)無相互作用的全同粒子體系的波函數(shù)。

70泡利原理

對(duì)玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)兩個(gè)玻色子處于同一個(gè)狀態(tài)時(shí)，這時(shí)，故幾率密度，所以允許。

對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)兩費(fèi)米子處于同一個(gè)狀態(tài)時(shí)，故使幾率密度，所以不允許。泡利不相容原理：費(fèi)米系統(tǒng)中，兩個(gè)費(fèi)米子不能處于同一個(gè)狀態(tài)。正是這個(gè)原理，使核和原子等的結(jié)構(gòu)有序。71以上是兩個(gè)粒子無相互作用是的波函數(shù)，若兩個(gè)粒子之間存在相互作用時(shí)，本征方程為

由于交換簡并在這種情況下依然成立，所以波函數(shù)仍可以表示為：72二、N粒子體系將兩粒子體系推廣到N粒子體系單粒子的本征值方程：體系的薛定格方程：本征函數(shù)

（6.7-4）（6.7-3）本征能量73三、費(fèi)米子體系波函數(shù)

可見，在不考慮粒子間相互作用時(shí)，全同粒子體系的能量等于各單粒子能量之和，哈米頓算符的本征函數(shù)是各單粒子的本征函數(shù)的積。因此，解多粒子體系的問題，歸結(jié)為解單粒子的薛定格方程。下面分別討論費(fèi)米系統(tǒng)和玻色系統(tǒng)的波函數(shù)形式。

由N個(gè)費(fèi)米子組成的體系的本征函數(shù)是反對(duì)稱的，依照（6.7-3）式稱為斯萊特行列式

注意：每一行所以粒子態(tài)相同74

是歸一化的，是的歸一化因子。將斯萊特行列式展開，共有項(xiàng)如（6.7-3）式的形式，因而,是體系薛定格方程的本征函數(shù)解。

交換任意兩個(gè)粒子，在斯萊特行列式中就表現(xiàn)出兩列相互交換，這就使行列式改變符號(hào)。所以是反對(duì)稱的。

如果N個(gè)粒子中，有兩個(gè)處于同一個(gè)狀態(tài)，則斯萊特行列式中有兩行完全相同，這使行列式等于零，從而使，幾率。要使，不能有兩粒子處在同一單粒子態(tài)。這也就是泡利的不相容原理。75例

一個(gè)體系由三個(gè)費(fèi)米子組成，粒子間無相互作用，它們分別可能處于單粒態(tài)、、，求系統(tǒng)波函數(shù)。Solve76四、玻色子體系的波函數(shù)

N個(gè)玻色子所組成的體系的波函數(shù)應(yīng)是對(duì)稱的。它也由（6.7-3）式進(jìn)行構(gòu)成。所不同的是單粒子態(tài)中，能容納的玻色子數(shù)不受限制，