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高考數(shù)學(xué)高分寶典
一、高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)二、高考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)三、高考復(fù)習(xí)方法建議
數(shù)學(xué)特征及其分類
數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。
——恩格斯聯(lián)想、直覺(jué)、頓悟等方面,而且有嚴(yán)謹(jǐn)理性的證明過(guò)程,通過(guò)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是最好、最經(jīng)濟(jì)的方法。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題的過(guò)程中,能培養(yǎng)辨證唯物主義世界觀,能培養(yǎng)實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真和勇于創(chuàng)新等良好的個(gè)性品質(zhì)。數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力、發(fā)展智力方面具有不可或缺的突出作用。加里寧曾說(shuō):“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操。”數(shù)學(xué)思維不僅有生動(dòng)活潑的探究過(guò)程,其中包括想象、類比、數(shù)學(xué)可以分成兩大類純粹數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)
20世紀(jì)產(chǎn)生一批應(yīng)用數(shù)學(xué)的分支,例如,控制論,信息論,博弈論,規(guī)劃論等等。這些數(shù)學(xué)分支涉及的問(wèn)題已經(jīng)成為數(shù)學(xué)重要的研究方向與課題。隨著時(shí)代的發(fā)展,形成了許多新的學(xué)科方向,有許多都是與數(shù)學(xué)有關(guān),例如生物數(shù)學(xué),經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),計(jì)算化學(xué),計(jì)量歷史學(xué)…等邊緣學(xué)科。有人甚至說(shuō),任何一個(gè)學(xué)科加上數(shù)學(xué)就可以成為一個(gè)新的交叉學(xué)科。姜伯駒院士曾多次強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)已經(jīng)從幕后走到臺(tái)前,在很多方面為社會(huì)直接創(chuàng)造價(jià)值?!边@是對(duì)數(shù)學(xué)變化的一個(gè)很好的概括。提丟斯數(shù)列
(提丟斯)3,6,12,24,48,96,192,……
0,3,6,12,24,48,96,192,……
0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,……水星金星地球火星?木星土星??實(shí)際距離0.390.721.01.52?5.29.5??計(jì)算距離0.40.71.01.62.85.210.019.6…1781年天王星(19.2)1801年谷神星(2.7)宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁,無(wú)處不用數(shù)學(xué)。
—華羅庚天賦+興趣+最好的老師是青少年成才的途徑。數(shù)學(xué)專業(yè)在許多高校的招生排行榜上位置越來(lái)越靠前,學(xué)數(shù)學(xué)很有用,各學(xué)科都用得上。
數(shù)學(xué)是思想家的學(xué)問(wèn),萬(wàn)物皆數(shù)理,沒(méi)有微積分,整個(gè)近代數(shù)學(xué)就沒(méi)有了。幾何拓樸學(xué)的黃金時(shí)代是陳省身年代。我聽(tīng)美國(guó)一支壘球隊(duì)的老板講,他們雇了一位搞數(shù)學(xué)的,研究攻球次數(shù)和薪水的恰當(dāng)比例,防止多花冤枉錢。在微軟還有專門一個(gè)純數(shù)學(xué)的研究室,養(yǎng)著一批數(shù)學(xué)家。
盡管現(xiàn)在美國(guó)找工作不容易,華爾街還招大量的數(shù)學(xué)系畢業(yè)生,培訓(xùn)三個(gè)月就上崗,數(shù)學(xué)教人會(huì)思考。數(shù)學(xué)好像是抽象的,與你的生活無(wú)關(guān)。但比如買車,花同樣的錢,數(shù)學(xué)家可能更會(huì)算計(jì),可以買到更高價(jià)值的車;再比如現(xiàn)在普遍在用的電腦,它的發(fā)明人馮·諾伊曼、圖林都是數(shù)學(xué)家。
一、高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查:全面又突出重點(diǎn).重視知識(shí)的交匯與融合把握學(xué)科特點(diǎn),倡導(dǎo)通性通法突出能力立意,搞好探究創(chuàng)新順應(yīng)教育改革,體現(xiàn)課改精神設(shè)置實(shí)際背景,考察數(shù)學(xué)應(yīng)用.對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查:全面又突出重點(diǎn).
例1
例2已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,則ab+bc+ca的最小值為_____________.選取a,b,c的符號(hào)可得ab+bc+ca的最小值
重視知識(shí)的交匯與融合例3長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),一質(zhì)點(diǎn)從AB中點(diǎn)P0出發(fā),沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后,依次反射到的CD,DA,AB上的P2,P3,P4,設(shè)P4的坐標(biāo)(x4,0),若1<x4<2,求tanθ的取值范圍.ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4設(shè)P1的坐標(biāo)(2,m),設(shè)P2的坐標(biāo)(n,1),設(shè)P3的坐標(biāo)(0,p),設(shè)P4的坐標(biāo)(q,0),把握學(xué)科特點(diǎn),倡導(dǎo)通性通法
例4設(shè)定義在R上的函數(shù)則關(guān)于x的方程xx結(jié)果c=0,b<0.xyoEABCDxyoEABCD突出能力立意,搞好探究創(chuàng)新
例6把集合{2t+2s|0≤s<t,s,t∈Z}的元素由小到大排列得到數(shù)列{an},例如a1=20+21=3,a2=20+22=5,a3=21+22=6,a4=20+23=9,a5=21+23=10,a6=22+23=12,……把數(shù)列{an}的項(xiàng)依次寫成塔形:35691012………………(1)
寫出塔形的第四、五行;(2)
求a100;
35691012………………觀察找規(guī)律
171820243334364048第一行1個(gè)數(shù),第二行2個(gè)數(shù),……,第n行n個(gè)數(shù),1+2+3+……+n≥100≥1+2+3+……+n-1,得n=14,說(shuō)明a100在第14行,每一行的第一個(gè)數(shù)分別為2+1,22+1,23+1,24=1,25+1,26+1,……214+1,∵前13行用了91個(gè)數(shù).∴a100在第14行的第9個(gè)數(shù),
a100=214+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.(s,t)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)…………(0,n)(1,2)(1,3)(1,4)…………(1,n)(2,3)(2,4)…………(2,n)(3,4)…………(3,n)…………(n-1,n)171820243334364048理性思維(0,14)(1,14)(2,14)(3,14)(4,14)(5,14)(6,14)(7,14)(8,14)(9,14)(10,14)(11,14)(12,14)(13,14)a100在第14列對(duì)應(yīng)第9個(gè)數(shù)組,(8,14)a100=214+28=16640.
順應(yīng)教育改革,體現(xiàn)課改精神例7計(jì)算機(jī)常用十六進(jìn)制的計(jì)數(shù)制,對(duì)應(yīng)關(guān)系
16進(jìn)制01234567
10進(jìn)制01234567
16進(jìn)制89ABCDEF
10進(jìn)制89101112131415∵A×B=110,110÷16=6余14∴A×B=6EA×B=______.(A)6E(B)72(C)5F(D)B0例8對(duì)任意函數(shù)f(x),x∈D,可按圖示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下:①
輸入數(shù)據(jù)x0∈D,經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f(x0),②
若x1D,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作;若x1∈D,則x返回輸入端,再輸出x2=f(x1),將依此規(guī)律繼續(xù)下去.
現(xiàn)定義:
f輸入打印輸出
X1∈D
NoYes結(jié)束(1)
若x0=,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{xn},請(qǐng)寫出數(shù)列{xn}的所有項(xiàng);(2)
若數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列,試輸入初始值x0
的值;(3)若輸入x0時(shí),產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列{xn},滿足xn<xn+1
對(duì)任意正整數(shù)n成立,求x0
的取值范圍.設(shè)置實(shí)際背景,考察數(shù)學(xué)應(yīng)用.例9一接待中心有A,B,C,D四部熱線電話,已知某一時(shí)刻電話A,B占線的概率為0.5,電話C,D占線的概率為0.4,各部電話是否占線相互之間沒(méi)有影響,假設(shè)該時(shí)刻有ξ部電話占線,試求隨機(jī)變量ξ的概率和它的期望。解P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09P(ξ=1)=P(ξ=2)=…………
ξ
0
1
2
3
4
P0.090.30.370.20.04Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2 +4×0.04=1.8例10某城市要在中心廣場(chǎng)建一個(gè)扇形花圃156423現(xiàn)在要栽種4種不同顏色的花,每一部分栽一種,要求相鄰部分不同色,有多少種不同的種法?126543先考慮在1區(qū)內(nèi)栽種有4種方法,再依次考慮2、3、4、5、6區(qū)的栽種方法。
23456
11564234×30=120畫樹圖當(dāng)1區(qū)選中后,2區(qū)有三種選色方法。(21)(本題15分)已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根,且(I)求,,,(II)求數(shù)列的前項(xiàng)和(Ⅲ)記,求證:
求證:
答題中暴露的問(wèn)題:
(1)題意不清
(2)公式用錯(cuò)
(3)計(jì)算錯(cuò)誤
(4)表述凌亂
(5)過(guò)程繁瑣
(6)套用題型
(7)會(huì)而不對(duì)
(8)對(duì)而不全考上名牌大學(xué)并沒(méi)有想的那么難信心決心恒心方法數(shù)學(xué)真正成功者屬于數(shù)學(xué)愛(ài)好者數(shù)學(xué)題是用腦子做的而不是用手做的帶著欣賞的眼光做題吧二、高考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)注重基礎(chǔ)、穩(wěn)中漸變主干知識(shí)、??汲P陆沂颈举|(zhì)、適度形式綜合交匯、鏈接高等關(guān)注競(jìng)賽、導(dǎo)向選拔未來(lái)高考數(shù)學(xué)命題的趨勢(shì)難度:0.60—0.65課本習(xí)題拓展化
發(fā)揮課本例、習(xí)題的基礎(chǔ)性、典型性、示范性功能,努力“跳出題?!?。研究性學(xué)習(xí)“成果化”
紙片剪拼成柱錐模型的設(shè)計(jì)方案
三角形數(shù)列的研究
如圖1,有一條河,兩個(gè)工廠P和Q位于河岸L(直線)的同一側(cè),工廠P和Q距離河岸L分別為10千米和8千米,兩個(gè)工廠的距離為14千米,現(xiàn)要在河的工廠一側(cè)選一點(diǎn)R,在R處建一個(gè)水泵站,向兩工廠P、Q輸水,請(qǐng)你給出一個(gè)經(jīng)濟(jì)合理的設(shè)計(jì)方案。L14810QP河R最佳選址問(wèn)題水泵站R建立在河邊(即L上),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在L上找一點(diǎn)R,使|RP|+|RQ|為最小。方案一:8L10Q14P河圖1R水泵站R建立在河邊(即L上),走R—P—Q的路線,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在L上找一點(diǎn)R,使|RP|+|PQ|為最小。方案二:L810Q14P河圖2R水泵站R建立在河邊(即L上),走R—Q—P的路線,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在L上找一點(diǎn)R,使|RQ|+|QP|為最小。方案三:14圖3L810QP河R水泵站R不建在河邊,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為要在L的P、Q一側(cè)找點(diǎn)R,使R到P、Q及L的距離之和即|RP|+|RQ|+|RM|最小。方案四:R圖48L10Q14P河M方案五圖58L10Q14P河MR連MP,則MP+PQ≤RM+RP+PQ,而M—P—Q的路線即方案二,故只需考慮方案二。圖68L10Q14P河RM方案六連MQ,則MQ+PQ≤RM+RP+PQ,而M—Q—P的路線即方案三,故只需考慮方案三。R方案一:8L10Q14P河圖18L10Q14P河圖4方案四:LQ14P圖2810河方案二:R8L10Q14P河圖3方案三:RR問(wèn)題引申這就是著名的阿勒哈森問(wèn)題。建議:同學(xué)們運(yùn)用本課采用的研究方法去加以研究。PQ若取水的河道不是直線,是一段圓?。ㄈ鐖D),則應(yīng)該如何選點(diǎn)?河R提示:注意運(yùn)用圓心高考試題競(jìng)賽化
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試接近于高考,但它比高考更側(cè)重能力考查數(shù)學(xué)競(jìng)賽專家積極參與了高考命題工作高考能力要求
思維能力運(yùn)算能力空間想象能力實(shí)踐能力創(chuàng)新意識(shí)思維能力:對(duì)材料會(huì)觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括;會(huì)用演繹、歸納、類比進(jìn)行推理;能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地表述。運(yùn)算能力:正確的運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理;會(huì)尋找和設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑;根據(jù)要求會(huì)估算與近似計(jì)算??臻g想象能力:依條件作圖;從圖形到直觀;分清圖形的元素及其關(guān)系;對(duì)圖形能分解和組合;能利用圖象或圖表解決問(wèn)題。實(shí)踐能力:能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題;能閱讀理解問(wèn)題所涉及的材料;對(duì)信息會(huì)整理、歸類,建立數(shù)學(xué)模型;應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題并加以驗(yàn)證,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述和說(shuō)明。創(chuàng)新意識(shí):對(duì)新穎的信息、情境和設(shè)問(wèn),能選擇有效的方法和手段給予收集和處理;能綜合與靈活的運(yùn)用知識(shí)與方法,進(jìn)行獨(dú)立思考與探究,能創(chuàng)造性的解決問(wèn)題。三、高考復(fù)習(xí)方法建議
1.強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練
2.強(qiáng)化特殊化思想的訓(xùn)練
3.強(qiáng)化估值法的訓(xùn)練
4.適當(dāng)進(jìn)行新題型的訓(xùn)練
1.強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練例1
函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,其中|x1|>|x2|,則
(
)
(A)a>0b>0c>0d=
0(B)a>0b>0c<0d=
0(C)
a<0b<0c>0d=
0(D)
a<0b<0c<0d=
0【思路分析】
由圖得f(0)=0,則d=0.∴f(x)=ax3+bx2+cx+d
=ax(x-x1)
(
x-x2)
當(dāng)x>x2時(shí),由圖得
f(x)>0,x>0,
x-x1>0,
x-x2>0,由此得a>0.又y=ax(x-x1)(x-x2)
=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x∴
b
=-a(x1+x2),c=ax1x2由于,|x1|>|x2|,且x1<0,x2>0,∴
x1+x2<0,x1x2<0,又a>0,由此可得b>0,c<0.選(B)
例2
函數(shù)y=logax在x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,則a的取值范圍是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)或或或
【思路分析】
令x
=
2,|y
|
=
1,求出a
=
2或a
=
.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y
=和的圖象.然后再由
時(shí)|
y|>1,任意畫出y=logmx和y
=
lognx的兩個(gè)函數(shù)圖象,它們與直線y
=
1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為m、n的值.從圖可直觀得到取值范圍為或1<a<2.選(A)
例3已知兩點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),點(diǎn)C是圓x2+y2-2x=0上的任意一點(diǎn),則△ABC面積的最小值是()
(A)(B)(C)(D)
2.強(qiáng)化特殊化思想的訓(xùn)練例4
已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有
f(3-x)=f(2+x),它的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是[1,2],則函數(shù)y=f(1-x)在()
(A)[-4,-3]上單調(diào)遞增,[-2,-1]上單調(diào)遞減
(B)[-3,-2]上單調(diào)遞增,[-1,0]上單調(diào)遞減
(C)
[-4,-3]上單調(diào)遞減,[-2,-1]上單調(diào)遞增
(D)[-3,-2]上單調(diào)遞減,[-1,0]上單調(diào)遞增
【思路分析】由f(3-x)=f(2+x)得y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸為.又f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,可令
則
.從圖中可直觀得到正確答案(B).
例5已知三棱錐A-BCD中,E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),則截面EFGH把三棱錐A-BCD分成兩部分的體積比為()
(A)1∶1(B)1∶2(C)2∶3(D)3∶
4使AD⊥平面BCD,且BC⊥CD.設(shè)BC=CD=AD=2,則
,選(A).【思路分析】(一)...【思路分析】(二)
使三棱錐變?yōu)楦鳁l棱長(zhǎng)皆相等的正四面體,認(rèn)真觀察后會(huì)發(fā)現(xiàn),被截面所截的兩個(gè)多面體是完全相同的,所以它們的體積比為1∶1,選(A).
3.強(qiáng)化估值法的訓(xùn)練例6已知α、β都是銳角,且,
,則α+β的值等于()
(A)(B)(C)或(D)或畫出單位圓,由,
及,α、β
為銳角,可大致確定出
α、β及終邊所在的位置.
由圖,顯然α+β≠
,也不會(huì)兩解,所以選(B).
【思路分析】
4.適當(dāng)進(jìn)行新題型的訓(xùn)練例7
已知三個(gè)函數(shù)y1,y2,y3以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象C1,C2,C3.將C1向左平移2個(gè)單位得到C2,將C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到C3,若三個(gè)函數(shù)解析式從以下三式中選?。?,,,則
y1=_______________,y2=_______________,y3=______________.【思路分析】變換的順序與方法是確定的.第一次變換第二次變換x→
x+2y→
yx→
-xy→
-y觀察三個(gè)解析式的特點(diǎn),尤其是x的符號(hào)特點(diǎn),先確定出y3,然后再確定y1和y2,最后進(jìn)行驗(yàn)證.,,.例8
原市話資費(fèi)為每3分鐘0.18元,現(xiàn)調(diào)整為前3分鐘資費(fèi)為0.22元,超過(guò)3分鐘,每分鐘按0.11元計(jì)費(fèi),與調(diào)整前相比,一次通話提價(jià)的百分比()
(A)
不會(huì)高于70%
(B)
會(huì)高于70%而不會(huì)高于90%
(C)
不會(huì)低于10%
(D)
高于30%而低于100%特殊值排除.通話4分鐘時(shí),原話費(fèi):0.18×2=0.36
現(xiàn)話費(fèi):0.22+0.11=0.33
提價(jià)為負(fù)值排除(C)(D)
通話30分鐘時(shí)原話費(fèi):0.18×10=1.80
現(xiàn)話費(fèi):0.22+0.11×27=3.19
排除(A)而選(B).【思路分析】(一)【思路分析】(二)
可表示為:
所以提價(jià).解好中等解答題的對(duì)策
例9
已知函數(shù)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
解:由于(Ⅰ)易知周期T=,值域?yàn)閇-3,5].
(Ⅱ)由,得因此,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是.
例10
已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足:
A+C=2B,求的值.
解:由A+C=2B及A+B+C=180°,知B=60°,A+C=120°.
故.
上式可化為
.
利用和差化積及積化和差公式,上式可化為
.代入上式,得
由于,
,
將代入上式整理得,,,例11
某海軍基地的三艘艦艇在某海域的A、B、C三處定點(diǎn)執(zhí)行任務(wù).已知A在B的正東方向,且A、B相距6千米.C在B的北偏西30°,B、C相距4千米.某時(shí)刻A處艦艇收到該海域內(nèi)P處一漁船以每秒1千米的傳播速度發(fā)出的“由于機(jī)器故障無(wú)法航行急需救助”的信號(hào),4秒鐘后B、C兩處的艦艇才同時(shí)收到這一信號(hào).現(xiàn)A處艦艇奉命前去救助,求A處艦艇前去救助時(shí)航向的方位角.解:以BA所在直線為x軸,線段BA的中點(diǎn)為原點(diǎn),正東、正北方向分別為x軸、y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系(如圖),則A(3,0),B(-3,0),
=4.過(guò)C作CM⊥x軸于M,由于C在B的北偏西30°,故∠CBM=60°.∴,,于是得.
由于B處艦艇收到信號(hào)比A處艦艇收到信號(hào)遲4秒,且信號(hào)傳播速度為每秒1千米,故|PB|-|PA|=4.
因此,P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上,且2a=4,2c=6,從而
a=2,c=3,b2=c2-a2=5.所以,雙曲線的方程為①因?yàn)锽、C兩處艦艇同時(shí)收到P處漁船發(fā)出的呼救信號(hào),所以|PB|=|PC|,于是點(diǎn)P必在線段BC的垂直平分線上.
由點(diǎn)斜式得直線PQ的方程為整理,得.②
過(guò)P作PQ⊥BC于Q,則Q必為BC的中點(diǎn).故得,.聯(lián)立①、②,注意到x≥2,解得x=8,,于是得.設(shè)PA的傾斜角為,則.故.因此所求的方位角為30°.
解好解答題中綜合性難題的對(duì)策一、“翻譯”轉(zhuǎn)化,弄清已知,明確目標(biāo),理順?biāo)悸罚?、辨別題型,設(shè)計(jì)方案,尋求最佳解法.三、解前估測(cè)猜想,解后檢驗(yàn)思考,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),分析錯(cuò)誤原因.
例12.已知函數(shù),f(x)=ax2-1(a∈R,x∈R),集合
且A=B≠?.求a的取值范圍.
拋物線y=ax2-1
與直線y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
方程ax2-1=x的實(shí)根
方程a(ax2-1)2-1=x的實(shí)根
方程組的解中x的值
曲線y=ax2-1與曲線x=ay2-1的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).
A=B≠?
集合A、B中元素都相同且不是空集
方程ax2-1=x有實(shí)根,且與方程
a(ax2-1)2-1=x同解
曲線y=ax2-1與y=x有交點(diǎn),且交點(diǎn)就是曲線y=ax2-1與x=ay2-1的交點(diǎn).
由A≠?,得到a的一個(gè)范圍;證明;解題方案一(3)由于,說(shuō)明四次方程
a(ax2-1)2-1-x=0
左邊的四次式必能因式分解,分解出一個(gè)二次式ax2-1-x
與另一個(gè)二次式的乘積;利用A=B再得出a的另一個(gè)范圍.
解:(1)由A≠?,知方程ax2-x-1=0有實(shí)根,
當(dāng)a=0時(shí),該方程有實(shí)根;
當(dāng)a≠0時(shí),由△1≥0,得
1+4a≥0,
即(a≠0),
綜上,得.(2)f[f(x)]=x即
a(ax2-1)2-1-x=0
a3x4-2a2x2-x+a-1=0(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0.
A=B當(dāng)且僅當(dāng)方程
a2x2+ax-a+1=0②
無(wú)實(shí)根或方程②的實(shí)根都是方程
ax2-x-1=0①的實(shí)根,方程①與②的實(shí)根不都相同.
當(dāng)△2=a2-4a2(-a+1)<0,即時(shí)方程②無(wú)實(shí)根;當(dāng)△2=0,即時(shí),方程②有重根,恰是方程①的兩根之一;∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)A=B.綜上,A=B≠?時(shí)a的取值范圍是.
(1)A≠?
y=ax2-1與y=x有公共點(diǎn);解題方案二
(2)A=B
曲線y=ax2-1上不存在兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
曲線y=ax2-1上斜率為-1的平行弦中點(diǎn)軌跡與y=x沒(méi)有公共點(diǎn).
解題方案二練習(xí)題1 函數(shù)y=ax2-2的圖像上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求a的取值范圍.例13.已知無(wú)窮數(shù)列{an}的每一項(xiàng)都是正整數(shù),且,
an<M(n∈N)
其中M是給定常數(shù)(M
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