高中數(shù)學(xué)人教B版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第2章第2章函數(shù)的應(yīng)用(ⅰ)

2．3函數(shù)的應(yīng)用(Ⅰ)1．了解函數(shù)模型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用．2．能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理幾類(lèi)函數(shù)模型閱讀教材P65～P68“探索與研究”以上部分，完成下列問(wèn)題．常見(jiàn)的幾類(lèi)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖2-3-1所示，判斷下列說(shuō)法的對(duì)錯(cuò)．圖2-3-1(1)甲比乙先出發(fā)．()(2)乙比甲跑的路程多．()(3)甲、乙兩人的速度相同．()(4)甲先到達(dá)終點(diǎn)．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．某生產(chǎn)廠(chǎng)家的生產(chǎn)總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(件)之間的關(guān)系式為y＝x2－80x，若每件產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則該廠(chǎng)獲得最大利潤(rùn)時(shí)，生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為()A．52 B．C．53 D．52或53【解析】因?yàn)槔麧?rùn)＝收入－成本，當(dāng)產(chǎn)量為x件時(shí)(x∈N)，利潤(rùn)f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(105,2)))2＋eq\f(1052,4)，所以x＝52或x＝53時(shí)，f(x)有最大值．【答案】D[小組合作型]一次函數(shù)模型的應(yīng)用(1)某廠(chǎng)日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y＝6x＋30000.而出廠(chǎng)價(jià)格為每套12元，要使該廠(chǎng)不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒()A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套(2)如圖2-3-2所示，這是某電信局規(guī)定的打長(zhǎng)途電話(huà)所需要付的電話(huà)費(fèi)y(元)與通話(huà)時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖象．根據(jù)圖象填空：圖2-3-2①通話(huà)2分鐘，需要付電話(huà)費(fèi)________元；②通話(huà)5分鐘，需要付電話(huà)費(fèi)________元；③如果t≥3，則電話(huà)費(fèi)y(元)與通話(huà)時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______．【解析】(1)因利潤(rùn)z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0，解得x≥5000，故至少日生產(chǎn)文具盒5000套．(2)①由圖象可知，當(dāng)t≤3時(shí)，電話(huà)費(fèi)都是元．②由圖象可知，當(dāng)t＝5時(shí)，y＝6，需付電話(huà)費(fèi)6元．③易知當(dāng)t≥3時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)(3,，(5,6)，利用待定系數(shù)法求得y＝(t≥3)．【答案】(1)D(2)①②6③y＝(t≥3)1．一次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用一次函數(shù)模型應(yīng)用時(shí)，本著“問(wèn)什么，設(shè)什么，列什么”這一原則．2．一次函數(shù)的最值求解一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來(lái)求最值．[再練一題]1．某家報(bào)刊銷(xiāo)售點(diǎn)從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份元，賣(mài)出的價(jià)格是每份元，賣(mài)不掉的報(bào)紙還可以每份元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月(30天)里，有20天每天可以賣(mài)出400份，其余10天每天只能賣(mài)出250份，設(shè)每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的報(bào)紙數(shù)量相同，則應(yīng)該每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)多少份，才能使每月所獲的利潤(rùn)最大？該銷(xiāo)售點(diǎn)一個(gè)月最多可賺得多少元？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60210056】【解】設(shè)每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)x份報(bào)紙，易知250≤x≤400，設(shè)每月賺y元，則y＝×20＋×250×10＋(x－250)××10－×30＝＋1050，x∈[250,400]．因?yàn)閥＝＋1050是定義域上的增函數(shù)，所以當(dāng)x＝400時(shí)，ymax＝120＋1050＝1170(元)．故每天從報(bào)社買(mǎi)400份報(bào)紙時(shí)，所獲的利潤(rùn)最大，每月可賺1170元.二次函數(shù)模型的應(yīng)用商場(chǎng)銷(xiāo)售某一品牌的羊毛衫，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購(gòu)買(mǎi)人數(shù)越少．把購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱(chēng)為無(wú)效價(jià)格，已知無(wú)效價(jià)格為每件300元．現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場(chǎng)以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售．問(wèn)：(1)商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤(rùn)只是一種“理想結(jié)果”，如果商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？【精彩點(diǎn)撥】(1)先設(shè)購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元，列出函數(shù)y的解析式，最后利用二次函數(shù)的最值即可求得商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元即可；(2)由題意得出關(guān)于x的方程式，解得x值，從而即可解決商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)的75%，每件標(biāo)價(jià)為多少元．【自主解答】(1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元，則x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100,300])，∵k＜0，∴x＝200時(shí)，ymax＝－10000k，即商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元．(2)由題意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)的75%，每件標(biāo)價(jià)為250元或150元．在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題.[再練一題]2．某水廠(chǎng)的蓄水池中有400噸水，每天零點(diǎn)開(kāi)始由池中放水向居民供水，同時(shí)以每小時(shí)60噸的速度向池中注水，若t小時(shí)內(nèi)向居民供水總量為100eq\r(6t)(0≤t≤24)，求供水開(kāi)始幾小時(shí)后，水池中的存水量最少．【解】設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸，則y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24)，設(shè)u＝eq\r(t)，則u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))2＋150，∴當(dāng)u＝eq\f(5\r(6),6)即t＝eq\f(25,6)時(shí)，蓄水池中的存水量最少．[探究共研型]分段函數(shù)模型的應(yīng)用探究1分段函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……,fnx，x∈Dn))的定義域和值域分別是什么？如何求分段函數(shù)的最大值和最小值？【提示】分段函數(shù)f(x)是各段自變量取值范圍的并集，即D1∪D2∪…∪Dn，分段函數(shù)的值域是各段值域的并集．先求出各段在其自變量取值范圍內(nèi)的最大值和最小值，然后分別比較各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函數(shù)的最大值，各段最小值的最小者就是分段函數(shù)的最小值．探究2解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，如何確定所要應(yīng)用的函數(shù)模型是否為分段函數(shù)？【提示】根據(jù)題意，判斷題設(shè)中的自變量變化是否遵循不同的規(guī)律，若是，則所要應(yīng)用的函數(shù)模型為分段函數(shù)，反之則不是．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某城市的一種小商品在過(guò)去的近20天內(nèi)的銷(xiāo)售量(件)與價(jià)格(元)均為時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷(xiāo)售量近似滿(mǎn)足g(t)＝80－2t(件)，價(jià)格近似滿(mǎn)足于f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10，,25－\f(1,2)t，10<t≤20))(元)．(1)試寫(xiě)出該種商品的日銷(xiāo)售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求該種商品的日銷(xiāo)售額y的最大值與最小值．【精彩點(diǎn)撥】(1)由已知，由價(jià)格乘以銷(xiāo)售量可得該種商品的日銷(xiāo)售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式；(2)由(1)分段求出函數(shù)的最大值與最小值，從而可得該種商品的日銷(xiāo)售額y的最大值與最小值．【自主解答】(1)由已知，由價(jià)格乘以銷(xiāo)售量可得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t，0≤t≤10,50－t40－t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋1200，0≤t≤10,t2－90t＋2000，10<t≤20))(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為t＝5，該函數(shù)在t∈[0,5)遞增，在t∈(5,10]遞減，∴ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝1200(當(dāng)t＝0或10時(shí)取得)．②當(dāng)10＜t≤20時(shí)，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為t＝45，該函數(shù)在t∈(10,20]遞減，ymax＝1200(t＝10時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)，由①②知ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)．1．建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間．2．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別求出來(lái)，再將其合到一起．[再練一題]3．國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，每人需交費(fèi)用為900元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，人均費(fèi)用減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止．旅行社需支付各種費(fèi)用共計(jì)15000元．(1)寫(xiě)出每人需交費(fèi)用y關(guān)于人數(shù)x的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？【解】(1)當(dāng)0＜x≤30時(shí)，y＝900；當(dāng)30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,1200－10x，30<x≤75.))(2)設(shè)旅行社所獲利潤(rùn)為S元，則當(dāng)0＜x≤30時(shí)，S＝900x－15000；當(dāng)30＜x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,－10x2＋1200x－15000，30<x≤75.))因?yàn)楫?dāng)0＜x≤30時(shí)，S＝900x－15000為增函數(shù)，所以x＝30時(shí)，Smax＝12000；當(dāng)30＜x≤75時(shí)，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60時(shí)，Smax＝21000＞12000.所以當(dāng)旅行社人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)．1．一等腰三角形的周長(zhǎng)為20，底邊y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，則它的解析式為()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)【解析】依題意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.又y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又2x>y，∴2x>20－2x，∴x>5，∴5<x<10.【答案】D2．某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是________萬(wàn)元．【解析】L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，當(dāng)Q＝300時(shí)，L(Q)的最大值為2500萬(wàn)元．【答案】25003．某商人將彩電先按原價(jià)提高40%，然后在廣告上寫(xiě)上“大酬賓，八折優(yōu)惠”結(jié)果是每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺了270元，則每臺(tái)彩電的原價(jià)為_(kāi)_______元．【解析】設(shè)彩電的原價(jià)為a，∴a(1＋·80%－a＝270，∴＝270，解得a＝2250.∴每臺(tái)彩電的原價(jià)為2250元．【答案】22504．某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元，若按50元一個(gè)銷(xiāo)售，能賣(mài)出50個(gè)；若銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，其銷(xiāo)售量就減少2個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為每個(gè)________元.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60210057】【解析】設(shè)漲價(jià)x元，銷(xiāo)售的利潤(rùn)為y元，則y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以當(dāng)x＝10，即銷(xiāo)售