高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第八章二元一次方程組

第八章二元一次方程組8．1二元一次方程組1.理解二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義，并會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解．2．學(xué)會(huì)用類(lèi)比的方法遷移知識(shí)，體驗(yàn)二元一次方程組在處理實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)越性，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣．重點(diǎn)理解二元一次方程組的解的意義．難點(diǎn)求二元一次方程的正整數(shù)解．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課古老的“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問(wèn)雞、兔各幾何？”解：設(shè)雞有x只，則兔有(35－x)只，則可列方程：2x＋4(35－x)＝94，解得：x＝23，則雞有23只，兔有12只．二、嘗試活動(dòng)，探索新知1．討論二元一次方程、二元一次方程組的概念．教師提問(wèn)：上面的問(wèn)題可以用一元一次方程來(lái)解，那么還有其他方法嗎？設(shè)有x只雞，y只兔，依題意得：x＋y＝35①2x＋4y＝94②針對(duì)學(xué)生列出的這兩個(gè)方程，教師提出如下問(wèn)題：(1)你能給這兩個(gè)方程起個(gè)名字嗎？(2)為什么叫二元一次方程呢？(3)什么樣的方程叫二元一次方程呢？教師結(jié)合學(xué)生的回答，板書(shū)定義1：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生利用一元一次方程進(jìn)行知識(shí)的遷移和類(lèi)比，讓學(xué)生用原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化新知識(shí)，符合建構(gòu)主義理念．教師追問(wèn)：在上面的問(wèn)題中，雞、兔的只數(shù)必須同時(shí)滿足①、②兩個(gè)方程．把①、②兩個(gè)二元一次方程結(jié)合在一起，用大括號(hào)來(lái)連接．我們也給它起個(gè)名字，叫什么好呢？eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝35，,2x＋4y＝94.))學(xué)生思考，教師板書(shū)定義2：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組．2．討論二元一次方程、二元一次方程組的解的概念．探究活動(dòng)：滿足x＋y＝35，且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的值有哪些？請(qǐng)?zhí)钊氡碇校畑…y…教師啟發(fā)：(1)若不考慮此方程與上面實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，還可以取哪些值？(2)你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎？(3)它與一元一次方程的解有什么區(qū)別？教師板書(shū)定義3：使二元一次方程兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解，記為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b.))二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解．注意：二元一次方程組的解是成對(duì)出現(xiàn)的，用大括號(hào)來(lái)連接，表示“且’．三、例題講解【例】下列各對(duì)數(shù)值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))解法分析：將A、B、C、D中各對(duì)數(shù)值逐一代入方程檢驗(yàn)是否滿足方程，選D.變式練習(xí)：上題中的選項(xiàng)是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2，,2x＋y＝－2))的解的是()解法分析：在例題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步檢驗(yàn)A、B、C、D中各對(duì)值是否滿足方程2x＋y＝－2，使學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到二元一次方程組的解必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程．四、鞏固練習(xí)1．根據(jù)下列語(yǔ)句，列出二元一次方程：(1)甲數(shù)的一半與乙數(shù)的3倍的和為11；(2)甲數(shù)和乙數(shù)的2倍的差為17.2．方程x＋2y＝7在自然數(shù)范圍內(nèi)的解()A．有無(wú)數(shù)組B．有一組C．有兩組D．有四組3．若mx＋y＝1是關(guān)于x，y的二元一次方程，那么()A．m≠0B．m＝0C．m是正有理數(shù)D．m是負(fù)有理數(shù)【答案】1.(1)＋3y＝11(2)x－2y＝172.D3.A五、課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你有哪些收獲？(什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程組？什么叫二元一次方程組的解？)本課的設(shè)計(jì)是從提出“雞兔同籠”的求解問(wèn)題入手，讓學(xué)生經(jīng)歷了從不同角度尋求不同解決方法的過(guò)程，體現(xiàn)了解決問(wèn)題策略的多樣性，以列一元一次方程求解襯托出列二元一次方程組求解的優(yōu)越性，更使學(xué)生感到二元一次方程組的引入順理成章，所以本課的整體設(shè)計(jì)，突出了一元一次方程的樣板作用，讓學(xué)生在類(lèi)比中，主動(dòng)遷移知識(shí)，建立新的概念，使得基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能在學(xué)生的頭腦中留下較深刻的印象．8．2消元——解二元一次方程組第1課時(shí)代入消元法1．用代入法解二元一次方程組．2．了解解二元一次方程組時(shí)的“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想．3．會(huì)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題．重點(diǎn)用代入法解二元一次方程組．難點(diǎn)探索如何用代入法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元過(guò)程．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師出示下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分．某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好的名次，想在全部22場(chǎng)比賽中得到40分，那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？問(wèn)題2：在上述問(wèn)題中，我們也可以設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，列出二元一次方程組，那么怎樣求解二元一次方程組呢？二、嘗試活動(dòng)，探索新知教師引導(dǎo)：什么是二元一次方程組的解？(方程組中各個(gè)方程的公共解)學(xué)生列式計(jì)算后回答：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝22，①，,2x＋y＝40.②))滿足方程①的解有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝21，,y＝1；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝2；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝19，,y＝3；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝17，,y＝5；))……滿足方程②的解有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝19，,y＝2；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝17，,y＝6；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝16，,y＝8；))……這兩個(gè)方程的公共解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4.))師：這種列舉法比較麻煩，有沒(méi)有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方法呢？師：由方程①進(jìn)行移項(xiàng)得y＝22－x，由于方程②中的y與方程①中的y都表示負(fù)的場(chǎng)數(shù)，故可以把方程②中的y用(22－x)來(lái)代換，即得2x＋(22－x)＝40.由此一來(lái)，二元就化為一元了．解得x＝18.問(wèn)題解完了嗎？怎樣求y?將x＝18代入方程y＝22－x，得y＝4.能代入原方程組中的方程①、②來(lái)求y嗎？代入哪個(gè)方程更簡(jiǎn)便？這樣，二元一次方程組的解就是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4.))教師歸納并板書(shū)：這種通過(guò)代入消去一個(gè)未知數(shù)，使二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，從而方程組得以求解的方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)代入法．三、例題講解【例1】用代入法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，①,3x－8y＝14.②))分析：方程①中x的系數(shù)是1，用含y的式子表示x，比較簡(jiǎn)便．解：由①，得x＝y(tǒng)＋3.③把③代入②，得3(y＋3)－8y＝14.解這個(gè)方程，得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝2.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))【例2】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶裝(250g)兩種產(chǎn)品的銷(xiāo)售數(shù)量(按瓶計(jì)算)比為2∶5.某廠每天生產(chǎn)這種消毒液分析：?jiǎn)栴}中包含兩個(gè)條件：大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)＝2∶5，大瓶所裝消毒液＋小瓶所裝消毒液＝總生產(chǎn)量．解：設(shè)這些消毒液應(yīng)該分裝x大瓶、y小瓶．根據(jù)大、小瓶數(shù)的比，以及消毒液分裝量與總生產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＝2y，①,500x＋250y＝22500000.②))由①，得y＝eq\f(5,2)x.③把③代入②，得500x＋250×eq\f(5,2)x＝22500000.解這個(gè)方程，得x＝20000.把x＝20000代入③，得y＝50000.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20000，,y＝50000.))答：這些消毒液應(yīng)該分裝20000大瓶和50000小瓶．上面解方程組的過(guò)程可以用下面的框圖表示：教師解后學(xué)生及時(shí)反應(yīng)：(1)選擇哪個(gè)方框代入另一個(gè)方框？其目的是什么？(2)如何用代入法處理兩個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值均不為1的二元一次方程組？(3)列二元一次方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是：找出兩個(gè)等量關(guān)系．(4)列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟分為：審、設(shè)、列、解、檢、答．四、鞏固練習(xí)1．二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－3，,2x＋y＝0))的解是()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1))2．方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,2x－3y＝－1))的解是()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1))3．解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋1＝y(tǒng)，①,2（x＋1）－y＝6.②))【答案】1．A3．解：由①得x＋3＝3y，即x＝3y－3，③由②得2x－y＝4，④把③代入④得y＝2.把y＝2代入③得x＝3，因此原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))五、課堂小結(jié)你從本節(jié)課的學(xué)習(xí)中體會(huì)到代入法的基本思路是什么？主要步驟有哪些？讓學(xué)生在互相交流的活動(dòng)中完成本節(jié)課的小結(jié)，并能通過(guò)總結(jié)與歸納，更加清楚地理解代入消元法，體會(huì)代入消元法在解二元一次方程組的過(guò)程中反映出來(lái)的化歸思想．通過(guò)創(chuàng)設(shè)有趣的情境，引發(fā)學(xué)生自覺(jué)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性，使知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程融于有趣的活動(dòng)中，重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程．將設(shè)未知數(shù)列一元一次方程的求解過(guò)程與二元一次方程組比較，從而得到二元一次方程組的代入(消元)解法，這種比較可使學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的同時(shí)，使新知識(shí)得以掌握，這對(duì)于學(xué)生體會(huì)新知識(shí)的產(chǎn)生和形成的過(guò)程是十分重要的．第2課時(shí)加減消元法1．掌握用加減法解二元一次方程組．2．使學(xué)生理解加減消元法所體現(xiàn)的“化未知為已知”的化歸思想方法．重點(diǎn)如何用加減法解二元一次方程組．難點(diǎn)如何運(yùn)用加減法進(jìn)行消元．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師提出問(wèn)題：王老師昨天在水果批發(fā)市場(chǎng)買(mǎi)了2千克蘋(píng)果和4千克梨，共花了14元，李老師以同樣的價(jià)格買(mǎi)了2千克蘋(píng)果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售價(jià)是多少？比一比看誰(shuí)求得快．教師總結(jié)最簡(jiǎn)便的方法：抵消掉相同的部分，王老師比李老師多買(mǎi)了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售價(jià)為2元．二、例題講解教師板書(shū)：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,2x－5y＝7.②))(由學(xué)生自主探究，并給出不同的解法)解法一：由①得x＝eq\f(－1－3y,2)，代入方程②，消去x.解法二：把2x看作一個(gè)整體，由①得2x＝－1－3y，代入方程②，消去2x.教師肯定兩種解法都正確，并由學(xué)生比較兩種方法的優(yōu)劣．由學(xué)生觀察，得出結(jié)論：解法二整體代入更簡(jiǎn)便，準(zhǔn)確率更高．教師啟發(fā)：有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的解法呢？問(wèn)題1：觀察上述方程組，未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點(diǎn)？(相等)問(wèn)題2：除了代入消元，你還有別的辦法消去x嗎？(兩個(gè)方程的兩邊分別對(duì)應(yīng)相減，就可消去x，得到一個(gè)一元一次方程．)解法三：①－②得：8y＝－8，所以y＝－1.代入①或②，得x＝1.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))變式一：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，,2x－5y＝7.))教師啟發(fā)：?jiǎn)栴}1：觀察上述方程組，未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點(diǎn)？(互為相反數(shù))問(wèn)題2：除了代入消元，你還有別的辦法消去x嗎？(兩個(gè)方程的兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，就可消去x，得到一個(gè)一元一次方程．)教師板書(shū)：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法．教師提問(wèn)：能用加減消元法解二元一次方程組的前提是什么？(兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等．)變式二：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝1，①,2x－5y＝7.②))學(xué)生觀察：本例可以用加減消元法來(lái)做嗎？教師引導(dǎo)：?jiǎn)栴}1：這兩個(gè)方程直接相加減能消去未知數(shù)嗎？為什么？問(wèn)題2：那么怎樣使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等呢？教師啟發(fā)學(xué)生仔細(xì)觀察方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系．因此：②×2，得4x－10y＝14.③由①－③即可消去x，從而使問(wèn)題得解．(教師追問(wèn)：③－①可以嗎？怎樣更好？)變式三：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，①,3x－5y＝7.②))教師提問(wèn)：本例題可以用加減消元法來(lái)做嗎？讓學(xué)生獨(dú)立思考，怎樣變形才能使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等呢？分析得出解題方法：解法1：通過(guò)①×3、②×2，使關(guān)于x的系數(shù)絕對(duì)值相等，從而可用加減法解得．解法2：通過(guò)①×5、②×3，使關(guān)于y的系數(shù)絕對(duì)值相等，從而可用加減法解得．教師追問(wèn)：怎樣更好呢？通過(guò)對(duì)比，學(xué)生自己總結(jié)出應(yīng)選擇方程組中同一未知數(shù)系數(shù)絕對(duì)值的最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)消元．解后反思：用加減法解同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值不相等且不成整數(shù)倍的二元一次方程組時(shí)，把一個(gè)(或兩個(gè))方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等，從而化為第一類(lèi)型的方程組求解．師生共析：1.用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”．2．用加減法解二元一次方程組的一般步驟：第一步：如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，消去這個(gè)未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個(gè)方程的兩邊相減，消去這個(gè)未知數(shù)．第二步：如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等，再加減消元．第三步：對(duì)于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再作如上加減消元的考慮．【例】2臺(tái)大收割機(jī)和5臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作2h共收割小麥hm2，3臺(tái)大收割機(jī)和2臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作5h共收割小麥8臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥多少公頃？分析：如果1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥xhm2和yhm2，那么2臺(tái)大收割機(jī)和5臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作1h共收割小麥________hm2，3臺(tái)大收割機(jī)和2臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作1h共收割小麥________hm2.由此考慮兩種情況下的工作量．解：設(shè)1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥xhm2和yhm2.根據(jù)兩種工作方式中的相等關(guān)系，得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（2x＋5y）＝，,5（3x＋2y）＝8.))去括號(hào)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋10y＝，①,15x＋10y＝8.②))②－①，得11x＝.解這個(gè)方程，得x＝.把x＝代入①，得y＝.因此，這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝.))答：1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥hm2和hm2.上面解方程組的過(guò)程可以用下面的框圖表示：三、鞏固練習(xí)1．用加減法解下列方程組時(shí)，你認(rèn)為先消去哪個(gè)未知數(shù)較簡(jiǎn)單，填寫(xiě)消元的方法．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝15，①,5x－4y＝23.②))消元方法：________．(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7m－3n＝1，①,2n＋3m＝－2.②))消元方法：________．2．用加減法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝2，,4x－3y＝－6；))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝－1，,x＋4y＝－7；))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝5，,4x＋3y＝1；))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y＝9，,x－4y＝10.))【答案】1．(1)①×2－②消去y(2)①×2＋②×3消去n2．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(19,2)，,y＝－\f(1,8)))四、課堂小結(jié)本節(jié)課，我們主要學(xué)習(xí)了二元一次方程組的另一種解法——加減消元法，通過(guò)把方程組中的兩個(gè)方程進(jìn)行相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，化“二元”為“一元”，請(qǐng)同學(xué)們回憶：加減消元法解二元一次方程組的基本思想是什么？用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？在學(xué)習(xí)加減法解題之前，學(xué)生已經(jīng)知道了代入法解二元一次方程組的核心是代入“消元”，以使二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程求解．本課設(shè)計(jì)沒(méi)有直接告訴學(xué)生加減法解題的過(guò)程，而是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察不同方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，比較不同解法的優(yōu)劣，自己探索發(fā)現(xiàn)解題的技巧．這樣使學(xué)生積極地參加到學(xué)習(xí)的過(guò)程中，不僅能感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，更重要的是在這種積極求索的學(xué)習(xí)中，品嘗到了成功的喜悅，促使其能力得到充分的發(fā)揮、提高．8．3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組(1)1．使學(xué)生會(huì)借助二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生再次體會(huì)二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用．2．通過(guò)應(yīng)用題教學(xué)，學(xué)生進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性．重點(diǎn)能根據(jù)題意找出等量關(guān)系，并能根據(jù)題意列二元一次方程組．難點(diǎn)正確找出問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課復(fù)習(xí)提問(wèn)：列方程解應(yīng)用題的步驟是什么？學(xué)生回答：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)并作答．教師講述：前面我們結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，討論了用方程組表示問(wèn)題中的條件以及如何解方程組．本節(jié)我們繼續(xù)探究如何用方程組解決實(shí)際問(wèn)題．教師出示問(wèn)題：養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛，一天約需用飼料675kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12頭大牛和5頭小牛，這時(shí)一天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)平均每頭大牛1天約需用飼料18kg～20二、探索分析，解決問(wèn)題根據(jù)問(wèn)題中給定的數(shù)量關(guān)系如何計(jì)算平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用的飼料量？主要思路：eq\x(實(shí)際問(wèn)題)eq\o(→,\s\up7(設(shè)未知數(shù)),\s\do5(列方程組))eq\x(\a\al(數(shù)學(xué)問(wèn)題,（二元一次方程組）))學(xué)生先獨(dú)立思考，然后師生共同討論解題過(guò)程．問(wèn)題：1．題中有哪些已知量？哪些未知量．2．題中的等量關(guān)系有哪些？3．如何解這個(gè)應(yīng)用題？解：設(shè)平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料x(chóng)kg和ykg.找出相等關(guān)系列方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,42x＋20y＝940.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.))這就是說(shuō)，平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料20kg和5kg教師請(qǐng)同學(xué)們好好思考：以上問(wèn)題還能列出不同的方程組嗎？結(jié)果是否一致？(個(gè)別學(xué)生可能會(huì)列出如下方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,12x＋5y＝265.))但結(jié)果一致．)思考題：《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹(shù)上歡歌，另一部分在地上覓食．樹(shù)上的一只鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō)：“若從你們中飛上來(lái)一只，則樹(shù)下的鴿子就是整個(gè)鴿群的eq\f(1,3)；若從樹(shù)上飛下去一只，則樹(shù)上、樹(shù)下的鴿子就一樣多了．”你知道樹(shù)上、樹(shù)下各有多少只鴿子嗎？三、鞏固練習(xí)1.某所中學(xué)現(xiàn)在有學(xué)生4200人，計(jì)劃一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，這樣全校生將增加10%，這所學(xué)?，F(xiàn)在的初中在校生和高中在校生人數(shù)各是多少？2．有大、小兩種貨車(chē)，2輛大車(chē)與3輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨噸，5輛大車(chē)與6輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨35噸，求3輛大車(chē)與5輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨多少?lài)?？【答案?.解：設(shè)現(xiàn)在的初中在校生有x人，高中在校生有y人．根據(jù)題意列方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4200，,x（1＋8%）＋y（1＋11%）＝4200（1＋10%）.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1400，,y＝2800.))答：現(xiàn)在的初中在校生有1400人，高中在校生有2800人．2.解：設(shè)每輛大車(chē)和每輛小車(chē)一次運(yùn)貨量分別為x噸和y噸．根據(jù)題意列方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝，,5x＋6y＝35.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝.))則3x＋5y＝.答：3輛大車(chē)與5輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨噸．四、課堂小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道了用方程組解決實(shí)際問(wèn)題有哪些步驟嗎？本節(jié)課從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組，通過(guò)對(duì)方程組解的檢驗(yàn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到檢驗(yàn)不僅要檢查求得的解是否符合方程組中的每一個(gè)方程，而且還要考查所得的解答是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求，從而使學(xué)生初步體驗(yàn)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程．8．3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組(2)1．經(jīng)歷用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型．2．能夠找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組．3．學(xué)會(huì)開(kāi)放性地尋求設(shè)計(jì)方案，培養(yǎng)分析能力．重點(diǎn)經(jīng)歷和體驗(yàn)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程．難點(diǎn)用方程組刻畫(huà)和解決實(shí)際問(wèn)題．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課前面我們初步體驗(yàn)了用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，其實(shí)生產(chǎn)、生活中還有許多問(wèn)題也能用方程組解決．教師出示問(wèn)題：據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物單位面積的產(chǎn)量比是1∶.現(xiàn)要在一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩個(gè)長(zhǎng)方形，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比是3∶問(wèn)題：1.“甲、乙兩種作物單位面積的產(chǎn)量比是1∶1.5”2.“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比為3∶4”3.本題中有哪些等量關(guān)系？提示：若甲種作物單位產(chǎn)量是a，那么乙種作物的單位產(chǎn)量是多少？二、例題講解教師提問(wèn)：以上問(wèn)題有哪些解法？學(xué)生自主探索、合作交流、整理思路：1.先確定有兩種方法分割長(zhǎng)方形，再分別求出兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，最后計(jì)算分割線的位置．2.先求兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積比，再計(jì)算分割線的位置．3.設(shè)未知數(shù)，列方程組求解．如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形AEFD和BCFE.設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m，根據(jù)問(wèn)題中涉及長(zhǎng)度、產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，列方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,100x∶（×100y）＝3∶4))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝105\f(15,17)，,y＝94\f(2,17).))過(guò)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)邊上離一端約106m處，把這塊地分為兩個(gè)長(zhǎng)方形，較大的一塊地種甲作物，教師提問(wèn)：你還能設(shè)計(jì)別的種植方案嗎？(用類(lèi)似的方法，可沿平行于線段AB的方向分割長(zhǎng)方形．)教師巡視、指導(dǎo)，師生共同講評(píng)．三、鞏固練習(xí)某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植植物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的資金如下表：農(nóng)作物品種每公頃需勞動(dòng)力每公頃需投入資金水稻4人1萬(wàn)元棉花8人1萬(wàn)元蔬菜5人2萬(wàn)元已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃投入67萬(wàn)元，應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？【答案】解：設(shè)安排x公頃種水稻、y公頃種棉花，則安排(51－x－y)公頃種蔬菜．根據(jù)題意列方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋8y＋5（51－x－y）＝300，,x＋y＋2（51－x－y）＝67.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝20.))那么種蔬菜的面積為51－15－20＝16(公頃)．答：安排15公頃種水稻、20公頃種棉花、16公頃種蔬菜．四、課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的方法又有何新的認(rèn)識(shí)？本課所提供的例題、練習(xí)題、作業(yè)題突出體現(xiàn)以下特點(diǎn)：1.活動(dòng)性．學(xué)生在圖形分割、手工操作、拼圖游戲中展開(kāi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，更具趣味性，學(xué)生在玩中學(xué)、做中學(xué)，在增強(qiáng)能力的同時(shí)，收獲快樂(lè)．2．探索性．問(wèn)題解決的策略不易獲得，問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系不易發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題中的未知數(shù)不易設(shè)定，這為學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)提供了機(jī)會(huì)．3．開(kāi)放性．解決問(wèn)題的策略、方法、問(wèn)題的結(jié)論的開(kāi)放性設(shè)計(jì)，意在增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)、克服困難的能力．8．3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組(3)1．進(jìn)一步經(jīng)歷用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型．2．會(huì)用列表的方式分析問(wèn)題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組．重點(diǎn)用列表、畫(huà)圖的方法分析題意，建立模型．難點(diǎn)如何應(yīng)用列表法、圖象法分析問(wèn)題，建立模型．一、例題講解教師出示例題：如圖，長(zhǎng)青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A地購(gòu)買(mǎi)一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地．公路運(yùn)價(jià)為元/(噸·千米)，鐵路運(yùn)價(jià)為元/(噸·千米)，這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元，鐵路運(yùn)費(fèi)97200元．這批產(chǎn)品的銷(xiāo)售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？學(xué)生自主探索、合作交流．設(shè)問(wèn)1：如何設(shè)未知數(shù)？銷(xiāo)售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān)，原料費(fèi)與原料數(shù)量有關(guān)，而公路運(yùn)費(fèi)和鐵路運(yùn)費(fèi)與產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量都有關(guān)．因此設(shè)產(chǎn)品重x噸，原料重y噸．設(shè)問(wèn)2：如何確定題中的數(shù)量關(guān)系？列表分析：產(chǎn)品x噸原料y噸合計(jì)公路運(yùn)費(fèi)(元)鐵路運(yùn)費(fèi)(元)價(jià)值(元)由上表可列方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1×（20x＋10y）＝15000，,×（110x＋120y）＝97200.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝300，,y＝400.))因?yàn)槊麧?rùn)＝銷(xiāo)售款－原料費(fèi)－運(yùn)輸費(fèi)，所以這批產(chǎn)品的銷(xiāo)售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1887800元．教師引導(dǎo)學(xué)生討論以上列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的思路：合理設(shè)定未知數(shù)，找出相等關(guān)系．二、鞏固練習(xí)1．某工廠現(xiàn)在年產(chǎn)值是150萬(wàn)元，如果每增加1000元的投資一年可增加2500元的產(chǎn)值，設(shè)新增加的投資額為x萬(wàn)元，總產(chǎn)值為y萬(wàn)元，求x、y所滿足的方程．2.學(xué)校購(gòu)買(mǎi)35張電影票共用250元，其中甲種票每張8元，乙種票每張6元，設(shè)甲種票x張，乙種票y張，請(qǐng)列方程組并求解．3.有一個(gè)兩位數(shù)，其數(shù)字和為14，若調(diào)換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，就比原數(shù)大18，則這個(gè)兩位數(shù)是多少？【答案】1．y＝150＋.\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝35，,8x＋6y＝250，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝15.))3．設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為xy，則由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝14，,10y＋x＝10x＋y＋18，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝8.))則這個(gè)兩位數(shù)為68.三、課堂小結(jié)1．在用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，你會(huì)怎樣設(shè)定未知數(shù)，可借助哪些方式輔助分析問(wèn)題中的相等關(guān)系？2．小組討論，試用框圖概括“用二元一次方程組分析和解決實(shí)際問(wèn)題”的基本過(guò)程．學(xué)生思考、討論、整理．本課探究的問(wèn)題信息量大、數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、未知數(shù)不容易設(shè)定，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種挑戰(zhàn)，因此安排學(xué)生合作學(xué)習(xí)．學(xué)生先獨(dú)立思考、自主探索，然后在小組討論中合理設(shè)定未知數(shù)，借助表格分析題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程組求得問(wèn)題的解．在本節(jié)的小結(jié)中，讓學(xué)生結(jié)合自己的解題過(guò)程概括整理實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組的關(guān)系，并比較完整地用框圖反映，培養(yǎng)了學(xué)生的模型化思想．8．4三元一次方程組的解法1．會(huì)解三元一次方程組．2．感受“三元”化歸到“二元”，再由“二元”化歸到“一元”的數(shù)學(xué)思想．重點(diǎn)掌握三元一次方程組的解法．難點(diǎn)三元一次方程組如何化歸到二元一次方程組．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課老師出示下列問(wèn)題：有人問(wèn)甲、乙、丙三人的年齡，甲說(shuō)：“我們?nèi)齻€(gè)人的年齡之和是26.”乙說(shuō)：“甲的年齡的兩倍再加上我的年齡就要比丙大18.”丙說(shuō)：“我比甲小1歲．”聰明的你能算出甲、乙、丙的年齡各是多少嗎？學(xué)生在老師的引導(dǎo)下獨(dú)立思考后合作交流，思考以下問(wèn)題：1.選用什么數(shù)學(xué)工具來(lái)解呢？2.設(shè)哪些量為未知數(shù)呢？在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)自己的解法，與組內(nèi)的同學(xué)達(dá)成共識(shí)．二、講授新課教師引導(dǎo)學(xué)生在完成上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上，出示下列問(wèn)題：剛才這一問(wèn)題，如果我們不設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，用一元一次方程能否求解呢？eq\x(三元一次方程組)eq\o(→,\s\up7(Ｆ,\x(二元一次方程組),Ｆ,\x(一元一次方程),學(xué)生能由教師的引導(dǎo)，認(rèn)真地分析題意，找出能概括問(wèn)題全部含義的三個(gè)等量關(guān)系并能設(shè)出未知數(shù)：設(shè)甲的年齡為x歲，乙的年齡為