高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第八章二元一次方程組

第八章二元一次方程組8．1二元一次方程組1.理解二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義，并會檢驗一對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解．2．學(xué)會用類比的方法遷移知識，體驗二元一次方程組在處理實際問題中的優(yōu)越性，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣．重點理解二元一次方程組的解的意義．難點求二元一次方程的正整數(shù)解．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課古老的“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞、兔各幾何？”解：設(shè)雞有x只，則兔有(35－x)只，則可列方程：2x＋4(35－x)＝94，解得：x＝23，則雞有23只，兔有12只．二、嘗試活動，探索新知1．討論二元一次方程、二元一次方程組的概念．教師提問：上面的問題可以用一元一次方程來解，那么還有其他方法嗎？設(shè)有x只雞，y只兔，依題意得：x＋y＝35①2x＋4y＝94②針對學(xué)生列出的這兩個方程，教師提出如下問題：(1)你能給這兩個方程起個名字嗎？(2)為什么叫二元一次方程呢？(3)什么樣的方程叫二元一次方程呢？教師結(jié)合學(xué)生的回答，板書定義1：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．同時教師引導(dǎo)學(xué)生利用一元一次方程進行知識的遷移和類比，讓學(xué)生用原有的認知結(jié)構(gòu)去同化新知識，符合建構(gòu)主義理念．教師追問：在上面的問題中，雞、兔的只數(shù)必須同時滿足①、②兩個方程．把①、②兩個二元一次方程結(jié)合在一起，用大括號來連接．我們也給它起個名字，叫什么好呢？eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝35，,2x＋4y＝94.))學(xué)生思考，教師板書定義2：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．2．討論二元一次方程、二元一次方程組的解的概念．探究活動：滿足x＋y＝35，且符合問題的實際意義的值有哪些？請?zhí)钊氡碇校畑…y…教師啟發(fā)：(1)若不考慮此方程與上面實際問題的聯(lián)系，還可以取哪些值？(2)你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎？(3)它與一元一次方程的解有什么區(qū)別？教師板書定義3：使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解，記為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b.))二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解．注意：二元一次方程組的解是成對出現(xiàn)的，用大括號來連接，表示“且’．三、例題講解【例】下列各對數(shù)值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))解法分析：將A、B、C、D中各對數(shù)值逐一代入方程檢驗是否滿足方程，選D.變式練習(xí)：上題中的選項是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2，,2x＋y＝－2))的解的是()解法分析：在例題的基礎(chǔ)上，進一步檢驗A、B、C、D中各對值是否滿足方程2x＋y＝－2，使學(xué)生明確認識到二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程．四、鞏固練習(xí)1．根據(jù)下列語句，列出二元一次方程：(1)甲數(shù)的一半與乙數(shù)的3倍的和為11；(2)甲數(shù)和乙數(shù)的2倍的差為17.2．方程x＋2y＝7在自然數(shù)范圍內(nèi)的解()A．有無數(shù)組B．有一組C．有兩組D．有四組3．若mx＋y＝1是關(guān)于x，y的二元一次方程，那么()A．m≠0B．m＝0C．m是正有理數(shù)D．m是負有理數(shù)【答案】1.(1)＋3y＝11(2)x－2y＝172.D3.A五、課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你有哪些收獲？(什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程組？什么叫二元一次方程組的解？)本課的設(shè)計是從提出“雞兔同籠”的求解問題入手，讓學(xué)生經(jīng)歷了從不同角度尋求不同解決方法的過程，體現(xiàn)了解決問題策略的多樣性，以列一元一次方程求解襯托出列二元一次方程組求解的優(yōu)越性，更使學(xué)生感到二元一次方程組的引入順理成章，所以本課的整體設(shè)計，突出了一元一次方程的樣板作用，讓學(xué)生在類比中，主動遷移知識，建立新的概念，使得基礎(chǔ)知識和基本技能在學(xué)生的頭腦中留下較深刻的印象．8．2消元——解二元一次方程組第1課時代入消元法1．用代入法解二元一次方程組．2．了解解二元一次方程組時的“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想．3．會用二元一次方程組解決實際問題．重點用代入法解二元一次方程組．難點探索如何用代入法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元過程．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師出示下列問題：問題1：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．某隊為了爭取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少？問題2：在上述問題中，我們也可以設(shè)出兩個未知數(shù)，列出二元一次方程組，那么怎樣求解二元一次方程組呢？二、嘗試活動，探索新知教師引導(dǎo)：什么是二元一次方程組的解？(方程組中各個方程的公共解)學(xué)生列式計算后回答：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝22，①，,2x＋y＝40.②))滿足方程①的解有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝21，,y＝1；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝2；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝19，,y＝3；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝17，,y＝5；))……滿足方程②的解有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝19，,y＝2；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝17，,y＝6；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝16，,y＝8；))……這兩個方程的公共解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4.))師：這種列舉法比較麻煩，有沒有簡單一點的方法呢？師：由方程①進行移項得y＝22－x，由于方程②中的y與方程①中的y都表示負的場數(shù)，故可以把方程②中的y用(22－x)來代換，即得2x＋(22－x)＝40.由此一來，二元就化為一元了．解得x＝18.問題解完了嗎？怎樣求y?將x＝18代入方程y＝22－x，得y＝4.能代入原方程組中的方程①、②來求y嗎？代入哪個方程更簡便？這樣，二元一次方程組的解就是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝4.))教師歸納并板書：這種通過代入消去一個未知數(shù)，使二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，從而方程組得以求解的方法叫做代入消元法，簡稱代入法．三、例題講解【例1】用代入法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，①,3x－8y＝14.②))分析：方程①中x的系數(shù)是1，用含y的式子表示x，比較簡便．解：由①，得x＝y(tǒng)＋3.③把③代入②，得3(y＋3)－8y＝14.解這個方程，得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝2.所以這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))【例2】根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶裝(250g)兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量(按瓶計算)比為2∶5.某廠每天生產(chǎn)這種消毒液分析：問題中包含兩個條件：大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)＝2∶5，大瓶所裝消毒液＋小瓶所裝消毒液＝總生產(chǎn)量．解：設(shè)這些消毒液應(yīng)該分裝x大瓶、y小瓶．根據(jù)大、小瓶數(shù)的比，以及消毒液分裝量與總生產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＝2y，①,500x＋250y＝22500000.②))由①，得y＝eq\f(5,2)x.③把③代入②，得500x＋250×eq\f(5,2)x＝22500000.解這個方程，得x＝20000.把x＝20000代入③，得y＝50000.所以這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20000，,y＝50000.))答：這些消毒液應(yīng)該分裝20000大瓶和50000小瓶．上面解方程組的過程可以用下面的框圖表示：教師解后學(xué)生及時反應(yīng)：(1)選擇哪個方框代入另一個方框？其目的是什么？(2)如何用代入法處理兩個未知數(shù)系數(shù)的絕對值均不為1的二元一次方程組？(3)列二元一次方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是：找出兩個等量關(guān)系．(4)列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟分為：審、設(shè)、列、解、檢、答．四、鞏固練習(xí)1．二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－3，,2x＋y＝0))的解是()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1))2．方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,2x－3y＝－1))的解是()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1))3．解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋1＝y(tǒng)，①,2（x＋1）－y＝6.②))【答案】1．A3．解：由①得x＋3＝3y，即x＝3y－3，③由②得2x－y＝4，④把③代入④得y＝2.把y＝2代入③得x＝3，因此原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))五、課堂小結(jié)你從本節(jié)課的學(xué)習(xí)中體會到代入法的基本思路是什么？主要步驟有哪些？讓學(xué)生在互相交流的活動中完成本節(jié)課的小結(jié)，并能通過總結(jié)與歸納，更加清楚地理解代入消元法，體會代入消元法在解二元一次方程組的過程中反映出來的化歸思想．通過創(chuàng)設(shè)有趣的情境，引發(fā)學(xué)生自覺參與學(xué)習(xí)活動的積極性，使知識的發(fā)現(xiàn)過程融于有趣的活動中，重視知識的發(fā)生過程．將設(shè)未知數(shù)列一元一次方程的求解過程與二元一次方程組比較，從而得到二元一次方程組的代入(消元)解法，這種比較可使學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識的同時，使新知識得以掌握，這對于學(xué)生體會新知識的產(chǎn)生和形成的過程是十分重要的．第2課時加減消元法1．掌握用加減法解二元一次方程組．2．使學(xué)生理解加減消元法所體現(xiàn)的“化未知為已知”的化歸思想方法．重點如何用加減法解二元一次方程組．難點如何運用加減法進行消元．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師提出問題：王老師昨天在水果批發(fā)市場買了2千克蘋果和4千克梨，共花了14元，李老師以同樣的價格買了2千克蘋果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售價是多少？比一比看誰求得快．教師總結(jié)最簡便的方法：抵消掉相同的部分，王老師比李老師多買了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售價為2元．二、例題講解教師板書：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,2x－5y＝7.②))(由學(xué)生自主探究，并給出不同的解法)解法一：由①得x＝eq\f(－1－3y,2)，代入方程②，消去x.解法二：把2x看作一個整體，由①得2x＝－1－3y，代入方程②，消去2x.教師肯定兩種解法都正確，并由學(xué)生比較兩種方法的優(yōu)劣．由學(xué)生觀察，得出結(jié)論：解法二整體代入更簡便，準確率更高．教師啟發(fā)：有沒有更簡潔的解法呢？問題1：觀察上述方程組，未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點？(相等)問題2：除了代入消元，你還有別的辦法消去x嗎？(兩個方程的兩邊分別對應(yīng)相減，就可消去x，得到一個一元一次方程．)解法三：①－②得：8y＝－8，所以y＝－1.代入①或②，得x＝1.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))變式一：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，,2x－5y＝7.))教師啟發(fā)：問題1：觀察上述方程組，未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點？(互為相反數(shù))問題2：除了代入消元，你還有別的辦法消去x嗎？(兩個方程的兩邊分別對應(yīng)相加，就可消去x，得到一個一元一次方程．)教師板書：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法．教師提問：能用加減消元法解二元一次方程組的前提是什么？(兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等．)變式二：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝1，①,2x－5y＝7.②))學(xué)生觀察：本例可以用加減消元法來做嗎？教師引導(dǎo)：問題1：這兩個方程直接相加減能消去未知數(shù)嗎？為什么？問題2：那么怎樣使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等呢？教師啟發(fā)學(xué)生仔細觀察方程組的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系．因此：②×2，得4x－10y＝14.③由①－③即可消去x，從而使問題得解．(教師追問：③－①可以嗎？怎樣更好？)變式三：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，①,3x－5y＝7.②))教師提問：本例題可以用加減消元法來做嗎？讓學(xué)生獨立思考，怎樣變形才能使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等呢？分析得出解題方法：解法1：通過①×3、②×2，使關(guān)于x的系數(shù)絕對值相等，從而可用加減法解得．解法2：通過①×5、②×3，使關(guān)于y的系數(shù)絕對值相等，從而可用加減法解得．教師追問：怎樣更好呢？通過對比，學(xué)生自己總結(jié)出應(yīng)選擇方程組中同一未知數(shù)系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)消元．解后反思：用加減法解同一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相等且不成整數(shù)倍的二元一次方程組時，把一個(或兩個)方程的兩邊乘以適當?shù)臄?shù)，使兩個方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，從而化為第一類型的方程組求解．師生共析：1.用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”．2．用加減法解二元一次方程組的一般步驟：第一步：如果某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個方程的兩邊相減，消去這個未知數(shù)．第二步：如果方程組中不存在某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等，再加減消元．第三步：對于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡，再作如上加減消元的考慮．【例】2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2h共收割小麥hm2，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5h共收割小麥8臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？分析：如果1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥xhm2和yhm2，那么2臺大收割機和5臺小收割機同時工作1h共收割小麥________hm2，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作1h共收割小麥________hm2.由此考慮兩種情況下的工作量．解：設(shè)1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥xhm2和yhm2.根據(jù)兩種工作方式中的相等關(guān)系，得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（2x＋5y）＝，,5（3x＋2y）＝8.))去括號，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋10y＝，①,15x＋10y＝8.②))②－①，得11x＝.解這個方程，得x＝.把x＝代入①，得y＝.因此，這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝，,y＝.))答：1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥hm2和hm2.上面解方程組的過程可以用下面的框圖表示：三、鞏固練習(xí)1．用加減法解下列方程組時，你認為先消去哪個未知數(shù)較簡單，填寫消元的方法．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝15，①,5x－4y＝23.②))消元方法：________．(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7m－3n＝1，①,2n＋3m＝－2.②))消元方法：________．2．用加減法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝2，,4x－3y＝－6；))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝－1，,x＋4y＝－7；))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝5，,4x＋3y＝1；))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y＝9，,x－4y＝10.))【答案】1．(1)①×2－②消去y(2)①×2＋②×3消去n2．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(19,2)，,y＝－\f(1,8)))四、課堂小結(jié)本節(jié)課，我們主要學(xué)習(xí)了二元一次方程組的另一種解法——加減消元法，通過把方程組中的兩個方程進行相加或相減，消去一個未知數(shù)，化“二元”為“一元”，請同學(xué)們回憶：加減消元法解二元一次方程組的基本思想是什么？用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？在學(xué)習(xí)加減法解題之前，學(xué)生已經(jīng)知道了代入法解二元一次方程組的核心是代入“消元”，以使二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程求解．本課設(shè)計沒有直接告訴學(xué)生加減法解題的過程，而是通過引導(dǎo)學(xué)生觀察不同方程組的結(jié)構(gòu)特點，比較不同解法的優(yōu)劣，自己探索發(fā)現(xiàn)解題的技巧．這樣使學(xué)生積極地參加到學(xué)習(xí)的過程中，不僅能感受到學(xué)習(xí)的樂趣，更重要的是在這種積極求索的學(xué)習(xí)中，品嘗到了成功的喜悅，促使其能力得到充分的發(fā)揮、提高．8．3實際問題與二元一次方程組(1)1．使學(xué)生會借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，讓學(xué)生再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用．2．通過應(yīng)用題教學(xué)，學(xué)生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性．重點能根據(jù)題意找出等量關(guān)系，并能根據(jù)題意列二元一次方程組．難點正確找出問題中的兩個等量關(guān)系．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課復(fù)習(xí)提問：列方程解應(yīng)用題的步驟是什么？學(xué)生回答：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗并作答．教師講述：前面我們結(jié)合實際問題，討論了用方程組表示問題中的條件以及如何解方程組．本節(jié)我們繼續(xù)探究如何用方程組解決實際問題．教師出示問題：養(yǎng)牛場原有30頭大牛和15頭小牛，一天約需用飼料675kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時一天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計平均每頭大牛1天約需用飼料18kg～20二、探索分析，解決問題根據(jù)問題中給定的數(shù)量關(guān)系如何計算平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用的飼料量？主要思路：eq\x(實際問題)eq\o(→,\s\up7(設(shè)未知數(shù)),\s\do5(列方程組))eq\x(\a\al(數(shù)學(xué)問題,（二元一次方程組）))學(xué)生先獨立思考，然后師生共同討論解題過程．問題：1．題中有哪些已知量？哪些未知量．2．題中的等量關(guān)系有哪些？3．如何解這個應(yīng)用題？解：設(shè)平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料xkg和ykg.找出相等關(guān)系列方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,42x＋20y＝940.))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.))這就是說，平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料20kg和5kg教師請同學(xué)們好好思考：以上問題還能列出不同的方程組嗎？結(jié)果是否一致？(個別學(xué)生可能會列出如下方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,12x＋5y＝265.))但結(jié)果一致．)思考題：《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食．樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的eq\f(1,3)；若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多了．”你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？三、鞏固練習(xí)1.某所中學(xué)現(xiàn)在有學(xué)生4200人，計劃一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，這樣全校生將增加10%，這所學(xué)?，F(xiàn)在的初中在校生和高中在校生人數(shù)各是多少？2．有大、小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨噸，5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸？【答案】1.解：設(shè)現(xiàn)在的初中在校生有x人，高中在校生有y人．根據(jù)題意列方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4200，,x（1＋8%）＋y（1＋11%）＝4200（1＋10%）.))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1400，,y＝2800.))答：現(xiàn)在的初中在校生有1400人，高中在校生有2800人．2.解：設(shè)每輛大車和每輛小車一次運貨量分別為x噸和y噸．根據(jù)題意列方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝，,5x＋6y＝35.))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝.))則3x＋5y＝.答：3輛大車與5輛小車一次可以運貨噸．四、課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道了用方程組解決實際問題有哪些步驟嗎？本節(jié)課從實際問題出發(fā)，通過分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組，通過對方程組解的檢驗，讓學(xué)生認識到檢驗不僅要檢查求得的解是否符合方程組中的每一個方程，而且還要考查所得的解答是否符合實際問題的要求，從而使學(xué)生初步體驗用方程組解決實際問題的全過程．8．3實際問題與二元一次方程組(2)1．經(jīng)歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型．2．能夠找出實際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組．3．學(xué)會開放性地尋求設(shè)計方案，培養(yǎng)分析能力．重點經(jīng)歷和體驗用方程組解決實際問題的過程．難點用方程組刻畫和解決實際問題．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課前面我們初步體驗了用方程組解決實際問題的全過程，其實生產(chǎn)、生活中還有許多問題也能用方程組解決．教師出示問題：據(jù)以往的統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物單位面積的產(chǎn)量比是1∶.現(xiàn)要在一塊長200m、寬100m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩個長方形，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比是3∶問題：1.“甲、乙兩種作物單位面積的產(chǎn)量比是1∶1.5”2.“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比為3∶4”3.本題中有哪些等量關(guān)系？提示：若甲種作物單位產(chǎn)量是a，那么乙種作物的單位產(chǎn)量是多少？二、例題講解教師提問：以上問題有哪些解法？學(xué)生自主探索、合作交流、整理思路：1.先確定有兩種方法分割長方形，再分別求出兩個小長方形的面積，最后計算分割線的位置．2.先求兩個小長方形的面積比，再計算分割線的位置．3.設(shè)未知數(shù)，列方程組求解．如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長方形AEFD和BCFE.設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m，根據(jù)問題中涉及長度、產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，列方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,100x∶（×100y）＝3∶4))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝105\f(15,17)，,y＝94\f(2,17).))過長方形土地的長邊上離一端約106m處，把這塊地分為兩個長方形，較大的一塊地種甲作物，教師提問：你還能設(shè)計別的種植方案嗎？(用類似的方法，可沿平行于線段AB的方向分割長方形．)教師巡視、指導(dǎo)，師生共同講評．三、鞏固練習(xí)某農(nóng)場300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植植物每公頃所需的勞動力人數(shù)及投入的資金如下表：農(nóng)作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元已知該農(nóng)場計劃投入67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？【答案】解：設(shè)安排x公頃種水稻、y公頃種棉花，則安排(51－x－y)公頃種蔬菜．根據(jù)題意列方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋8y＋5（51－x－y）＝300，,x＋y＋2（51－x－y）＝67.))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝20.))那么種蔬菜的面積為51－15－20＝16(公頃)．答：安排15公頃種水稻、20公頃種棉花、16公頃種蔬菜．四、課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對用方程組解決實際問題的方法又有何新的認識？本課所提供的例題、練習(xí)題、作業(yè)題突出體現(xiàn)以下特點：1.活動性．學(xué)生在圖形分割、手工操作、拼圖游戲中展開數(shù)學(xué)問題的討論，更具趣味性，學(xué)生在玩中學(xué)、做中學(xué)，在增強能力的同時，收獲快樂．2．探索性．問題解決的策略不易獲得，問題中的數(shù)量關(guān)系不易發(fā)現(xiàn)，問題中的未知數(shù)不易設(shè)定，這為學(xué)生開展探究活動提供了機會．3．開放性．解決問題的策略、方法、問題的結(jié)論的開放性設(shè)計，意在增強學(xué)生的創(chuàng)新意識和培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)、克服困難的能力．8．3實際問題與二元一次方程組(3)1．進一步經(jīng)歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型．2．會用列表的方式分析問題中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組．重點用列表、畫圖的方法分析題意，建立模型．難點如何應(yīng)用列表法、圖象法分析問題，建立模型．一、例題講解教師出示例題：如圖，長青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品運到B地．公路運價為元/(噸·千米)，鐵路運價為元/(噸·千米)，這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元．這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？學(xué)生自主探索、合作交流．設(shè)問1：如何設(shè)未知數(shù)？銷售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān)，原料費與原料數(shù)量有關(guān)，而公路運費和鐵路運費與產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量都有關(guān)．因此設(shè)產(chǎn)品重x噸，原料重y噸．設(shè)問2：如何確定題中的數(shù)量關(guān)系？列表分析：產(chǎn)品x噸原料y噸合計公路運費(元)鐵路運費(元)價值(元)由上表可列方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1×（20x＋10y）＝15000，,×（110x＋120y）＝97200.))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝300，,y＝400.))因為毛利潤＝銷售款－原料費－運輸費，所以這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多1887800元．教師引導(dǎo)學(xué)生討論以上列方程組解決實際問題的思路：合理設(shè)定未知數(shù)，找出相等關(guān)系．二、鞏固練習(xí)1．某工廠現(xiàn)在年產(chǎn)值是150萬元，如果每增加1000元的投資一年可增加2500元的產(chǎn)值，設(shè)新增加的投資額為x萬元，總產(chǎn)值為y萬元，求x、y所滿足的方程．2.學(xué)校購買35張電影票共用250元，其中甲種票每張8元，乙種票每張6元，設(shè)甲種票x張，乙種票y張，請列方程組并求解．3.有一個兩位數(shù)，其數(shù)字和為14，若調(diào)換個位數(shù)字與十位數(shù)字，就比原數(shù)大18，則這個兩位數(shù)是多少？【答案】1．y＝150＋.\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝35，,8x＋6y＝250，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝15.))3．設(shè)這個兩位數(shù)為xy，則由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝14，,10y＋x＝10x＋y＋18，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝8.))則這個兩位數(shù)為68.三、課堂小結(jié)1．在用二元一次方程組解決實際問題時，你會怎樣設(shè)定未知數(shù)，可借助哪些方式輔助分析問題中的相等關(guān)系？2．小組討論，試用框圖概括“用二元一次方程組分析和解決實際問題”的基本過程．學(xué)生思考、討論、整理．本課探究的問題信息量大、數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、未知數(shù)不容易設(shè)定，對學(xué)生來說是一種挑戰(zhàn)，因此安排學(xué)生合作學(xué)習(xí)．學(xué)生先獨立思考、自主探索，然后在小組討論中合理設(shè)定未知數(shù)，借助表格分析題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程組求得問題的解．在本節(jié)的小結(jié)中，讓學(xué)生結(jié)合自己的解題過程概括整理實際問題與二元一次方程組的關(guān)系，并比較完整地用框圖反映，培養(yǎng)了學(xué)生的模型化思想．8．4三元一次方程組的解法1．會解三元一次方程組．2．感受“三元”化歸到“二元”，再由“二元”化歸到“一元”的數(shù)學(xué)思想．重點掌握三元一次方程組的解法．難點三元一次方程組如何化歸到二元一次方程組．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課老師出示下列問題：有人問甲、乙、丙三人的年齡，甲說：“我們?nèi)齻€人的年齡之和是26.”乙說：“甲的年齡的兩倍再加上我的年齡就要比丙大18.”丙說：“我比甲小1歲．”聰明的你能算出甲、乙、丙的年齡各是多少嗎？學(xué)生在老師的引導(dǎo)下獨立思考后合作交流，思考以下問題：1.選用什么數(shù)學(xué)工具來解呢？2.設(shè)哪些量為未知數(shù)呢？在小組內(nèi)說一說自己的解法，與組內(nèi)的同學(xué)達成共識．二、講授新課教師引導(dǎo)學(xué)生在完成上述問題的基礎(chǔ)上，出示下列問題：剛才這一問題，如果我們不設(shè)兩個未知數(shù)，只設(shè)一個未知數(shù)，用一元一次方程能否求解呢？eq\x(三元一次方程組)eq\o(→,\s\up7(Ｆ,\x(二元一次方程組),Ｆ,\x(一元一次方程),學(xué)生能由教師的引導(dǎo)，認真地分析題意，找出能概括問題全部含義的三個等量關(guān)系并能設(shè)出未知數(shù)：設(shè)甲的年齡為x歲，乙的年齡為