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學業(yè)分層測評(十二)(建議用時:45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.函數(shù)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))x(x∈N+)的圖像是()A.一條上升的曲線 B.一條下降的曲線C.一系列上升的點 D.一系列下降的點【解析】eq\f(7,3)>1且x∈N+,故圖像是一系列上升的點.【答案】C2.(2023·延安高一檢測)函數(shù)f(x)=3x-2中,x∈N+且x∈[-1,3],則f(x)的值域為()A.{-1,1,7} B.{1,7,25}C.{-1,1,7,25} \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-\f(5,3),-1,1,7,25))【解析】∵x∈N+且x∈[-1,3],∴x∈{1,2,3},∴3x∈{3,9,27},∴f(x)∈{1,7,25}.【答案】B3.若正整數(shù)指數(shù)函數(shù)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(1,4))),則它的解析式為()A.y=2x B.y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))xC.y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D.y=(-2)x【解析】設f(x)=ax,則a2=eq\f(1,4),∴a=eq\f(1,2),∴f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.【答案】C4.若正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-4)x滿足f(15)<f(14),則a的取值范圍是()A.a(chǎn)>4且a≠5 B.4<a<5C.a(chǎn)>5或a<4 D.a(chǎn)>5【解析】由f(15)<f(14)知,函數(shù)f(x)是減函數(shù),因此0<a-4<1,解得4<a<5.【答案】B5.某產(chǎn)品計劃每年成本降低p%,若三年后成本為a元,則現(xiàn)在成本為()A.a(chǎn)(1+p%)元 B.a(chǎn)(1-p%)元\f(a,1-p%3)元 \f(a,1+p%)元【解析】設現(xiàn)在成本為x元,則x(1-p%)3=a,∴x=eq\f(a,1-p%3),故選C.【答案】C二、填空題6.已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y=(m2-5m-5)mx,(x∈N+),則m【解析】由題意m2-5m-5=1,∴m2-5解得m=6或-1(舍去),∴m=6.【答案】67.比較下列各式的值.(1)π3____π2;(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2____eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6.【解析】由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知,π3>π2,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6.【答案】(1)>(2)>8.光線通過一塊玻璃板時,其強度要損失20%,把幾塊相同的玻璃板重疊起來,設光線原來的強度為1,通過x塊玻璃板后的強度為y,則y關于x的函數(shù)關系式為________.【解析】20%=,當x=1時,y=1×(1-=;當x=2時,y=×(1-=;當x=3時,y=×(1-=;……∴光線強度y與通過玻璃板的塊數(shù)x的關系式為y=(x∈N+).【答案】y=(x∈N+)三、解答題9.若x∈N+,判斷下列函數(shù)是不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù),若是,指出其單調(diào)性.(1)y=(-eq\r(5,9))x;(2)y=x4;(3)y=eq\f(2x,5);(4)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(9,\f(7,4))))x;(5)y=(π-3)x.【解】因為y=(-eq\r(5,9))x的底數(shù)-eq\r(5,9)小于0,所以y=(-eq\r(5,9))x不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù);(2)因為y=x4中自變量x在底數(shù)位置上,所以y=x4不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù),實際上y=x4是冪函數(shù);(3)y=eq\f(2x,5)=eq\f(1,5)·2x,因為2x前的系數(shù)不是1,所以y=eq\f(2x,5)不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù);(4)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù),因為y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(9,\f(7,4))))x的底數(shù)是大于1的常數(shù),所以是增函數(shù);(5)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù),因為y=(π-3)x的底數(shù)是大于0且小于1的常數(shù),所以是減函數(shù).10.已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(3,27).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求f(5);(3)函數(shù)f(x)有最值嗎?若有,試求出;若無,說明原因.【導學號:04100041】【解】(1)設正整數(shù)指數(shù)函數(shù)為f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+),因為函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=3x(x∈N+).(2)f(5)=35=243.(3)∵f(x)的定義域為N+,且在定義域上單調(diào)遞增,∴f(x)有最小值,最小值是f(1)=3;f(x)無最大值.[能力提升]1.已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y=(a-1)x(x∈N+)是減函數(shù),則a的取值范圍是()A.a(chǎn)>2 B.a(chǎn)<2C.1<a<2 D.a(chǎn)<1【解析】由題意0<a-1<1,∴1<a<2.【答案】C2.若正整數(shù)x,滿足3x≤27,則x的取值范圍是()A.(-∞,3] B.[3,+∞)C.{0,1,2,3} D.{1,2,3}【解析】由3x≤27,即3x≤33得x≤3,又x∈N+,所以x=1,2,3.【答案】D3.當x∈{x|-1<x≤4,x∈N+}時,函數(shù)f(x)=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的值域是________.【解析】因為{x|-1<x≤4,x∈N+}={1,2,3,4},∴當x=1,2,3,4時,f(x)=eq\f(1,2),eq\f(3,4),eq\f(7,8),eq\f(15,16),故函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(3,4),\f(7,8),\f(15,16))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(3,4),\f(7,8),\f(15,16)))4.某種細菌每隔兩小時分裂一次(每一個細菌分裂成兩個,分裂所需時間忽略不計),研究開始時有兩個細菌,在研究過程中不斷進行分裂,細菌總數(shù)y是研究時間t的函數(shù),記作y=f(t).(1)寫出函數(shù)y=f(t)的定義域和值域;(2)在坐標系中畫出y=f(t)(0≤t<6)的圖像;(3)寫出研究進行到n小時(n≥0,n∈Z)時,細菌的總個數(shù).(用關于n的式子表示)【解】(1)y=f(t)的定義域為{t|t≥0},值域為{y|y=2n,n∈N+};(2)0≤t<6時,f(t)為分段函數(shù),y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2,0≤t<2,,4,2≤t<4,,8,4≤t<6.))圖像如圖所示.(3)n為偶數(shù)且n≥0時,y=2eq\s
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