高中數(shù)學(xué)人教A版4坐標系 復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯提醒]1．關(guān)于伸縮變換的定義的易錯點．對于平面直角坐標系中的伸縮變換關(guān)系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))要區(qū)分(x，y)與(x′，y′)的意義．在應(yīng)用時必須注意：點(x，y)在原曲線上，點(x′，y′)在變換后的曲線上，因此點(x，y)的坐標滿足原來的曲線方程，點(x′，y′)的坐標滿足變換后的曲線方程．2．關(guān)注直角坐標與極坐標互化的疑難點．由直角坐標化為極坐標要注意點位于哪一個象限，才能確定θ的大?。?．處理極坐標系問題中的兩個易錯點．(1)當極坐標方程中僅含θ(不含ρ)時，常常忽略ρ的正負導(dǎo)致判斷錯誤．(2)平面直角坐標系中兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)之間的距離|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)，極坐標系中兩點P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(ρeq\o\al(2,1)＋ρeq\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）).在應(yīng)用時往往因記憶不清而導(dǎo)致計算錯誤．專題一平面上的伸縮變換1.點P(x，y)變?yōu)辄cQ(x′，y′)的伸縮變換為：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0）.))2．變換前的曲線方程、變換后的曲線方程、伸縮變換三者，若知道其中的兩個，我們可以求出第三個．但在進行伸縮變換時，要注意點的對應(yīng)性，即分清新舊坐標，P(x，y)是變換前的坐標，Q(x′，y′)是變換后的坐標．[例1]在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))后，曲線C變成曲線(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲線C的方程，并判斷其形狀．點撥：考查伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))將新坐標代入到已知曲線中，即可得到原曲線方程．解：將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中得：(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化簡得曲線C的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋3)2＝eq\f(1,4)，則該曲線是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓．歸納升華函數(shù)y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的圖象，可以看做把f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)為原來的eq\f(1,ω)(縱坐標不變)而得到的．函數(shù)y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的圖象，可以看做把f(x)圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到的．圖形變換中的伸縮變換我們可記作eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))在使用時，需分清新舊坐標．[變式訓(xùn)練]求圓x2＋y2＝4經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后的圖形的方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′，,y＝\f(1,3)y′.))代入x2＋y2＝4得eq\f(x′2,4)＋eq\f(y′2,9)＝4，即eq\f(x′2,16)＋eq\f(y′2,36)＝1，所以圓x2＋y2＝4在此伸縮變換下的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1.專題二直線和圓的極坐標方程直線和圓的極坐標方程的求法和應(yīng)用是一種常見的題型，一般思路是將曲線上的點滿足的幾何條件用坐標表示出來，然后化簡、整理．應(yīng)掌握幾種常見直線和圓的極坐標方程，如ρ＝2acosθ(a≠0)，ρ＝2asinθ(a≠0)，ρ＝r(r>0)及ρcosθ＝a，ρsinθ＝a，θ＝α，ρ＝2acos(θ－α)(α≠2kπ，k∈Z)．[例2]在直角坐標系Oxy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分別為曲線C與x軸、y軸的交點．(1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程．解：(1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ＋\f(\r(3),2)sinθ))＝1，所以曲線C的直角坐標方程為x＋eq\r(3)y＝2，當θ＝0時，ρ＝2，所以M(2，0)，當θ＝eq\f(π,2)時，ρ＝eq\f(2\r(3),3)，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).(2)點M的直角坐標為(2，0)，點N的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以MN的中點P的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，所以直線OP的極坐標方程為θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)．歸納升華此題著重考查直角坐標與極坐標的互化及基本運算能力，應(yīng)掌握把極坐標方程化為直角坐標方程的常用方法．[變式訓(xùn)練]在極坐標系中，P是曲線ρ＝12sinθ上的動點，Q是曲線ρ＝12coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))上的動點，試求|PQ|的最大值．解：因為ρ＝12sinθ，所以ρ2＝12ρsinθ，所以x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又因為ρ＝12coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝12ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,6)＋sinθsin\f(π,6)))，所以x2＋y2－6eq\r(3)x－6y＝0，所以(x－3eq\r(3))2＋(y－3)2＝36，所以|PQ|max＝6＋6＋eq\r(（3\r(3)）2＋32)＝18.專題三極坐標與直角坐標互化如圖所示，互化公式為：eq\x(x＝ρcosθ，y＝ρsinθ)eq\x(ρ2＝x2＋y2，tanθ＝\f(y,x)（x≠0）)對于tanθ＝eq\f(y,x)中θ值的確定，還要根據(jù)點(x，y)所在的象限，確定一個適合的角度．[例3]⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過⊙O1和⊙O2交點的直線的直角坐標方程．解：(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標方程．同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標方程．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0，,x2＋y2＋4y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝－2.))即⊙O1，⊙O2交于點(0，0)和(2，－2)．過交點的直線的直角坐標方程為y＝－x.歸納升華極坐標和直角坐標互化時，要注意必須是極點與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，且兩種坐標系取相同的單位長度．[變式訓(xùn)練](1)化下列極坐標方程為直角坐標方程：①ρ＝asin2θ(a>0)；②ρ＝2＋cosθ.(2)化直角坐標方程x＋y＝0為極坐標方程．解：(1)①顯然，ρ＝0是原方程的解，將方程兩邊同乘以ρ2得ρ3＝aρ2sin2θ＝2a·ρsinθ·ρcosθ即(x2＋y2)eq\s\up11(\f(3,2))＝2axy，即(x2＋y2)3＝4a2x2y2.②顯然，ρ≠0，將方程兩邊同乘以ρ，得ρ2＝(2＋cosθ)ρ，則x2＋y2＝±2eq\r(x2＋y2)＋x，即(x2＋y2－x)2＝4(x2＋y2)(x，y不同時為零)．(2)因為ρ(cosθ＋sinθ)＝0，所以ρ＝0或cosθ＋sinθ＝0，即θ＝eq\f(3,4)π，所以ρ＝0表示極點，而直線θ＝eq\f(3,4)π過極點，故所求方程為θ＝eq\f(3,4)π.專題四數(shù)形結(jié)合思想運用坐標方法研究曲線的形狀與性質(zhì)是典型的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．坐標系的建立，使直觀的幾何圖形問題得以用數(shù)量運算得以解決．[例4]在極坐標系中，和極軸垂直且相交的直線l與圓ρ＝4相交于A，B兩點，若|AB|＝4，求直線l的極坐標方程．解：設(shè)直線l與極軸相交于點C.如圖所示，在Rt△OAC中，|OC|＝eq\r(|OA|2－|AC|2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).設(shè)直線l上的任意一點為M(ρ，θ)，則直線l的極坐標方程為ρcosθ＝2eq\r(3).歸納升華求曲線的極坐標方程與求其直角坐標方程的方法類同，就是找出動點M的坐標ρ與θ之間的關(guān)系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化簡并檢驗特殊點．[變式訓(xùn)練]在極坐標系中，求半徑為2，圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,2)))的圓的極坐標方程．解：由題意知圓經(jīng)過極點O，OA為圓的一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點O，A以外的任意一點，如圖所求，則|OA|＝2×2，OM⊥MA，在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|·cos∠AOM，即ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))，故ρ＝－4sinθ.經(jīng)驗證知點O(0，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,2)))的坐標皆滿足上式，所以滿足條件的圓的極坐標方程為ρ＝－4sinθ.專題五轉(zhuǎn)化與化歸思想“化歸”是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡稱，是對數(shù)學(xué)知識的遷移與數(shù)學(xué)解題方法的形象概括，表現(xiàn)為化此為彼，化難為易，化隱為顯，具體地說，就是化抽象為具體，化未知為已知，化一般為特殊等．轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化兩種，非等價轉(zhuǎn)化常用于證明題或不等式，等價轉(zhuǎn)化常用于解方程或不等式．在ρ≥0，0≤θ<2π時，極坐標方程與直角坐標方程的相互轉(zhuǎn)化也屬于等價轉(zhuǎn)化，同時要注意以下兩點：(1)互化條件：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，單位長度相同．(2)互化公式：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0），))θ由點(x，y)所在的象限確定．[例5]求經(jīng)過極點O(0，0)及點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(2)，\f(9π,4)))的圓的極坐標方程．解：將點的極坐標化為直角坐標，點O，A，B的直角坐標分別為(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形．圓的直角坐標方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18，即x2＋y2－6x－6y＝0，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cosθ＋sinθ)＝0，即ρ＝6eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).歸納升華將極坐標化為直角坐標，確定圓的直角坐標方程，再將圓的直角坐標方程化成圓的極坐標方程