高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù)-參賽作品

2023學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯一中高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（每小題5分，共60分）1．sin300°=（）A． B． C． D．2．函數(shù)是（）A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)3．圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切4．若，化簡(jiǎn)=（）A．sinθ﹣cosθ B．cosθ﹣sinθ C．±（sinθ﹣cosθ） D．sinθ+cosθ5．已知，則的值為（）A． B． C． D．6．若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點(diǎn)P（a，b）與圓的位置關(guān)系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定7．已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（），角α的最小正值為（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直線l：ax+y+1=0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于（）A． B．﹣ C．﹣或﹣ D．或9．記sin（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A． B． C． D．10．在圓x2+y2=4上，與直線4x+3y﹣12=0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（） B．（ C．（﹣） D．11．同時(shí)具有以下性質(zhì)：“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；③在上是增函數(shù)；④一個(gè)對(duì)稱中心為”的一個(gè)函數(shù)是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．令a=f（sin50°），b=f[cos（﹣50°）]，c=f（﹣tan50°），則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c二.填空題（每小題5分，共20分）13．在平面直角系中，以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊，如果角α、β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)（，）和（﹣，），那么sinαcosβ等于．14．已知，且α∈（0，π）則tanα=．15．求已知點(diǎn)P（5，0）及圓C：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0，若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦AB長(zhǎng)是8，則直線l的方程是．16．若關(guān)于x的方程=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為．三．解答題（本大題共6小題，共70分）．17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，點(diǎn)A（3，5）．（1）求過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程；（2）O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA，OC，求△AOC的面積S．19．已知函數(shù)（1）用五點(diǎn)法畫(huà)出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；（2）指出f（x）的周期和單調(diào)減區(qū)間．20．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求證：CF∥平面AEB1；（2）求三棱錐C﹣AB1E的體積．21．已知a＞0，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，﹣5≤f（x）≤1（1）求常數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在x軸上、半徑為2的圓C位于y軸右側(cè)，且與直線相切．（1）求圓C的方程；（2）在圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2023學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯一中高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共60分）1．sin300°=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用．【分析】直接根據(jù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化求解計(jì)算即可．【解答】解：sin300°=sin（﹣60°+360）=sin（﹣60°）=﹣sin60°=故選A．2．函數(shù)是（）A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)=4cos（4x﹣）=4sin4x是奇函數(shù)，且它的周期為=，故選：C．3．圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】求出半徑，求出圓心，看兩個(gè)圓的圓心距與半徑的關(guān)系即可．【解答】解：圓O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圓心是O1（1，0），半徑是r1=1圓O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圓心是O2（0，2），半徑是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴兩圓的位置關(guān)系是相交．故選B4．若，化簡(jiǎn)=（）A．sinθ﹣cosθ B．cosθ﹣sinθ C．±（sinθ﹣cosθ） D．sinθ+cosθ【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】直接利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：，cosθ＞sinθ．==|sinθ﹣cosθ|=cosθ﹣sinθ．故選：B．5．已知，則的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可求值．【解答】解：由=cos（π﹣﹣x）=﹣cos（+x）∵，∴=﹣．故選B．6．若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點(diǎn)P（a，b）與圓的位置關(guān)系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】因?yàn)橹本€與圓相交，所以圓心到直線的距離小于半徑，求出圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到該直線的距離小于圓的半徑得到關(guān)于a和b的關(guān)系式，然后再根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較即可得到P的位置．【解答】解：由圓x2+y2=1得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為1，因?yàn)橹本€與圓相交，所以圓心到該直線的距離d=＜1，即a2+b2＞1即P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于半徑，所以P在圓外．故選：B．7．已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（），角α的最小正值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】終邊相同的角．【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)化簡(jiǎn)，據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)判斷出點(diǎn)所在的象限，利用三角函數(shù)的定義求出角α的正弦，求出角α的最小正值【解答】解：=∴角α的終邊在第四象限∵到原點(diǎn)的距離為1∴∴α的最小正值為故選D8．已知點(diǎn)A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直線l：ax+y+1=0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于（）A． B．﹣ C．﹣或﹣ D．或【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】因?yàn)锳和B到直線l的距離相等，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即得到a的值．【解答】解：由題意知點(diǎn)A和點(diǎn)B到直線l的距離相等得到=，化簡(jiǎn)得6a+4=﹣3a﹣3或6a+4=3a+3解得a=﹣或a=﹣．故選C9．記sin（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式求cos80°，然后化切為弦，即可求得tan100°．【解答】解：∵sin（﹣80°）=k，∴sin80°=﹣k，∴cos80°=，∴tan100°=﹣tan80°=．故選：C．10．在圓x2+y2=4上，與直線4x+3y﹣12=0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（） B．（ C．（﹣） D．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；直線與圓的位置關(guān)系．【分析】在圓x2+y2=4上，與直線4x+3y﹣12=0的距離最小的點(diǎn)，必在過(guò)圓心與直線4x+3y﹣12=0垂直的直線上，求此線與圓的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可以判斷坐標(biāo)．【解答】解：圓的圓心（0，0），過(guò)圓心與直線4x+3y﹣12=0垂直的直線方程：3x﹣4y=0，它與x2+y2=4的交點(diǎn)坐標(biāo)是（），又圓與直線4x+3y﹣12=0的距離最小，所以所求的點(diǎn)的坐標(biāo)（）．圖中P點(diǎn)為所求；故選A．11．同時(shí)具有以下性質(zhì)：“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；③在上是增函數(shù)；④一個(gè)對(duì)稱中心為”的一個(gè)函數(shù)是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)題意，求解出ω和φ，考查在上是增函數(shù)；一個(gè)對(duì)稱中心為可得答案．【解答】解：由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；可得：+φ=，k∈Z．對(duì)于D選項(xiàng)：φ=﹣，不滿足，排除D；④一個(gè)對(duì)稱中心為”帶入函數(shù)y中，B選項(xiàng)不滿足．排除B；故選C．12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．令a=f（sin50°），b=f[cos（﹣50°）]，c=f（﹣tan50°），則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】將自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，根據(jù)單調(diào)性比較a、b、c的大?。窘獯稹拷猓篵=f[cos（﹣50°）]，c=f（﹣tan50°），則b=f（cos50°），c=f（tan50°），因?yàn)?5°＜50°＜90°，所以cos50°＜sin50°＜tan50°，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，所以b＜a＜c，故選：A．二.填空題（每小題5分，共20分）13．在平面直角系中，以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊，如果角α、β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)（，）和（﹣，），那么sinαcosβ等于﹣．【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinα與cosβ的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵角α、β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)（，）和（﹣，），∴sinα==，cosβ==﹣，則sinαcosβ=﹣，故答案為：﹣．14．已知，且α∈（0，π）則tanα=﹣．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出sinα、cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：，∴cosα=﹣﹣sinα；∴sin2α+cos2α=sin2α+=1，即2sin2α+sinα﹣=0，解得sinα=或sinα=﹣；又α∈（0，π），∴sinα=，cosα=﹣﹣=﹣；∴tanα==．故答案為：﹣．15．求已知點(diǎn)P（5，0）及圓C：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0，若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦AB長(zhǎng)是8，則直線l的方程是x﹣5=0或7x+24y﹣35=0．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，利用垂徑定理算出弦AB的長(zhǎng)為8，此時(shí)l2方程為x=5符合題意；當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)設(shè)l2的方程為y=k（x﹣5），利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理加以計(jì)算，可得k=﹣，得到l2方程為7x+24y﹣35=0．最后加以綜合即可得到滿足條件的直線l2的方程．【解答】解：①當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，其方程為x=5，∵圓心C到x=5距離等于3，∴弦AB的長(zhǎng)為2=8，滿足題意；②當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)l2方程為y=k（x﹣5），∵弦AB長(zhǎng)是8，∴圓心C到直線l2的距離d==3，∵l2方程為y=k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k=0，∴=3，解之得k=﹣，可得直線l2方程是7x+24y﹣35=0綜上所述，可得直線l2方程為x﹣5=0或7x+24y﹣35=0，故答案為x﹣5=0或7x+24y﹣35=0．16．若關(guān)于x的方程=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為k=0或k＞1或k＜﹣1．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；函數(shù)的圖象．【分析】設(shè)已知方程的左邊為y1，右邊為y2，故y2表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的半圓，y2表示恒過(guò)定點(diǎn)（0，2）的直線，畫(huà)出兩函數(shù)的圖象，如圖所示，則原方程要只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即要半圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)圖象可知當(dāng)直線與半圓相切時(shí)滿足題意，求出此時(shí)k的值，再求出兩個(gè)特殊位置，直線再過(guò)（2，0），求出此時(shí)k的值，當(dāng)k小于求出的值時(shí)滿足題意，同時(shí)求出直線過(guò)（﹣2，0）時(shí)k的值，當(dāng)k大于求出的值時(shí)滿足題意，綜上，得到所有滿足題意的k的范圍．【解答】解：設(shè)y1=，y2=kx+2，則y1表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的x軸上方的半圓，y2表示恒過(guò)（0，2）的直線，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示，根據(jù)圖象可得：當(dāng)直線與半圓相切，即直線為y=2時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)k=0；當(dāng)直線過(guò)（0，2）和（2，0）時(shí)，直線的斜率為﹣1，則當(dāng)k＜﹣1時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)直線過(guò)（0，2）和（﹣2，0）時(shí)，直線的斜率為1，則當(dāng)k＞1時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，綜上，滿足題意的k的范圍是k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案為：k=0或k＞1或k＜﹣1三．解答題（本大題共6小題，共70分）．17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα的值，可得tanα的值．（2）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵，∴cosα==，∴tanα==2．（2）====﹣10．18．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，點(diǎn)A（3，5）．（1）求過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程；（2）O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA，OC，求△AOC的面積S．【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】（1）先把圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，再設(shè)切線的斜率為k，寫(xiě)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k，然后可得切線方程．（2）先求OA的長(zhǎng)度，再求直線AO的方程，再求C到OA的距離，然后求出三角形AOC的面積．【解答】解：（1）因?yàn)閳AC：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0?（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．所以圓心為（2，3），半徑為1．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為kx﹣y﹣3k+5=0，所以=1，所以k=，所以切線方程為：3x﹣4y+11=0；而點(diǎn)（3，5）在圓外，所以過(guò)點(diǎn)（3，5）做圓的切線應(yīng)有兩條，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線方程為：x=3．（2）|AO|==，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的直線l的方程為：5x﹣3y=0，故d=，故S=d|AO|=19．已知函數(shù)（1）用五點(diǎn)法畫(huà)出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；（2）指出f（x）的周期和單調(diào)減區(qū)間．【考點(diǎn)】五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）令+=0，，π，，2π，得到相應(yīng)的x的值，列表描點(diǎn)即可；（2）利用周期公式求周期；由它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象可得到其單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：（1）列表如下：+0π2πx﹣y36303作圖：（2）周期4π；函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間+∈[+2kπ，+2kπ]，即x∈[+4kπ，+4kπ]（k∈Z）．20．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求證：CF∥平面AEB1；（2）求三棱錐C﹣AB1E的體積．【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（1）取AB1的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，由已知條件推導(dǎo)出四邊形FGEC是平行四邊形，由此能證明CF∥平面AB1E．（2）由=，利用等積法能求出三棱錐C﹣AB1E的體積．【解答】（1）證明：取AB1的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G∵F，G分別是棱AB、AB1的中點(diǎn)，∴又∵∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥面ACE，∴點(diǎn)B到平面AEB1的距離為BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距離等于點(diǎn)B到平面ACE的距離，即為2，∴===．21．已知a＞0，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，﹣5≤f（x）≤1（1）求常數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【分析】（1）根據(jù)x∈[0，]求出2x+的取值范圍，再根據(jù)題意