高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形正弦定理和余弦定理 余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版《數(shù)學(xué)》必修5第一章《解三角形》第一節(jié)正弦定理和余弦定理。第一節(jié)約4課時(shí)，2課時(shí)通過(guò)探究證明正弦定理，應(yīng)用正弦定理解三角形；2課時(shí)通過(guò)探究證明余弦定理，應(yīng)用余弦定理解三角形。本節(jié)課是余弦定理的第一課時(shí)，屬于定理教學(xué)課。正余弦定理是定量研究三角形邊角關(guān)系的基礎(chǔ)，它們?yōu)榻馊切翁峁┝嘶痉椒ǎ瑸楹罄m(xù)解決測(cè)量等實(shí)際問(wèn)題提供了理論基礎(chǔ)和操作工具。余弦定理是繼正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形體系，為解決三角形的邊角關(guān)系提供了新的方法；是對(duì)任意三角形“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問(wèn)題進(jìn)行量化分析的結(jié)果，將兩種判定三角形全等的定性定理轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的公式?？v觀余弦定理的發(fā)展史，它的雛形出現(xiàn)公元前3世紀(jì)。在歐幾里得《幾何原本》卷二對(duì)鈍角三角形和銳角三角形三邊關(guān)系的闡述中，利用勾股定理將余弦定理的幾何形式進(jìn)行了證明。1593年，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)首次將歐幾里得的幾何命題寫成了我們今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世紀(jì)，三角形式的余弦定理才一統(tǒng)天下?！坝嘞叶ɡ硎亲鳛楣垂啥ɡ淼耐茝V而誕生的，以幾何定理的身份出現(xiàn)，直到1951年，美國(guó)數(shù)學(xué)家荷爾莫斯在其《三角學(xué)》中才真正采用解析幾何的方法證明了余弦定理，至于向量方法的出現(xiàn)，更是晚近的事了?！睆男屡f教材的內(nèi)容設(shè)計(jì)對(duì)比來(lái)看，無(wú)論是問(wèn)題的提出，定理的證明，簡(jiǎn)單應(yīng)用都呈現(xiàn)出變化。舊教材數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二節(jié)解斜三角形中?；谔厥獾揭话愕臄?shù)學(xué)思想，從直角三角形切入，提出問(wèn)題后，直接用向量的方法推導(dǎo)定理。新教材將余弦定理安排在獨(dú)立章節(jié)《解三角形》中,首先給出探究：如果已知一個(gè)三角形的兩邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，從量化的角度研究這個(gè)問(wèn)題，也為余弦定理解三角形的類型做了鋪墊。在定理的推導(dǎo)過(guò)程中，同樣用了向量方法，但在推導(dǎo)前提出思考：聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，我們從什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？新教材還結(jié)合余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別對(duì)三種形狀的三角形進(jìn)行了量化分析，舊教材沒(méi)有涉及此內(nèi)容。從余弦定理的發(fā)展史和教材的設(shè)置變化來(lái)看，歐式幾何依據(jù)基本的邏輯原理，建立幾何關(guān)系，論證嚴(yán)謹(jǐn)，但思維量大，需要分類討論。而作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具——向量引入后，歐式幾何中的平行、相似、垂直都可以轉(zhuǎn)化成向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)量，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化成向量的運(yùn)算體系，由此開創(chuàng)了研究幾何問(wèn)題的新方法。而且在證明之后還提出問(wèn)題：用坐標(biāo)方法怎樣怎樣證明余弦定理？還有其他的方法嗎?教材的編排，就是希望學(xué)生了解可以從向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理，另外對(duì)向量工具性作用有所體會(huì)和認(rèn)識(shí)?；谝陨戏治?，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)并證明余弦定理。教學(xué)目標(biāo)設(shè)置結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教材編排，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：1．發(fā)現(xiàn)并掌握余弦定理及其推論，利用余弦定理能夠解決一些與三角形邊角有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。2.通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，能證明余弦定理，了解可以從向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理。3．通過(guò)經(jīng)歷一個(gè)完整的探究學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。學(xué)生學(xué)情分析為了讓學(xué)生更好的學(xué)習(xí)本節(jié)課，現(xiàn)將學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力水平分析如下：本節(jié)課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)全等三角形，三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本節(jié)課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理思路，也使余弦定理的探討有了更加簡(jiǎn)潔的工具。知識(shí)結(jié)構(gòu)上，學(xué)生會(huì)解直角三角形，知道銳角三角函數(shù)和勾股定理，這為用幾何法證明余弦定理奠定了基礎(chǔ)；學(xué)生知道三角形回路可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，向量的模與長(zhǎng)度有關(guān)，向量的夾角與角度有關(guān)，這為向量法證明余弦定理奠定了基礎(chǔ)；學(xué)生還知道在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式和三角函數(shù)的定義，這為解析法證明余弦定理奠定了基礎(chǔ)。正弦定理的證明推導(dǎo)過(guò)程也為本節(jié)課提供了一些探究的思路。能力水平上，高二的學(xué)生已有了一定的觀察和類比能力，轉(zhuǎn)化和分析問(wèn)題的能力?？墒牵谧C明過(guò)程中，如何使學(xué)生自然的將原有的知識(shí)與現(xiàn)有的推理相聯(lián)系，從多個(gè)角度聯(lián)想去發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，自主探究獲得定理的證明，從而提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，這是這節(jié)課需要突破的?；谝陨戏治觯竟?jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理。教學(xué)策略分析1.課堂活動(dòng)重探究。采用探究式課堂教學(xué)模式。整個(gè)過(guò)程包括提出探究問(wèn)題確定探究方案完成探究過(guò)程。2．精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串。以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)建構(gòu)，形成方法、提升能力。3．形成問(wèn)題學(xué)習(xí)鏈。學(xué)生獨(dú)立思考和小組合作探究相結(jié)合，學(xué)生匯報(bào)交流和老師點(diǎn)撥引導(dǎo)相結(jié)合，形成以提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)、攜手并進(jìn)的“探究問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈。4．重視生成展思維。在探究過(guò)程中，重視學(xué)生生成，激發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生真正成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“研究者”，在知識(shí)的發(fā)成、發(fā)展過(guò)程中展開思維。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)回顧，提出問(wèn)題1.復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題1：前面我們學(xué)習(xí)了正弦定理，它的形式是什么？問(wèn)題2：利用正弦定理，我們已經(jīng)解決解三角形的哪些類型的問(wèn)題？設(shè)置意圖：通過(guò)回顧正弦定理的形式和能用其解三角形的類型，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到正弦定理是解三角形的工具，是定量研究三角形邊角關(guān)系的重要定理。2.提出問(wèn)題問(wèn)題3：對(duì)于解三角形的問(wèn)題,我們還有哪些類型的問(wèn)題沒(méi)有解決呢？設(shè)置意圖：借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，完善解三角形體系，確定邊角邊和邊邊邊是兩類可解的解三角形問(wèn)題，使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。分析問(wèn)題，確定方案探究一：已知兩邊及其夾角解三角形問(wèn)題：怎樣確定解決問(wèn)題的方案？設(shè)置意圖：通過(guò)學(xué)生的獨(dú)立思考，暢所欲言，確定思路，讓更多的學(xué)生有的放矢，明確解決問(wèn)題的方向。學(xué)生活動(dòng)：小組合作，相互討論，展示結(jié)果。過(guò)程說(shuō)明：通過(guò)確定方案，放手讓學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)證明余弦定理。必要時(shí)加以引導(dǎo)如：第三邊可以放在直角三角形中求解嗎？涉及邊長(zhǎng)和夾角，三角形是三條線段首尾相接所組成的封閉圖形，可以用向量的等式來(lái)表示嗎？?jī)牲c(diǎn)之間的距離，能用坐標(biāo)法求解嗎？設(shè)置意圖：將原有的知識(shí)與現(xiàn)有的推理相聯(lián)系，從多個(gè)角度聯(lián)想去發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，自主探究獲得定理的證明。使其在探究中對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的思考逐步深入，思維水平不斷提高。發(fā)現(xiàn)定理，分析內(nèi)涵不同方法探索并證明余弦定理之后，通過(guò)觀察余弦定理結(jié)構(gòu)特征，層層深入，去分析余弦定理的內(nèi)涵。思考：觀察的結(jié)構(gòu)特征，談一談你對(duì)等式的理解。設(shè)置意圖：分析等式的外延和內(nèi)涵，自然的得到余弦定理及其推論。解決問(wèn)題，理解定理得到了余弦定理，繼續(xù)完成已知邊角邊求解角的過(guò)程，和已知三邊解三角形的過(guò)程。探究二：已知三邊解三角形設(shè)置意圖：通過(guò)解三角形的過(guò)程，不但發(fā)現(xiàn)余弦定理，還能在求解中進(jìn)一步理解和應(yīng)用余弦定理。例題展示，鞏固定理例：在中，已知解三角形。設(shè)置意圖：鞏固熟悉余弦定理，從例題的思考，展示，交流，點(diǎn)評(píng)中使學(xué)生對(duì)正余弦定理解三角形有進(jìn)一步的體驗(yàn)。課堂小結(jié)，提煉過(guò)程思考：余弦定理及其推論發(fā)現(xiàn)和證明的過(guò)程是怎樣的？在這個(gè)過(guò)程中你有什么體會(huì)？設(shè)置意圖：小結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題：談過(guò)程，談體會(huì)。目的是不但讓學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)探究學(xué)習(xí)過(guò)程，還能在此基礎(chǔ)上對(duì)本節(jié)課有整體的認(rèn)識(shí)，說(shuō)出整個(gè)過(guò)程的環(huán)節(jié)，感受以及發(fā)現(xiàn)證明定理運(yùn)用的方法等。布置作業(yè)，課后探究課本A組3,4題拓展思考：相等和不等是一對(duì)辯證的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)角的范圍討論余弦定理中所蘊(yùn)含的相等和不等關(guān)系.設(shè)置意圖：作業(yè)一是鞏固熟悉利用余弦定理解三角形，作業(yè)二的目的是進(jìn)