高中數(shù)學北師大版第一章三角函數(shù)9三角函數(shù)的簡單應用

課時提升作業(yè)三角函數(shù)的簡單應用一、選擇題(每小題4分,共16分)1.電流I(A)隨時間t(s)變化的關系是I=2sin100πt,t∈(0,+∞),則電流I變化的周期是()A.1100 C.150 【解析】選C.由題意知,T=2πω=2π100π=2.(2023·亳州高一檢測)某人的血壓滿足函數(shù)關系式f(t)=24sin(160πt)+110,其中f(t)為血壓,t為時間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為() 【解題指南】本題的實質是求函數(shù)的頻率.【解析】選=2π160π=180,3.如圖為一半徑r為3米的水輪,水輪圓心O距離水面2米,已知水輪每分鐘旋轉4圈,水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間x(秒)滿足函數(shù)關系y=Asin(ωx+φ)+2,則有()A.ω=152π,A=3 B.ω=2πC.ω=2π15,A=5 D.ω=15【解析】選B.水輪每分鐘旋轉4圈,即每秒鐘旋轉215πrad,所以ω=2又水輪上最高點離水面的距離為r+2=5(米),即ymax=A+2=5,所以A=3.【變式訓練】(2023·杭州高一檢測)如圖,一個大風車的半徑是8米,每12分鐘旋轉一周,最低點離地面2米,若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉,則該翼片的端點P離地面的距離h(米)與時間t(分鐘)之間的函數(shù)解析式是()=8cosπ6t+10 =-8cosπ=-8sinπ6t+10 =-8cosπ【解析】選D.首先考慮建立直角坐標系,以最低點的切線作為x軸,最低點作為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系.那么,風車上翼片端點所在位置P可由函數(shù)x(t),y(t)來刻畫,而且h(t)=y(t)+2.所以,只需要考慮y(t)的解析式.又設P的初始位置在最低點,即y(0)=0.在Rt△O1PQ中,由cosθ=8-y(t)8得y(t)=-8cosθ+8.又2π12=θt,所以θ=π6t,y(th(t)=-8cosπ64.(2023·西安高一檢測)穩(wěn)定房價是我國今年實施宏觀調控的重點,國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產(chǎn)市場產(chǎn)生了影響.北京市某房地產(chǎn)介紹所對本市一樓群在今年的房價進行了統(tǒng)計與預測:發(fā)現(xiàn)每個季度的平均單價y(每平方米面積的價格,單位為元)與第x季度之間近似滿足:y=500sin(ωx+φ)+9500(φ>0),已知第一、二季度平均單價如下表所示:x123y100009500?則此樓群在第三季度的平均單價大約是()元 元元 元【解析】選C.由表格數(shù)據(jù)可知,10000=500sin(ω+φ)+9500,9500=500sin(2ω+φ)+9500,所以sin(ω+φ)=1,sin(2ω+φ)=0;ω+φ=2k1π+π2(k1∈Z),2ω+φ=2k2π+π(k2∈Z),②②×2-①得3ω+φ=4k2π-2k1π+3π=2k3π+3π2(k3∈所以x=3時,y=500sin3ω+φ+9500=9000(元).故選C.二、填空題(每小題5分,共10分)5.有一種波,其波形為函數(shù)y=sinπx2的圖像,若在區(qū)間[0,t](t>0)上至少有2個波峰(圖像的最高點),則正整數(shù)t的最小值是【解析】因為函數(shù)y=sinπx2的周期T=4,y=sinπx2的圖像在[0,t]上至少有2個波峰,所以t≥54T=5,故正整數(shù)t答案:56.(2023·濰坊高一檢測)某同學利用描點法畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)其中A>0,0<ω<2,-π2<φ<x01234y101-1-2經(jīng)檢查,發(fā)現(xiàn)表格中恰有一組數(shù)據(jù)計算錯誤,請你根據(jù)上述信息推斷函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式應是.【解析】因為(0,1)和(2,1)關于直線x=1對稱,故x=1與函數(shù)圖像的交點應是最高點或最低點,故數(shù)據(jù)(1,0)錯誤,從而由(4,-2)在圖像上知A=2,由過(0,1)點知2sinφ=1,因為-π2<φ<π2,所以φ=所以y=2sinωx+π6,再將點(2,1)代入得,2sin所以2ω+π6=π6+2kπ或2ω+π6=5π因為0<ω<2,所以ω=π3所以函數(shù)解析式為y=2sinπ3答案:y=2sinπ三、解答題(每小題12分,共24分)7.以一年為一個周期調查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn):該商品的出廠價格是在6元基礎上按月份隨正弦曲線波動的,已知3月份出廠價格最高為8元,7月份出廠價格最低為4元,而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎上按月隨正弦曲線波動的,并已知5月份銷售價最高為10元,9月份銷售價最低為6元,假設某商店每月購進這種商品m件,且當月售完,請估計哪個月盈利最大?并說明理由.【解析】由條件可得:出廠價格函數(shù)為y1=2sinπ4銷售價格函數(shù)為y2=2sinπ4則利潤函數(shù)為:y=m(y2-y1)=m2sinπ4x-3π4+8-2sinπ4x-所以,當x=6時,y=(2+22)m,即6月份盈利最大.8.如圖表示電流I與時間t的函數(shù)解析式:I=Asin(ωt+φ)A>0,|φ|<π2(1)根據(jù)圖像寫出I=Asin(ωt+φ)的解析式.(2)為了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意-段1100秒的時間內電流I能同時取得最大值和最小值,那么正整數(shù)ω的最小值是多少【解題指南】先由圖中的數(shù)據(jù)觀察出函數(shù)的最值、周期,從而確定A,ω,再代入圖像中的一個點的坐標求φ;根據(jù)(1)求出的解析式,列出不等式求ω的范圍后確定最小值.【解析】(1)由圖知A=300,t1=-1300,t3=1因為T=2(t3-t1)=21150+1所以ω=2πT由ωt1+φ=0得φ=-ωt1=π3所以I=300sin100πt+π(2)問題等價于T2≤1100,即πω所以ω≥100π,所以正整數(shù)ω的最小值為314.一、選擇題(每小題4分,共12分)1.(2023·煙臺高一檢測)車流量被定義為單位時間內通過十字路口的車輛數(shù),單位為輛/分,上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)=50+4sint2(0≤t≤20)給出,F(t)的單位是輛/分,t的單位是分,則下列哪個時間段內車流量是增加的(A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]【解析】選C.由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),由于0≤t≤20,所以0≤t≤π或3π≤t≤5π,從而車流量在時間段2.(2023·合肥高一檢測)繩子繞在半徑為50cm的輪圈上,繩子的下端B處懸掛著物體W,如果輪子按逆時針方向每分鐘勻速旋轉4圈,那么把物體W的位置向上提升100cm需要()15π 10π 5π 【解析】選A.設需x秒上升100cm.則x60所以x=15π3.(2023·青島高一檢測)海水受日月的引力作用,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系的表格:時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深選用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)來模擬港口的水深與時間的關系.如果一條貨船的吃水深度是4米,安全條例規(guī)定至少有米的安全間隙(船底與洋底的距離),則該船一天之內在港口內呆的時間總和為小時.() 【解析】選B.由題意可得y=π6+5(0≤x≤24),則π6sinπ6x≥12,2kπ+π6≤π6x≤即12k+1≤x≤5+12k,該船可以1點進港,5點離港,或13點進港,17點離港,在港口內呆的時間總和為4+4=8小時.二、填空題(每小題4分,共8分)4.如圖,點P是半徑為r的砂輪邊緣上的一個質點,它從初始位置P0開始,按逆時針方向以角速度ω(rad/s)做圓周運動,則點P的縱坐標y關于時間t的函數(shù)關系式為.【解析】當質點P從P0轉到點P位置時,點P轉過的角度為ωt,則∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函數(shù)定義知P點的縱坐標y=rsin(ωt+φ).答案:y=rsin(ωt+φ)5.(2023·北京高一檢測)一觀覽車的主架示意圖如圖所示,其中O為輪軸的中心,距地面32m(即OM長),巨輪的半徑為30m,AM=BP=2m,巨輪逆時針旋轉且每12min轉動一圈.若點M為吊艙P的初始位置,經(jīng)過tmin,該吊艙P距離地面的高度為hm,則h=.【解析】過點O作地面的平行線ON,過點B作ON的垂線BM交ON于M點.點A在☉O上逆時針運動的角速度是2π12=π6,所以tmin轉過的弧度數(shù)為π6t,設θ=π6t,當θ>π2時,∠BOM=θ-π2,h=OA+BM=30+30sinθ-π2,當0<θ≤π2時,答案:30sinπ6三、解答題(每小題10分,共20分)6.如圖,某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求這一天6～14時的最大溫差.(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.【解析】(1)由圖可知:這段時間的最大溫差是20℃.(2)從圖可以看出:從6～14是y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖像,所以T2所以T=16,因為T=2πω所以ω=π8又因為A=所以A=10,所以y=10sinπ8將點(6,10)代入得:sin3π4所以3π4+φ=2kπ+3π2,k所以φ=2kπ+3π4,k∈Z,可取φ=3π所以y=10sinπ8【拓展延伸】三角函數(shù)的建模問題關鍵點(1)解決實際問題時的關鍵是觀察出周期性,搜集數(shù)據(jù),作出相應的散點圖.(2)求解的關鍵是能抽象出三角函數(shù)模型,解決的步驟是:審題,建模,求解,還原.7.(2023·虹口區(qū)高一檢測)某種型號汽車的四個輪胎半徑相同,均為R=40cm,該車的底盤與輪胎中心在同一水平面上.該車的涉水安全要求是:水面不能超過它的底盤高度.如圖所示:某處有一“坑形”地面,其中坑ABC形成頂角為120°的等腰三角形,且AB=BC=60cm,如果地面上有h(cm)(h<40)高的積水(此時坑內全是水,其他因素忽略不計).(1)當輪胎與AB,BC同時接觸時,求證:此輪胎露在水面外的高度(從輪胎最上部到水面的距離)為d=10+803(2)假定該汽車能順利通過這個坑(指汽車在過此坑時,符合涉水安全要求),求h的最大值.(精確到1cm)【解析】(1)當輪胎與AB,BC同時接觸時,設輪胎與AB邊的切點為T,輪胎中心為O,則|OT|=40,由∠ABC=120°,知∠OBT=60°,故|OB|=2×403所以,從B點到輪胎最上部的距離為2×403此輪胎露在水面外的高度為d=2×403+40-(60·cos60°+h)=803+10-h=10+8