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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.2.已知集合,,則A. B.C. D.3.如圖,拋物線:的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))長(zhǎng)為半徑的圓交于,兩點(diǎn),則關(guān)于值的說(shuō)法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定4.已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),則線段的最小值為()A. B. C. D.65.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A.π B.π C.π D.2π7.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.28.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.9.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,210.已知函數(shù),對(duì)任意的,,當(dāng)時(shí),,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對(duì)稱軸是 D.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是11.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長(zhǎng)的三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.2017二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球,丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球,且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里,共有________種不同的放法.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且周期為,當(dāng)時(shí),,則的值為_(kāi)__________________.15.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F,兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,若|FP|=5,則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為_(kāi)____.16.已知為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過(guò)引一條弦,使此弦被點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為_(kāi)_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn);當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)時(shí),的周長(zhǎng)為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足,若點(diǎn)恰好在圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若對(duì)于任意恒成立,求的取值范圍.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的極坐標(biāo)方程是,射線與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段的長(zhǎng).20.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點(diǎn)與極值.(2)當(dāng),時(shí),證明:.21.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí),的最大值為,求證:.22.(10分)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)在x軸上的射影是D,點(diǎn)M滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】因?yàn)?,所以的虛部是,故選C.2、D【解析】
因?yàn)?,所以,,故選D.3、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),據(jù),得,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問(wèn)題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】
利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì),將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),可知拋物線存在某條切線與直線平行,則,設(shè)拋物線的切點(diǎn)為,則由可得,,所以切點(diǎn)為,則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.5、C【解析】
討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開(kāi)口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.6、C【解析】
兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.7、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡(jiǎn)單題.10、D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn),然后通過(guò)題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,解得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長(zhǎng)的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當(dāng)、時(shí),成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問(wèn)題的求解,屬于中檔題.12、B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
討論裝球盒子的個(gè)數(shù),計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí):種;當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí):種;當(dāng)兩個(gè)盒子有球時(shí):種.故共有種,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.14、【解析】
由題意可得:,周期為,可得,可求出,最后再求的值即可.【詳解】解:函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),.由周期為,可知,,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因?yàn)閍2+b2=4,解得a=1,b=,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力;靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.16、【解析】
設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)斜式方程,化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),由于點(diǎn)為弦的中點(diǎn),則,得,由題意得,兩式相減得,所以,直線的斜率為,所以,弦所在的直線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程,一般利用點(diǎn)差法,也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來(lái)解答,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】
(1)由橢圓的定義可知,焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為,從而求出.寫(xiě)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出和,從而寫(xiě)出橢圓的方程;(2)設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo),由可知點(diǎn)為的重心,根據(jù)重心坐標(biāo)公式可將點(diǎn)用P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示.由點(diǎn)在圓O上,知點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足圓O的方程,得式.為直線l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),用韋達(dá)定理表示,將其代入方程,再利用求得的范圍,最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1)由題意知.,直線的方程為∵直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為解得或(舍去),∴橢圓的方程為(2)設(shè).∴點(diǎn)為的重心,∵點(diǎn)在圓上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng),標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系,其中重心坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于較難的題.18、(1)或;(2).【解析】
(1)時(shí),分類討論,去掉絕對(duì)值,分類討論解不等式.(2)時(shí),分類討論去絕對(duì)值,得到解析式,由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值,通過(guò)恒成立問(wèn)題,得到關(guān)于的不等式,得到的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,所以不等式等價(jià)于或或,解得或.所以不等式的解集為或.(2)因?yàn)椋?,根?jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為,因?yàn)楹愠闪ⅲ?,解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論去絕對(duì)值,分段函數(shù)求最值,不等式恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.19、(1);(2)2【解析】
(1)首先利用對(duì)圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù))進(jìn)行消參數(shù)運(yùn)算,化為普通方程,再根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程.(2)設(shè),聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程,解得;設(shè),聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程,解得,可得.【詳解】(1)圓C的普通方程為,又,所以圓C的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則由解得,,得;設(shè),則由解得,,得;所以【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化,考查圓的極坐標(biāo)方程,考查極坐標(biāo)方程的求解運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值;(2)證明見(jiàn)解析【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值;令,問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)解析;(Ⅲ)見(jiàn)解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,令,即(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),由的單調(diào)性可得在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令,則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)?,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù),所以(1)當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)
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