立體幾何知識(shí)梳理

/11空間直線與平面1.平面及其相關(guān)性質(zhì)平面具有“平”的特征，無厚度，無邊界，在空間延伸至無限；平面可以用大寫的英文字母或小寫的希臘字母表示；空間的直線和平面都可以看作點(diǎn)的集合，點(diǎn)與它們的關(guān)系可以用集合的語言表示；例如，點(diǎn)A在直線/上，或直線/經(jīng)過點(diǎn)4記作Ael；點(diǎn)B不在直線l上，記作B電l；點(diǎn)A在平面a上，或平面a經(jīng)過點(diǎn)A,記作Aea；點(diǎn)B不在平面a上，記作BW；如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面。上，那么稱直線/在平面a上（或平面a經(jīng)過直線l），記作l=a；公理1如果直線/上有兩個(gè)點(diǎn)在平面。上，那么直線/在平面a上；公理1用集合語言表述如下：若Ael，Bel且Aea，Bea，則lca；公理2如果不同的兩個(gè)平面a,p有一個(gè)公共點(diǎn)A，那么a,p的交集是過點(diǎn)A的直線；公理2用集合語言表述如下：若存在AeaQP，則aQP=l，且Ael；公理3不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；推論1一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面；

推論2兩條相交的直線確定一個(gè)平面；推論3兩條平行的直線確定一個(gè)平面；空間直線與直線的位置關(guān)系共面［相交空間直線與直線的位置關(guān)系［面［平行異面公理4平行于同一直線的兩條直線相互平行；等角定理如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；在同一平面中，兩條直線的位置關(guān)系包括相交和平行；如果空間的兩條直線l,l12既不平行，也不相交，這時(shí)不可能存在一個(gè)平面，使它既經(jīng)過直線l,又經(jīng)過直線l,我們把不能置于同一平面的兩條直線l,l做異面直線;212對(duì)于異面直線a和b，在空間任取一點(diǎn)P，過P分別作a和b的平行線a'和b，我們把a(bǔ)’和b所成的銳角或直角叫做異面直線a和b所成的角；當(dāng)空間兩直線l,l所成的角為直角時(shí)，l和l垂直，記作l±l；當(dāng)l和l12121212所成的角為零角時(shí)，l和l平行或重合;12異面直線之間距離：設(shè)直線a與直線b是異面直線，當(dāng)點(diǎn)M,N分別在a,b上，且直線MN既垂直于直線a，又垂直于直線b時(shí)，我們把直線叫做異面直線a,b的公垂線，垂足M,N之間的距離叫做異面直線a和b的距離；空間直線與平面的位置關(guān)系'直線在平面內(nèi)空間直線與平面的位置關(guān)位4空間直線與平面的位置關(guān)位4直線在平面外相交平行如果直線l與平面a只有一個(gè)公共點(diǎn)A，那么稱直線l與平面a相交于點(diǎn)4或稱A是直線l與平面a的交點(diǎn)，記作如果直線l與平面a直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行；一般地，如果一條直線l與平面a上的任何直線都垂直，那么直線l與平面a垂直，記作l±a，直線l叫做平面a的垂線，l與a的交點(diǎn)叫做垂足；直線與平面垂直的判定定理如果直線l與平面a上的兩條相交直線都垂直，那么直線l與平面a垂直;推論如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面；直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線；推論如果兩條直線同時(shí)垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行；點(diǎn)到平面的距離：設(shè)M是平面a外一點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面a的垂線，垂足為N，我們把點(diǎn)M到垂足N之間的距離叫做點(diǎn)M和平面a的距離；直線到平面的距離：設(shè)直線l平行于平面a，在直線l上任取一點(diǎn)M，我們把點(diǎn)M到平面a的距離叫做直線l和平面a的距離；當(dāng)直線l與平面a相交且不垂直時(shí)，叫做直線l與平面a斜交，直線l叫做平面a的斜線；設(shè)直線l與平面a斜交于點(diǎn)M，過l上任意點(diǎn)A，作平面a的垂線，垂足為。，我們把點(diǎn)O叫做點(diǎn)A在平面a上的射影，直線OM叫做直線l在平面a上的射影，并規(guī)定直線l與其在平面a上的射影OM所成的銳角叫做直線l與平面a所成的角；當(dāng)直線l與平面a垂直時(shí)，它們所成的角為90°；當(dāng)直線l與平面a平行或直線l在平面a上時(shí)，它們所成的角為0°；最小角定理直線和平面所成的角是這條直線和平面內(nèi)任一直線所成的角中最小的角；三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么這條直線也和這條斜線垂直；三垂線逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也和這條斜線的射影垂直；空間平面與平面的位置關(guān)系空間平面與平面的位置關(guān)系（相交［平行對(duì)于空間不同的兩個(gè)平面。,P,如果它們有公共點(diǎn)，即anBw0，那么稱平面。與平面P相交；如果兩個(gè)平面。,P沒有公共點(diǎn)，那么稱平血與平面p平行，記作a//P平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；推論如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行；推論垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么得到的兩條交線互相平行；推論若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則它也垂直于另一個(gè)平面平面到平面的距離：設(shè)平面a平行于平面P，在平面a上任取一點(diǎn)M，我們把點(diǎn)M到平面P的距離叫做平面a和平面p的距離；設(shè)兩個(gè)平面a,p相交于直線AB，AB將a,p別分割成兩個(gè)半平面，由a,p的半平面及其交線AB所組成的空間圖形叫做二面角，記作a-AB-p；交線叫做二面角的棱，兩個(gè)半平面a,p叫做二面角的面;在二面角的棱AB上任取一點(diǎn)。，過O分別在平面a和p上作棱的垂線OM和OW,射線OM和ON所成的角叫做二面角a-AB-P的平面角；若射線OM和ON所成的角為90°，則兩個(gè)平面垂直，記作a±p；平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直；平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面；空間角與距離的計(jì)算（1）異面直線所成角異面直線所成角的范圍（0。,90。1；求異面直線所成的角，主要有兩種方法：平移，將異面直線平移至相交，常用“作平行”和“取中點(diǎn)”的方法；補(bǔ)形，延長異面直線，或者將題中幾何體進(jìn)行添補(bǔ)，然后再平移至相交；（2）直線與平面所成角直線與平面所成角的范圍卜。,90。1求直線與平面所成的角，主要有以下方法：定義法，根據(jù)直線與平面所成角的定義，找斜線及其射影的夾角；垂線法，過直線上某一點(diǎn)作平面的垂線；等體積法，通過幾何體體積相等，求出直線上的點(diǎn)到平面的距離；

（3）二面角的平面角二面角的平面角的范圍［0。,180。］求二面角的平面角，主要有以下方法：定義法，在兩個(gè)半平面中分別作交線的垂線；垂線法，過一個(gè)平面上一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，再作交線的垂線；垂面法，找到一個(gè)與兩個(gè)半平面均垂直的平面，截得的交線所形成的角；等體積法，通過幾何體體積相等，求出直線上的點(diǎn)到平面的距離；S射影法，面積射影定理cosO=-S（4）距離的計(jì)算直線到平面的距離，平面到平面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離；求點(diǎn)到平面的距離，主要有兩種方法：垂線法，過點(diǎn)作平面的垂線，求垂線的長度；等體積法，通過幾何體體積相等，求出高，即點(diǎn)到平面的距離；簡單幾何體平行六面體正極椎表面積、體積圓柱表面職、表面積、表面積、大圓F球面距離斜二測畫法直棱柱、正棱柱表面枳、體積體積圓椎球體體積簡單幾何體平行六面體正極椎表面積、體積圓柱表面職、表面積、表面積、大圓F球面距離斜二測畫法直棱柱、正棱柱表面枳、體積體積圓椎球體體積體積多面體在數(shù)學(xué)中，我們把由平面多邊形（或三角形）圍成的封閉體叫做多面體；構(gòu)成多面體的各平面多邊形（或三角形）叫做多面體的面；其相鄰多邊形（或三角形）的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的交點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)；（1）棱柱如果一個(gè)多面體有兩個(gè)全等的多邊形的面互相平行，且不在這兩個(gè)面上的棱都相互平行，那么這個(gè)多面體叫做棱柱；棱柱的兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側(cè)面；棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱；兩個(gè)底面間的距離叫做棱柱的高；底面是平行四邊形的棱柱有六個(gè)面，且六個(gè)面都是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的側(cè)面都是矩形，直棱柱的高與側(cè)棱的長相等；底面是矩形的直棱柱叫做長方體，所有棱長都相等的長方體叫做正方體；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱；棱柱—側(cè)棱不垂直于底面>斜棱柱—側(cè)棱垂直于底面>直棱柱一底面是正多邊形>正棱柱;四棱柱-底面是平行四邊形f平行六邊形-側(cè)棱垂直于底面f直平行六面體-底面是矩形f長方體底形面形是正形方形形f正四棱柱-棱形長形都相形等f正方體；（2）棱錐如果一個(gè)多面體有一個(gè)多邊形的面，且不在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這個(gè)多面體叫做棱錐；棱錐的多邊形的面叫做棱錐的底面，其他的面叫做棱錐的側(cè)面，棱錐側(cè)面都是三角形；不在底面上的棱叫做棱錐的側(cè)棱；側(cè)棱的公共點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；頂點(diǎn)與底面之間的距離叫做棱錐的高；

角形，正棱錐的高與其頂點(diǎn)到底面中心的距離相等；角形，正棱錐的高與其頂點(diǎn)到底面中心的距離相等；旋轉(zhuǎn)體平面上一條封閉曲線所圍成的區(qū)域繞著它所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；（1）圓柱如圖，將矩形ABCD繞其一邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的的幾何體叫做圓柱；AB所在直線叫做圓柱的軸；線段AD和BC旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；線段CD旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；CD叫做圓柱側(cè)面的一條母線；圓柱的兩個(gè)底面間的距離（即AB的長度）叫做圓柱的高；根據(jù)圓柱的形成過程易知：①圓柱有無窮多條母線，且所有母線都與軸平行;②圓柱有兩個(gè)相互平行的底面；（2）圓錐類似地，將直角三角形乂ABC（及其內(nèi)部）繞其一條直角邊48所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫做圓錐；AB所在直線叫做圓錐的軸；點(diǎn)A叫做圓錐的頂點(diǎn)；直角邊BC旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面；斜邊AC旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面；斜邊AC叫做圓錐側(cè)面的一條母線；圓錐的頂點(diǎn)到底面間的距離叫做圓錐的高；根據(jù)圓錐的形成過程易知：①圓錐有無窮多條母線，且所有母線相交于圓錐的頂點(diǎn)；②每條母線與軸的夾角都相等；

（3）球如圖，將圓心為O的半圓繞其直徑48所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫做球，記作球O;半圓的圓弧所形成的曲面叫做球面，易知，點(diǎn)O到球面上任意點(diǎn)的距離都相等；把點(diǎn)O稱為球心，把原半圓的半徑和直徑分別稱為球的半徑和球的直徑；球面上聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的最短路徑，該路徑的長度就是球面上兩點(diǎn)之間的距離；在聯(lián)結(jié)球面上兩點(diǎn)的路徑中，通過該兩點(diǎn)的大圓劣弧最短，因此該弧的長度就是這兩點(diǎn)的球面距離；任意平面與球面的交線都是圓；3.面積與體積公式我們規(guī)定，當(dāng)平面通過球心時(shí)，所得交線是大圓；當(dāng)平面不通過球心時(shí)，所得交線是小圓；3.面積與體積公式直柱體的表面積：S=S+2S=ch+2S金側(cè)底底（h,c分別為直柱體的高和底面周長）圓柱的表面積：S=S+2S=2兀rh+2兀r2金側(cè)底（h（h,r分別為圓柱的高和底面半徑）1正錐體的表面積：S金二S側(cè)+S底二2ch+S底（h'，c分別為斜高和底面周長）圓錐的表面積：S=S+S=nrh工兀r2（h）分別為母線長和底面半徑）金側(cè)底球的表面積公式：S=4兀r2（r是球的半徑）祖geng原理：體積可看成是由面積疊加而成，用一組平行平面截兩個(gè)空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩空間圖形的體積必然相等；棱柱的體積：V、=Sxh（h為棱柱的高）棱柱底圓柱的體積：V=Sxh=Rr2h（h,r分別為圓柱的高和底面半徑）棱柱底等底等高的三棱錐的體積相等；1棱錐的體積：V、=-xSxh（h為棱錐的高）棱柱3底11圓錐的體積：V=—xSxh=-nr2h（h,r分別為圓錐的高和底面半徑）棱柱3底34球的體積公式：V=4兀r3（r是球的半徑）