最優(yōu)桁架設計

最優(yōu)人字架設計

摘要“人字架的設計”數(shù)學建模的目的是設計最優(yōu)的方法，提出并建立一個達到目的而又最省材料的人字架設計方案。例如，兩個鋼管的直徑和人字架的高度不同，人字架的重量也會不同。機械優(yōu)化設計是適應生產(chǎn)現(xiàn)代化要求發(fā)展起來的一種機械設計方法，包括機械優(yōu)化設計、機械零部件優(yōu)化設計、機械結構參數(shù)和形狀的優(yōu)化設計等諸多內(nèi)容。該領域的研究和應用進展非常迅速，并且取得了可觀的經(jīng)濟效益，在科技發(fā)達國家已將優(yōu)化設計列為科技人員的基本職業(yè)訓練項目。我們基于求取符合條件的最輕桁架，對題目實際情況進行研究和分析，對此問題設計了合適的數(shù)學模型做出了相應的解答和處理。對此問題我們可計算出鋼管的壓應力與其給定的許用壓應力進行比較，它肯定需要滿足小于或等于需用壓應力，列出鋼管重量的公式求其滿足條件的最小值。則需建立三個未知變量，如果代入已知量，利用Matlab或Lingo數(shù)學軟件來求解出最小值，并通過多次驗證和求解，將其直徑和高度精度控制到mm,重量精度控制到kg。關鍵字：最輕的鋼管重量壓應力Matlab或Lingo數(shù)學軟件問題重述一、 問題背景為了解決材料的充分利用問題，節(jié)約可以省下的資源，避免不必要的開支，一種合理、簡化的策略是保證滿足不超過許用的壓應力的前提下，追求最節(jié)省資源，最輕的鋼管選擇方案。二、 基本條件假設人字架由兩個鋼管組成，其頂點受外力2P=3X【的N。已知人字架跨度2L=152cm,鋼管壁厚B=0.25cm，鋼管材料的彈性模量E=2.1X-薩MFC,，材料密度"，許用壓應力:-=420MPa。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及鋼管平均直徑d。2L受力分析圖三、 提出問題建立數(shù)學模型分析如何使得鋼管所受到的壓應力不超過給定的許用壓應力，并且在此前提下得到最輕的鋼管重量。若 ，又應怎樣選取怎樣尺寸的鋼管。四、 問題實質原問題已知鋼管的許用壓應力，并給出了人字架頂點所受的外力2P,人字架跨度2L，鋼管壁厚B,鋼管材料的彈性模量E,材料密度：。并在此條件下，求最輕的鋼管重量。模型假設不考慮接頭處所用材料的重量。不考慮安裝過程中的意外情況，所有工作均可順利進行。符號說明W:所用鋼管的總重量。d:所用鋼管的直徑。h:所用桁架的高度。問題分析對此問題由材料力學相關知識和機械優(yōu)化設計相關知識可知，我們只需滿足鋼管的許用壓應力與及機械常規(guī)通用設計即可。通過利用這些知識我們可以列出一系列的方程組，從而在變量的約束條件下可以確定怎樣選取最輕的鋼管。模型的建立與求解關于此問題的求解過程如下:解：桁桿的截面積：S=桁桿的總重量為：_p_pVl2+I2負載2P在每個桿上的分力為： 為=云？=―I一_%+一于是桿截面的應力為：九=了=_.b/ IfT此應力要求小于材料的屈服極限，即 -.15一圓桿中應力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應力。由材料力學知：穩(wěn)定的臨界壓力ic2E(dz+8勺為疽+1勺由此得到穩(wěn)定約束：另外對直徑d和高度h有限制，其中有 22mm\d\60mm200mmWhW1200mm.由此歸納得到的數(shù)學模型為:min2兀pdB尸由此歸納得到的數(shù)學模型為:min2兀pdB尸~兀dhB<60mm冗2E(d2+B2)—~8(L2+h2)-20mm<d200mm<h<1200mm模型的評價與應用從實際的生活出發(fā)人字架是一些工作過程中必須要用到的工具，在工廠中是必不可少的，但我們?nèi)绾伪ＷC它的安全以及能達到使用的材料最?。醋钶p）是一個急需解決的問題。優(yōu)點：模型使問題變得非常簡單，如此方式進行計算能使材料得到充分運用，并能減少一定的費用，使效益最大化。缺點：該模型在提出的時候將部分因素沒有考慮進來，例如鋼管接頭處使用的一些材料，工作中的一些意外情況等等，使得該模型在實際應用中會缺少精確性。參考文獻【1】劉鴻文主編第五版《材料力學》第九章290-310頁高等教育出版社2012年11月第五次印刷。【2】曹戈 《Matlab教程及實訓》 37-60頁機械工業(yè)出版社2008年5月。【3】鄔學軍周凱《數(shù)學建模競賽輔導教程》 73-96頁浙江大學出版社2009年1月?！?】孫靖民梁迎春《機械優(yōu)化設計》第四版哈工大主編機械工業(yè)出版社2006年12月?！?】陳立周機械優(yōu)化設計方法冶金工業(yè)出版【6】劉惟信機械最優(yōu)化設計清華大學出版社0.3769695E+1550.3769695E+15530ValueReducedCost0.6000000E-010.0000001.2000000.000000SlackorSurplusDualPrice10.43670-1.000000-0.3769695E+150.0000000.8563411E+080.0000000.000000-5851343.0.4000000E-010.0000000.000000-83756.331.0000000.000000附錄1;min=2*3.14*（7.8*10八3）*d*0.0025*（0.76八2+h八2）八（1/2）;4.2*10八8-1.5*10T1*（（0.76八2+h八2）八（1/2））/3.14/d/h/0.0025>=0;（3.14）八2*2.1*10T1*（d八2+0.0025八2）/8/（0.76八2+h八2）-1.5*10八5*（（0.76八2+h八2）八（1/2））/3.14/d/h/0.0025>=0;0.06>=d;d>=0.02;1.