廣東省廣州市海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省廣州市海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某同學(xué)根據(jù)“更相減損術(shù)”設(shè)計(jì)出程序框圖（圖）．若輸入a的值為98，b的值為63，則執(zhí)行該程序框圖輸出的結(jié)果為（）A．0 B．7 C．14 D．21參考答案：B【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】該程序框圖的功能是輸出a與b的最大公約數(shù)，由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的a，b的值，即可得到結(jié)論．【解答】解：輸入a=98，b=63，a＞b，a=35，b=63，b＞a，a=35，b=28，a＞b，a=7，b=28，a＜b，a=7，b=21，a＜b，a=7，b=14，a＜b，a=7，b=7，a=b，輸出a=7，故選：B．2.如圖5，銳角三角形ABC中，以BC為直徑的半圓分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．cosA

B．sinA

C．sin2A

D．cos2A參考答案：D略3.在等比數(shù)列中，=1，=3,則的值是

（

）A．14

B．

C．18

D．20參考答案：B略4.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A

B

C

D參考答案：C5.函數(shù)的值域是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程是：A.

B.C.或

D.或參考答案：C7.若圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條切線(xiàn)，則a＋b的最大值為

()．A．－3

B．－3

C．3

D．3參考答案：D8.（多選題）已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是(

)A.f(x)在R上單調(diào)遞增 B.C.方程有實(shí)數(shù)解 D.存在實(shí)數(shù)k，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解參考答案：BCD【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性得到錯(cuò)誤；判斷得到正確；根據(jù)得到正確；構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)圖象知正確，得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；，根據(jù)單調(diào)性知，正確；，，故方程有實(shí)數(shù)解，正確；，易知當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)有3個(gè)交點(diǎn).綜上所述：存在實(shí)數(shù)，使得方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，正確；故選：.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)值大小，方程解的個(gè)數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.9.已知復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，，則=(

)A.2 B. C. D.1參考答案：D【分析】由復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)且，得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，，則，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算與求模，其中解答熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式和復(fù)數(shù)的表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知空間直角坐標(biāo)系中A（1，1，0）且AB=（4，0，2），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（9，1，4） B．（9，﹣1，﹣4） C．（8，﹣1，﹣4） D．（8，1，4）參考答案：A【考點(diǎn)】共線(xiàn)向量與共面向量；空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】設(shè)出B的坐標(biāo)，利用向量關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)B（x，y，z）∵空間直角坐標(biāo)系中A（1，1，0）且=（4，0，2），所以（x﹣1，y﹣1，z）=（8，0，4）所以x=9，y=1，z=4，B點(diǎn)坐標(biāo)為（9，1，4）故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的平行與相等，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則

.參考答案：（或）12.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為

參考答案：13.一個(gè)圓柱的底面面積是S，其側(cè)面展開(kāi)圖是正方形，那么該圓柱的側(cè)面積為

。參考答案：4πS14.如圖所示，A，B，C是雙曲線(xiàn)﹣=1（a＞0，b＞0）上的三個(gè)點(diǎn)，AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，AC經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，則該雙曲線(xiàn)的離心率是

．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】運(yùn)用直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊的一半，求得A的坐標(biāo)，由對(duì)稱(chēng)得B的坐標(biāo)，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，化簡(jiǎn)整理成離心率e的方程，代入選項(xiàng)即可得到答案．【解答】解：由題意可得在直角三角形ABF中，OF為斜邊AB上的中線(xiàn)，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，設(shè)A（m，n），則m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可設(shè)C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，將C（，﹣）代入雙曲線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系和離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上滿(mǎn)足方程，屬于難題．15.求定積分：

▲

．參考答案：16.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒．當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見(jiàn)紅燈的概率是

．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】本題是一個(gè)那可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長(zhǎng)度為30+5+40秒，滿(mǎn)足條件的事件是紅燈的時(shí)間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到答案．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)那可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長(zhǎng)度為30+5+40=75秒，設(shè)紅燈為事件A，滿(mǎn)足條件的事件是紅燈的時(shí)間為30秒，根據(jù)等可能事件的概率得到出現(xiàn)紅燈的概率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等可能事件的概率，是一個(gè)由時(shí)間長(zhǎng)度之比確定概率的問(wèn)題，這是幾何概型中的一類(lèi)題目，是最基礎(chǔ)的題．17.（理）某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有

種.參考答案：10三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿(mǎn)分16分）等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的,點(diǎn)均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.

（1）求r的值；

（11）當(dāng)b=2時(shí)，記

證明：對(duì)任意的

，不等式成立參考答案：解(1):因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，,

則,

所以

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.①

當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立.②

假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.略19.（本小題10分）若、、均為實(shí)數(shù)，且，，求證：、、中至少有一個(gè)大于0。參考答案：證明：假設(shè)a，b,c都不大于0，

即a≤0,b≤0,c≤0

∴a+b+c≤0

(4分)

∵a+b+c=

=

＞0與上式矛盾

∴a,b,c中至少有一個(gè)大于0

（10分）略20.(本小題滿(mǎn)分10分)在中，角的對(duì)邊分別為且滿(mǎn)足（1）求角的大??；（2）若，求.參考答案：（1）由正弦定理可得：

-------------------------2分

-------5分

------------------------------8分

-------------------------10分21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為（1）求（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：(1)(2)【分析】（1）分別將和代入，聯(lián)立求解，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得到，再得到，兩式作差，得到通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證滿(mǎn)足通項(xiàng)，進(jìn)而得是等比數(shù)列，用求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，時(shí)聯(lián)立（1）（2），得（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，（3）-（4），得當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足該通項(xiàng)，故是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記通項(xiàng)公式以及求和公式即可，屬于?？碱}型.22.已知橢圓=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，該橢圓的離心率為，A是橢圓上一點(diǎn)，AF2⊥F1F2，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AF1的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過(guò)F2的直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足△POQ的面積為，若存在，求直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KL：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)F2（c，0）（c＞0），由橢圓的離心率為，A是橢圓上一點(diǎn)，AF2⊥F1F2，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AF1的距離為．列出方程求出a，b，即可求解橢圓方程．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，化簡(jiǎn)利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，表示出三角形的面積，然后求解直線(xiàn)l的方程．當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，運(yùn)算即可．【解答】解：（1）設(shè)F2（c，0）（c＞0），由得，，∴b=