廣東省廣州市高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省廣州市高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=（）x，a，b∈R+，A=f（），B=f（），C=f（），則A、B、C的大小關(guān)系為（）A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A參考答案：A【考點】4B：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；7F：基本不等式．【分析】先明確函數(shù)f（x）=（）x是一個減函數(shù)，再由基本不等式明確，，三個數(shù)的大小，然后利用函數(shù)的單調(diào)性定義來求解．【解答】解：∵≥≥，又∵f（x）=（）x在R上是單調(diào)減函數(shù)，∴f（）≤f（）≤f（）．故選A2.設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值是（

）A.0 B.1 C. D.3參考答案：B3.下列幾種推理過程是演繹推理的是()A．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇B．金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電C．由圓的性質(zhì)推測球的性質(zhì)D．兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯角相等，如果∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯角，則∠A＝∠B參考答案：D略4.已知復(fù)數(shù)，那么復(fù)數(shù)的虛部為

（

）A. B.

C. 1

D.參考答案：D略5.如果10N的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長6cm，則力所做的功為

A．0.12J

B．0.18J

C．0.26J

D．0.28J

參考答案：B略6.若直線l1：y=x，l2：y=x+2與圓C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四個交點把圓C分成的四條弧長相等，則m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0參考答案：B【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】直線l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四條弧長相等，⊙C可化為（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，當(dāng)m=0，n=1時及當(dāng)m=﹣1，n=0時，滿足條件．【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2與圓C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直線l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四條弧長相等，畫出圖形，如圖所示．又⊙C可化為（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，當(dāng)m=0，n=1時，圓心為（0，1），半徑r=1，此時l1、l2與⊙C的四個交點（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四條弧長相等；當(dāng)m=﹣1，n=0時，圓心為（﹣1，0），半徑r=1，此時l1、l2與⊙C的四個交點（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四條弧長相等；故選：B．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．7.現(xiàn)有四個函數(shù):①;②;③;④的圖象(部分)如下,但順序被打亂,則按照從左到右的順序?qū)?yīng)的函數(shù)序號是（▲）

A．④①②③

B．①④②③

C．①④③②

D．③④②①參考答案：B略8.從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.曲線y=x3+x-2在點P0處的切線平行于直線y=4x，則點P0的坐標(biāo)是（

）

A．(0,1)

B.(1,0)

C.(-1,-4)或（1,0）

D.(-1,-4)參考答案：B略10.函數(shù)的圖象的大致形狀是A. B.C. D.參考答案：A令x=0可得，則排除C、D；,當(dāng)時，，當(dāng)時，，故排除B，本題選擇A選項.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“”是的

.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)參考答案：充要條件∵，∴，整理得．∴“”是“”的充要條件．

12.圓心是，且經(jīng)過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________________;參考答案：略13.方程有三個不同的實根，則的取值范圍是_____________參考答案：略14.如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角∠A1BC1就是異面直線所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求出此角即可得到所求．【解答】解．如圖，連接BC1，A1C1，∠A1BC1是異面直線A1B與AD1所成的角，設(shè)AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，根據(jù)余弦定理可知∠A1BC1的余弦值為，故答案為：．【點評】本題主要考查了異面直線及其所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．15.已知圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑相同，若圓柱M與球O的體積相等，則它們的表面積之比______.（用數(shù)值作答）參考答案：【分析】由已知中圓柱M與球O的體積相等，可以求出圓柱的高與圓柱底面半徑的關(guān)系，進而求出圓柱和球的表面積后，即可得到S圓柱：S球的值．【詳解】∵設(shè)圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑均為R，M的高為h則球的表面積S球＝4πR2又∵圓柱M與球O的體積相等即解得h＝，4πR2＝2πR2+2πR?h則S圓柱＝2πR2+2πR?h=，S球，∴S圓柱：S球，故答案為：.【點睛】本題考查的知識點是球的體積和表面積，圓柱的體積和表面積，其中根據(jù)已知求出圓柱的高，是解答本題的關(guān)鍵．16.已知點在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則

的取值范圍是___________.參考答案：[－4，２]17.已知點P是圓F1上任意一點，點F2與點F1關(guān)于原點對稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點,則點M的軌跡C的方程為

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參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，且橢圓上的點到的距離的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上，是否存在點使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標(biāo)及相對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由．參考答案：

19.如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC與平面PBD所成的角；

參考答案：(1)證明：∵PD⊥底面ABCD，AC底面ABCD∴AC⊥PD，又∵底面ABCD為正方形，

∴AC⊥BD，而PD與BD交于點D，∴AC⊥平面PBD，………… 4分又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD. ……6分 （2）解:記AC與BD相交于O，連結(jié)PO，由（1）知，AC⊥平面PBD，∴PC在平面PBD內(nèi)的射影是PO，∴∠CPO就是PC與平面PBD所成的角，………10分 ∵PD=AD,∴在Rt△PDC中，PC=CD，而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°.即PC與平面PBD所成的角為30°. ………………14分略20.(本小題滿分8分)已知橢圓的兩個焦點，，過且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓相交于，兩點，如果的周長等于．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，，所以，，所以橢圓的方程為.

……………2分（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，則的方程為，

因為點在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓有兩個交點，.由消去得，

……………3分設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系得，，

所以，

……………4分則，，所以＝

＝＝＝＝

……………5分要使上式為定值須，解得，所以為定值.

……………6分當(dāng)直線的斜率不存在時，，由可得，，所以，

……………7分綜上所述當(dāng)時，為定值.

……………8分

略21.已知拋物線的焦點為F，A，B拋物線上的兩動點，且，過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M.（1）證明：為定值；（2）設(shè)的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值．參考答案：（Ⅰ）定值為0；（2）S=，S取得最小值4．分析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得和，根據(jù)曲線4y=x2上任意一點斜率為y′=，可得切線AM和BM的方程，聯(lián)立方程求得交點坐標(biāo)，求得和，進而可求得的結(jié)果為0，進而判斷出AB⊥FM．（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)的關(guān)系式求得k和λ的關(guān)系式，進而求得弦長AB，可表示出△ABM面積．最后根據(jù)均值不等式求得S的范圍，得到最小值．詳解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=﹣1，顯然AB斜率存在且過F（0，1）設(shè)其直線方程為y=kx+1，聯(lián)立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判別式△=16（k2+1）＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4.于是曲線4y=x2上任意一點斜率為y′=，則易得切線AM，BM方程分別為y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，聯(lián)立方程易解得交點M坐標(biāo)，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1）,從而=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命題得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，則x22=，x12=4λ，|FM|=因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=﹣1的距離，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=．于是S=|AB||FM|=，由≥2知S≥4，且當(dāng)λ=1時，S取得最小值4．點睛：本題求S的最值，運用了函數(shù)的方法，這種技巧在高中數(shù)學(xué)里是一種常用的技巧.所以本題先求出S=，再求函數(shù)的定義域，再利用基本不等式求函數(shù)的最值.22.中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時，如果不超過3分鐘，則收取話費0.22元；如果通話時間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費，不足一分鐘按以一分鐘計算。設(shè)通話時間為t（分鐘），通話費用y（元），如何設(shè)計一個程序，計算通話的費用。參考答案：算法分析：數(shù)學(xué)模型實際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù)。關(guān)系式如下：其中t－3表示取不大于t－3的整數(shù)部