材料力學課程論文

關(guān)于剪切模量G、彈性模量E和泊松比v的關(guān)系證明及其應用姓名：學號：班級：摘要：眾所周知,材料力學在工科專業(yè)中發(fā)揮著不可忽視的重要基礎作用,前人們也對此進行了深入的研究和探索，為我們現(xiàn)在的快速計算打下了良好的基礎,胡克定律的發(fā)明極大方便了彈力的計算，而剪切模量、彈性模量和泊松比的發(fā)現(xiàn)也方便了我們對應力的計算，三者關(guān)系的得出更是提升了我們的計算效率。本文首先對剪切模量、彈性模量和泊松比的重要意義進行了說明，然后證明了三者之間的關(guān)系，最后簡要談一些相關(guān)應用。關(guān)鍵詞：剪切模量、彈性模量、泊松比、應用引言:筆者在學習《材料力學》到第四章扭轉(zhuǎn)時，學到了彈性胡克定律:。=E￡,式中。為正應力，E為彈性模量(YounglModulus),t為線應變；泊松比：v=§，式中v為泊松比(Poissorfsratio),勺為橫向線應變，&為軸向線應變；剪切胡克定律：T=Gy,式中T為切應力，Y為切應變，G為切變模量(shearmodulus)o筆者乂看到，對各向同性材料，材料的三個彈性常數(shù)：彈性模量E、泊松比V和切變模量G之間存在下列關(guān)系G=^。但是教材中并沒有給出證明，當時才疏學淺，無法證明，但是筆者當學習到第八章時，有了一些個人見解。刨根問底是筆者的一貫風格，為此，筆者對本公式進行了探討證明。剪切模量是材料常數(shù)，是剪切應力與應變的比值。乂稱切變模量或剛性模量。材料的力學性能指標之一。是材料在剪切應力作用下，在彈性變形比例極限范圍內(nèi)，切應力與切應變的比值。它表征材料抵抗切應變的能力。模量大，則表示材料的剛性強。剪切模量的倒數(shù)稱為剪切柔量，是單位剪切力作用下發(fā)生切應變的量度，可表示材料剪切變形的難易程度。[1]材料在彈性變形階段，其應力和應變成正比例關(guān)系(即符合胡克定律)，其比例系數(shù)稱為彈性模量。彈性模量的單位是達因每平方厘米。[2]泊松比是材料橫向應變與縱向應變的比值的絕對值(即比值的負數(shù))，也叫橫向變形系數(shù)，它是反映材料橫向變形的彈性常數(shù)。[3]位為1,公式符合量綱要求。圖位為1,公式符合量綱要求。圖1平面純剪切應力狀態(tài)單元體下面從公式關(guān)系上進行分析，為方便研究，筆者選擇純剪切平面應力狀態(tài)單元體，如圖1所示。在純剪切應力狀態(tài)下,由于=Txy,=~Txy＞根據(jù)主應力的廣義胡克定律，得主應變1 (1+U)￡1=廳91一U%)=——-——Txy ⑴單元體內(nèi)任意斜面上的線應變公式

&=：（&+勺）+：（勺-勺）cos2a+"xycos2a ⑵￡ ￡ 匕公式（2）推導如下：圖圖2 圖3圖5圖5如圖2,取一微元體，設其邊長分別為dx,dy,角度為a,則可得下式:TOC\o"1-5"\h\z由圖3可知：AL】=sxdxcosa （3）由圖4可知：AL2=^ydysina （4）由圖5可知：AL3=ydxsina （5）由疊加定理和（3）（4）（5）可得，AL=ALi+AL2+AL3,ALsxdxcosa+sydysina+yxydxsinaSa=Is=~ —AS■因為竺=cosa,^=sina。所以ds dssa=sxcosacosa+sysinasina+yxycosasina111=方（&+Sy）+-（￡x-Sy）cos2a+-yxycos2a令a=45°ex=￡y=0,則單元體中45°方向的應變?yōu)閒45-=號 ⑹ Txy=GyxY ⑺因為45°方向是最大主應變方向，所以二者相等，即^45-=￡1 ⑻由(1)、(6)、(7)和(8)可知，色=心2化簡可得2GEEG= 2(1+v)剪切模量G,表征材料抵抗切應變的能力，模量大，則材料的剛性強。在實際工程應用當中，我們都希望材料的剛性強，即能夠抵抗較大的切應變，彈性強，即能夠抵抗較大的正應變。經(jīng)過對相關(guān)資料的查詢，筆者得到了常用材料的剪切模量、彈性模量和泊松比。序號材料名稱彈性模量E/GPa切變模室G/GPa泊松比P1鐐銘鋼、合金鋼20679.380.32碳鋼196?206790.33鑄鋼172?2020.34球墨鑄鐵140?15473?760.35灰鑄鐵、白口鑄鐵113?157440.23?0.276冷拔純銅127487軋制磷青銅113410.32?0.358軋制純銅108390.31—0.349軋制鉉晉銅10839 '0.3510鑄鋁音銅103410.311冷拔黃銅89?9734?360.32?0.4212軋制鋅82310.2713硬鋁合金7026 ;0.314軋制鋁6825?260.32?0.3615鉛1770.4216玻璃5522 J0.2517混褫土14?394.9—15.70.1?0.1818縱紋木材9.8?120.519橫紋木材0.5?0.980.44~0.6420橡膠0.007840.4721電木1.96—2.940.69—2.060.35—0.3822賽曉咯1.71?1.890.69?0.980.423可鍛鑄鐵152246925大理石5526花崗石4827石灰石4128尼龍10101.0729夾布酚醛塑料4—8.830石棉酚醛塑料1.331昂壓聚乙烯0.15?0.2532低壓聚乙烯0.49?0.7833聚丙烯1.32—1.4234硬聚氫乙烯3.14?3.9235聚四氟乙烯1.14—1.42下面談一些關(guān)于剪切和彈性胡克定律的應用。曾經(jīng)風靡一時的《肖申克的救贖》中主角通過一個小錘將一堵墻堅持不懈打穿，看上去似乎不太可能，但是經(jīng)過應用胡可定律結(jié)合軸力分析可以找到墻應力最薄弱的兒個點，打孔后，墻自然會坍塌。同樣，在爆破當中，也應用到了胡克定律，在一個實心大塊混凝土結(jié)構(gòu)上,通過計算得出關(guān)鍵的受力點，然后在這兒個受力點上打孔，放入引爆所需要的最少量的炸藥，進行引爆，引爆的結(jié)果就是會導致混凝土爆炸影響范圍最小，這種爆破方法就是通過精確的計算來決定爆破最好的效果，從而不會影響其他的附近的建筑物。除此之外，在動力機械方面也得到廣泛應用。綜上所述，剪切和彈性胡可定律雖然看上去簡單，但是在理論計算過程中發(fā)揮著彌足輕重的作用，同時，在現(xiàn)今工程中發(fā)揮著不可替代的作用。參考文獻：L1]:白度白科，http：//baike.bnidu.co