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廣東省揭陽市庵埔洪林迎中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中,AB=2,BC=1。5,∠ABC=120°,若使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積是()A、
B、
C、
D、參考答案:D試題分析:依題意可知,旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐,所以O(shè)A=,OB=1所以旋轉(zhuǎn)體的體積:考點(diǎn):組合幾何體的面積、體積問題2.
已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)
()A.
B.
C.或
D.或參考答案:C3.數(shù)列滿足,則的前10項(xiàng)之和為(
)A.
B.
C.
D.ks5u參考答案:B4.已知直線l1:x+2ay﹣1=0,與l2:(2a﹣1)x﹣ay﹣1=0平行,則a的值是()A.0或1 B.1或 C.0或 D.參考答案:C【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系.【分析】先檢驗(yàn)當(dāng)a=0時(shí),是否滿足兩直線平行,當(dāng)a≠0時(shí),兩直線的斜率都存在,由≠,解得a的值.【解答】解:當(dāng)a=0時(shí),兩直線的斜率都不存在,它們的方程分別是x=1,x=﹣1,顯然兩直線是平行的.當(dāng)a≠0時(shí),兩直線的斜率都存在,故它們的斜率相等,由≠,解得:a=.綜上,a=0或,故選:C.5.(
)A.0
B.
C.
D.
參考答案:B6.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=﹣(x∈R),區(qū)間M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},則使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有() A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 無數(shù)多個(gè)參考答案:A考點(diǎn): 集合的相等.專題: 計(jì)算題.分析: 由已知中函數(shù),我們可以判斷出函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,再由區(qū)間M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},我們可以構(gòu)造滿足條件的關(guān)于a,b的方程組,解方程組,即可得到答案.解答: ∵x∈R,f(﹣x)==﹣f(x),∴f(x)為奇函數(shù),∵x≥0時(shí),f(x)==,當(dāng)x<0時(shí),f(x)==1﹣∴f(x)在R上單調(diào)遞減∵函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的值域也為[a,b],則f(a)=b,f(b)=a即﹣,﹣解得a=0,b=0∵a<b使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有0對(duì)故選A點(diǎn)評(píng): 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合相等,函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,其中根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),構(gòu)造出滿足條件的關(guān)于a,b的方程組,是解答本題的關(guān)鍵.7.在三棱柱中,已知,,此三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則球的體積為(
)A. B.
C.
D.參考答案:A8.已知向量,下列結(jié)論中不正確的是(
)A.∥B.⊥C.||=||D.|+|=|-|參考答案:A9.若a=20.5,b=logπ3,c=ln,則()A.b>c>a B.b>a>c C.a(chǎn)>b>c D.c>a>b參考答案:C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【解答】解:∵a=20.5,>1,0<b=logπ3<1,c=ln<0,∴a>b>c.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.10.在△ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若,則為(
)A. B. C. D.參考答案:C試題分析:,則有,則有,即,即,則有,即,因?yàn)?,所以,故有,解得,因?yàn)?,所以,故選C.考點(diǎn):1.正弦定理;2.邊角互化
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足|z|﹣=2+4i(為z的共軛復(fù)數(shù)),則z=
.參考答案:3+4i.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模.【分析】設(shè)z=a+bi,a,b∈R,復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)的概念,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件,解方程可得a,b,進(jìn)而得到所求復(fù)數(shù).【解答】解:設(shè)z=a+bi,a,b∈R,復(fù)數(shù)z滿足|z|﹣=2+4i,即為﹣(a﹣bi)=2+4i,可得b=4且﹣a=2,解得a=3,b=4.即有z=3+4i,故答案為:3+4i.12.函數(shù)的反函數(shù)是.參考答案:4﹣x2(x≥0)【考點(diǎn)】反函數(shù).【專題】計(jì)算題;定義法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】先確定原函數(shù)的值域[0,+∞),這是其反函數(shù)的定義域,再從原式中分離x,最后交換x,y得到函數(shù)的反函數(shù)f﹣1(x).【解答】解:根據(jù)求反函數(shù)的步驟,先求函數(shù)的值域,顯然函數(shù)的值域?yàn)閥∈[0,+∞),這是其反函數(shù)的定義域,再將函數(shù)式兩邊同時(shí)平方,y2=4﹣x,即x=4﹣y2,再交換x,y得到函數(shù)的反函數(shù)f﹣1(x)=4﹣x2(x≥0),故答案為:4﹣x2(x≥0).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反函數(shù)的求法,涉及函數(shù)值域的確定以及原函數(shù)與反函數(shù)定義域與值域間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)函數(shù)f(x)=,則f(f(3))=.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)的值.【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域先求出f(3),再求出f(f(3)),注意定義域;【解答】解:∵函數(shù),3>1∴f(3)=,∴f()=()2+1=+1=,故答案為;14.給出下列命題:①存在實(shí)數(shù),使;②若是第一象限角,且,則;③函數(shù)是偶函數(shù);④函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.其中正確命題的序號(hào)是____________.(把正確命題的序號(hào)都填上)參考答案:③解析:對(duì)于①,;對(duì)于②,反例為,雖然,但是
對(duì)于③,
15.一個(gè)三位數(shù)字的密碼鍵,每位上的數(shù)字都在到這十個(gè)數(shù)字中任選,某人忘記后一個(gè)號(hào)碼,那么此人開鎖時(shí),在對(duì)好前兩位數(shù)碼后,隨意撥動(dòng)最后一個(gè)數(shù)字恰好能開鎖的概率為參考答案:0.1略16.已知||=1,||=2,若∠BAC=60°,則||=_____參考答案:17.定義映射f:nf(n)(nN+)如下表:n1234…nf(n)24711…f(n)若f(n)=5051,則n=____________.參考答案:101三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知集合A={},集合B={,},且A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
參考答案:解:………………(4分)
……(8分)又∵A∪B=A,∴B?A…………(10分)∴a≥2∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,+∞)…………(12分)
19.(14分)如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中(1)求證:AC⊥平面B1D1DB;(2)求三棱錐B﹣ACB1的體積.參考答案:考點(diǎn): 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;直線與平面垂直的判定.專題: 計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離.分析: (1)利用線面垂直的判定定理,即可證明AC⊥平面B1D1DB;(2)利用等體積轉(zhuǎn)化,即可求三棱錐B﹣ACB1的體積.解答: (1)證明:∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴BB1⊥AC
(3分)在正方形ABCD中,AC⊥BD,(5分)∵BB1∩BD=B,∴AC⊥平面B1D1DB;
(7分)(2)三棱錐B﹣ACB1的體積=三棱錐C﹣ABB1的體積=×CB×=(14分)點(diǎn)評(píng): 本題考查線面垂直的判定定理,考查等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐B﹣ACB1的體積,屬于中檔題.20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an﹣2(n=1,2,3…),數(shù)列{bn}中,b1=1,點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線y=x+2上. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式an和bn; (2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn,并求滿足Tn<167的最大正整數(shù)n. 參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式;數(shù)列與不等式的綜合. 【分析】(1)兩式作差即可求數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系,找到規(guī)律即可求出通項(xiàng);對(duì)于數(shù)列{bn},直接利用點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線y=x+2上,代入得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列即可求通項(xiàng); (2)先把所求結(jié)論代入求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng),再利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求出其各項(xiàng)的和,然后解不等式即可. 【解答】解:Sn=2an﹣2,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,又Sn﹣Sn﹣1=an,(n≥2,n∈N*) . ∴. ,∴ ∴an=2n ∵點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線y=x+2上,∴bn+1=bn+2∴bn+1﹣bn=2,即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,又b1=1,∴bn=2n﹣1 (2)∵cn=(2n﹣1)2n,∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n﹣1)2n, ∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1因此:﹣Tn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)﹣(2n﹣1)2n+1 即:﹣Tn=1×2+(23+24+…+2n+1)﹣(2n﹣1)2n+1∴Tn=(2n﹣3)2n+1+6 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法.錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列.屬于中檔題. 21.在等差數(shù)列中,d=2,n=15,求及參考答案:解:(1)由題:=略22.某機(jī)械生產(chǎn)廠家每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái)),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)=,假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉,請(qǐng)完成下列問題:(Ⅰ)寫出利潤(rùn)函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤(rùn)=銷售收入﹣總成本);(Ⅱ)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?參考答案:【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型.【分析】(Ⅰ)根據(jù)利潤(rùn)=銷售收入﹣總成本,可得利潤(rùn)函數(shù)y=f(x)的解析式;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中函數(shù)解析式,分段求最值,即可得出結(jié)論.【解答】解:(Ⅰ)由題意得G(x)=2.8+x
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