廣東省梅州市寧塘中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣東省梅州市寧塘中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則等于A.

B.

C.

D.參考答案：B依題意，得因?yàn)?，所以，即，故?shù)列等差數(shù)列；又由，，可得.所以數(shù)列等差數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列.所以即，故，故，，故，答案為B.2.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.參考答案：D分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．3.已知向量，，則（

）A． B．

C．

D．參考答案：B4.一定是（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形參考答案：B略5.已知三個(gè)命題：①關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；②關(guān)于的不等式對(duì)于任意的恒成立；③函數(shù)在上單調(diào)遞減.如果上述三個(gè)命題中兩真一假，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．

．

．

w．參考答案：D6.已知，若的充分條件，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：D略7.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，3}，則A(B)為

(A){3}

(B){0，2}

(C)

(D){1，4}參考答案：D略8.等差數(shù)列中，，則（

）A．

B．

C．5

D．參考答案：D9.已知向量=(3，1)，=(﹣1，3)，=m﹣n（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，則的取值范圍是（）A． [，2]

B．[，2] C．[，]

D．[，2]參考答案：B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的計(jì)算公式可得=，可以令t=，將m+n∈[1，2]的關(guān)系在直角坐標(biāo)系表示出來(lái)，分析可得t=表示區(qū)域中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）的距離，進(jìn)而可得t的取值范圍，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），則==，令t=，則=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐標(biāo)系表示如圖，t=表示區(qū)域中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）的距離，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故選：B．10.函數(shù)的大致圖象是(

)

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程的解

.參考答案：12.規(guī)定滿(mǎn)足“f（﹣x）=﹣f（x）”的分段函數(shù)叫“對(duì)偶函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=是對(duì)偶函數(shù)，則（1）g（x）=﹣x2+4x．（2）若f[﹣]＞0對(duì)于任意的n∈N°都成立，則m的取值范圍是．參考答案：m＜5考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專(zhuān)題：新定義．分析：（1）先設(shè)設(shè)x＜0，則﹣x＞0，代入解析式求出f（﹣x），再由題意f（﹣x）=﹣f（x），求出g（x）；（2）由（1）求出的解析式，分別求出函數(shù)值的范圍，進(jìn)而把條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的n∈N°恒成立問(wèn)題，即對(duì)于任意的n∈N°恒成立問(wèn)題，分離常數(shù)m并把和式展開(kāi)，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出此式子的最小值即可．解答：解：（1）由題意設(shè)x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣4x，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+4x，（2）由（1）得，，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4＜0，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+4x=（x+2）2﹣4≥0，∵對(duì)于任意的n∈N°恒成立，∴條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的n∈N°恒成立，即m＜10×=10（）對(duì)于任意的n∈N°成恒立，令y=10（），即求y的最小值，則y=10×[（1）+（）+…+（﹣）]=10（1﹣），∵1﹣≥1﹣=，∴y的最小值為5．綜上可得，m＜5．故答案為：﹣x2+4x；m＜5．點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)新定義為背景考查了恒成立問(wèn)題，求和符號(hào)的展開(kāi)，分離常數(shù)法和裂項(xiàng)相消法求和等，難度較大，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．13.已知圓心在x軸上，半徑為的圓位于y軸右側(cè)，且截直線x+2y=0所得弦的長(zhǎng)為2，則圓的方程為

．參考答案：（x﹣2）2+y2=5

【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心的坐標(biāo)為（a，0），則圓的方程為（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得圓心到直線x+2y=0的距離，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，將a的值代入圓的方程可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為（a，0），則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），則圓心到直線x+2y=0的距離d==a，又由該圓截直線x+2y=0所得弦的長(zhǎng)為2，則有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，則a=2，故要求圓的方程為（x﹣2）2+y2=5，故答案為：（x﹣2）2+y2=5．14.已知冪函數(shù)的圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是___

．參考答案：1或2

略15.若等比數(shù)列{an}的公比為2，且a3﹣a1=6，則++…+=

．參考答案：1﹣【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】等比數(shù)列{an}的公比為2，且a3﹣a1=6，可得a1（22﹣1）=6，解得a1．可得an=2n．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：等比數(shù)列{an}的公比為2，且a3﹣a1=6，∴a1（22﹣1）=6，解得a1=2．∴an=2n．則++…+=+…+==1﹣．故答案為：1﹣．16.集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，則A∩B=．參考答案：{2，3，4}【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】解關(guān)于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，則A∩B={2，3，4}；故答案為：{2，3，4}．17.已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，則|+|=．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】由⊥，求出=（2，﹣1），再由不、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求出=（3，1），由此能求出||．【解答】解：∵向量=（1，2），=（λ，﹣1），⊥，∴?=λ﹣2=0，解得λ=2．∴=（2，﹣1），=（3，1），∴||==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)和平面向量坐標(biāo)運(yùn)算公式的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分14分)圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔、與橋面垂直，通過(guò)測(cè)量得知，，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，.（1）求的長(zhǎng)；（2）試問(wèn)在線段的何處時(shí)，達(dá)到最大.圖1參考答案：(1)設(shè)，，，則，，由題意得，，解得.………6分（2）設(shè)，則，，，………8分，，即為銳角，令19.已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）利用二倍角的余弦降冪化積，則函數(shù)的最小正周期可求；（2）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的最值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=====．∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，則2x﹣∈[]，∴[]．故f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值分別為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角函數(shù)值域的求法，運(yùn)用輔助角公式化簡(jiǎn)是解答該題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．20.已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC、BD過(guò)原點(diǎn)O，若,

(i)求的最值.(ii)求四邊形ABCD的面積；參考答案：解：(1)由題意，，又，…………2分解得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.………4分(2)設(shè)直線AB的方程為，設(shè)聯(lián)立，得

----------①

………6分

=

……8分(i)

當(dāng)k=0(此時(shí)滿(mǎn)足①式),即直線AB平行于x軸時(shí)，的最小值為-2.又直線AB的斜率不存在時(shí)，所以的最大值為2.……………10分(ii)設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則.

即,四邊形ABCD的面積為…………12分

略21.某校為了解2015屆高三畢業(yè)班準(zhǔn)備考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，對(duì)他們的體重進(jìn)行了測(cè)量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：4，其中第二小組的頻數(shù)為11．（Ⅰ）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；（Ⅱ）若經(jīng)該學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任選3人，設(shè)X表示體重超過(guò)60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望與方差．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為n，前三個(gè)小組的頻率為p1，p2，p3，由已知求出，由此能求出n．（Ⅱ）一個(gè)報(bào)考學(xué)生的體重超過(guò)60公斤的概率為：p=，由題意知X服從二項(xiàng)分布，即：X～B（3，），能求出EX和DX．【解答】（本小題滿(mǎn)分12分）解：（Ⅰ）設(shè)該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為n，前三個(gè)小組的頻率為p1，p2，p3，則，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一