高中數(shù)學(xué)北師大版1第一章直線多邊形圓 公開(kāi)課

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(四)§2.圓與直線圓周角定理(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.如圖1-2-14，在⊙O中，∠BOC＝50°，則∠A的大小為()圖1-2-14° °° °【解析】由圓周角定理得∠A＝eq\f(1,2)∠BOC＝25°.【答案】A2.如圖1-2-15，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，則∠OCD的度數(shù)是()圖1-2-15° °° °【解析】連接OB.因?yàn)椤螦＝50°，所以弦BC所對(duì)的圓心角∠BOC＝100°，∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°.【答案】A△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2eq\r(3)，則此三角形外接圓半徑為()\r(3) \r(3) 【解析】由推論2知AB為Rt△ABC的外接圓的直徑，又AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4，故外接圓半徑r＝eq\f(1,2)AB＝2.【答案】B4.如圖1-2-16，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，則tan∠BPD等于()圖1-2-16\f(3,4) \f(4,3)\f(5,3) \f(\r(7),3)【解析】連接BD，則∠BDP＝90°.∵△CPD∽△APB，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(3,4).在Rt△BPD中，cos∠BPD＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(3,4)，∴tan∠BPD＝eq\f(\r(7),3).【答案】D5.如圖1-2-17所示，圓O上一點(diǎn)C在直線AB上的射影為D，CD＝4，BD＝8，則圓O的半徑等于()圖1-2-17 【解析】∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴由射影定理可知，CD2＝AD·BD.∴42＝8AD，∴AD＝2.∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10.∴圓O的半徑為5.【答案】D二、填空題6.如圖1-2-18所示，AB是⊙O的直徑，D是eq\o(\s\up10(︵),AE)的中點(diǎn)，∠ABD＝20°，則∠BCE＝________(答案用數(shù)值表示).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990017】圖1-2-18【解析】連接AD，DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是eq\o(\s\up10(︵),AE)的中點(diǎn)，∴∠DAC＝∠DEA＝20°.又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DCA＝70°，∴∠BCE＝70°.【答案】70°7.如圖1-2-19，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點(diǎn)P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APD＝__________.圖1-2-19【解析】由于AB為⊙O的直徑，則∠ADP＝90°，所以△APD是直角三角形.則sin∠APD＝eq\f(AD,AP)，cos∠APD＝eq\f(PD,AP)，由題意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝BAP，所以△PCD∽△PBA.所以eq\f(PD,AP)＝eq\f(CD,AB)，又AB＝3，CD＝1，則eq\f(PD,AP)＝eq\f(1,3).∴cos∠APD＝eq\f(1,3).又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，∴sin∠APD＝eq\f(2\r(2),3).【答案】eq\f(2\r(2),3)8.如圖1-2-20所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，則△ABC的周長(zhǎng)是__________.圖1-2-20【解析】由圓周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.∴AB＝BC.∴△ABC為等邊三角形.∴周長(zhǎng)等于9.【答案】9三、解答題9.如圖1-2-21，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，求BP長(zhǎng).圖1-2-21【解】連接CP，∵AC為圓的直徑，∴∠CPA＝90°，即CP⊥AB.又∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可知AC2＝AP·AB.∴AP＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(36,10)＝.∴BP＝AB－AP＝10－＝.10.如圖1-2-22，△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.圖1-2-22(1)證明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AD·AE，求∠BAC的大小.【解】(1)證明：由已知條件可得∠BAE＝∠CAD.因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因?yàn)椤鰽BE∽△ADC，所以eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，即AB·AC＝AD·AE.又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC，且S△ABC＝eq\f(1,2)AD·AE，所以AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.則sin∠BAC＝1.又∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°.能力提升]1.在⊙O中，∠AOB＝84°，則弦AB所對(duì)的圓周角是()° °° °或138°【解析】借助圓形和圓周角定理可知，弦AB所對(duì)的圓周角有兩種情況，即為42°或138°.【答案】D2.如圖1-2-23，AC是⊙O的直徑，AB、CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，如果∠BAC＝32°，那么∠AOD＝()圖1-2-23° °° °【解析】∵AB∥CD，∴eq\o(\s\up10(︵),AD)＝eq\o(\s\up10(︵),BC).又∵∠BAC＝32°，∴eq\o(\s\up10(︵),BC)的度數(shù)為64°.∴∠AOD＝64°.【答案】D3.如圖1-2-24，在等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若∠BAC＝50°，則eq\o(\s\up10(︵),EF)的度數(shù)為_(kāi)_________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990018】圖1-2-24【解析】連接AF.∵AC為⊙O的直徑，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAF＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°.∴eq\o(\s\up10(︵),EF)的度數(shù)為50°.【答案】50°4.如圖1-2-25所示，已知△ABC內(nèi)接于圓，D為eq\o(\s\up10(︵),BC)中點(diǎn)，連接AD交BC于E.圖1-2-25求證：(1)eq\f(AE,EC)＝eq\f(BE,ED)；(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.【證明】(1)連接CD.∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴△ABE∽△CDE，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(BE,ED).(2)連接BD.∵eq\f(AE,EC)＝eq\f(BE,DE)，∴AE·ED＝BE·EC，∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE＝AE(AE＋