初中數學北師大版八年級上冊第七章平行線的證明“衡水賽”一等獎

第7章平行線的證明一、選擇題（共14小題）1．如圖，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（）A．120° B．130° C．140° D．40°2．如圖，直線a，b與直線c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，則∠4的度數是（）A．35° B．70° C．90° D．110°3．如圖，直線a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直線b，c，d交于一點，若∠1=50°，則∠2=（）A．60° B．50° C．40° D．30°4．如圖所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，則∠4等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，則△ABC的形狀是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形6．下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A． B． C． D．7．直線a、b、c、d的位置如圖所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58° B．70° C．110° D．116°8．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，則∠4的度數為（）A．55° B．60° C．70° D．75°9．如圖，直線a，b與直線c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，則∠4=（）A．70° B．80° C．110° D．100°10．如圖，∠1=∠2，∠3=30°，則∠4等于（）A．120° B．130° C．145° D．150°11．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC=42°，∠A=60°，則∠BFC=（）A．118° B．119° C．120° D．121°12．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，則∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°13．如圖，小聰把一塊含有60°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上，并測得∠1=25°，則∠2的度數是（）A．15° B．25° C．35° D．45°14．如圖AB∥CD，AC⊥BC，圖中與∠CAB互余的角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（共16小題）15．如圖，∠1=∠2，∠A=60°，則∠ADC=度．16．如圖，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，則∠3=°．17．如圖，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，則∠4=．18．如圖，AB∥CD，∠1=60°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2=度．19．如圖，點B，C，E，F(xiàn)在一直線上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，則∠D=度．20．如右圖，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，則∠A=．21．如圖，已知∠1=∠2，∠3=73°，則∠4的度數為度．22．如圖△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，若∠1=155°，則∠B的度數為．23．如圖，一個含有30°角的直角三角形的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，若∠1=25°，則∠2=．24．如圖，一束平行太陽光線照射到正五邊形上，則∠1=．25．如圖，a∥b，∠1=70°，∠2=50°，∠3=°．26．如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，則∠B=°．27．如圖，AB∥CD，∠BAF=115°，則∠ECF的度數為°．28．如圖，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，則∠ACD=度．29．如圖，四邊形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=°．30．如圖，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC=．

第7章平行線的證明參考答案與試題解析一、選擇題（共14小題）1．如圖，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（）A．120° B．130° C．140° D．40°【考點】平行線的判定與性質．【分析】首先根據同位角相等，兩直線平行可得a∥b，再根據平行線的性質可得∠3=∠5，再根據鄰補角互補可得∠4的度數．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=40°，∴∠5=40°，∴∠4=180°﹣40°=140°，故選：C．【點評】此題主要考查了平行線的性質與判定，關鍵是掌握同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．2．如圖，直線a，b與直線c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，則∠4的度數是（）A．35° B．70° C．90° D．110°【考點】平行線的判定與性質．【分析】首先根據∠1=∠2，可根據同位角相等，兩直線平行判斷出a∥b，可得∠3=∠5，再根據鄰補角互補可以計算出∠4的度數．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=70°，∴∠5=70°，∴∠4=180°﹣70°=110°，故選：D．【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質，關鍵是掌握平行線的判定定理與性質定理，平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系3．如圖，直線a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直線b，c，d交于一點，若∠1=50°，則∠2=（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考點】平行線的判定與性質．【分析】先根據對頂角相等得出∠3，然后判斷a∥b，再由平行線的性質，可得出∠2的度數．【解答】解：∵∠1和∠3是對頂角，∴∠1=∠3=50°，∵c⊥a，c⊥b，∴a∥b，∵∠2=∠3=50°．故選：B．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握兩直線平行內錯角相等，對頂角相等．4．如圖所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，則∠4等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°【考點】平行線的判定與性質．【分析】首先證明a∥b，再根據兩直線平行同位角相等可得∠3=∠6，再根據對頂角相等可得∠4．【解答】解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°，∴∠2=∠5，∴a∥b，∴∠3=∠6=100°，∴∠4=100°．故選：D．【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質，關鍵是掌握兩直線平行同位角相等．5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，則△ABC的形狀是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【考點】三角形內角和定理．【分析】根據在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度數，進而得出結論．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，、∴△ABC是直角三角形．故選：C．【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．6．（2023?揚州）下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A． B． C． D．【考點】平行線的判定與性質．【分析】根據平行線的性質求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應用．【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°，故A錯誤；B、∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=∠3，∴∠1=∠2，故B正確；C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，若AC∥BD，可得∠1=∠2；故C錯誤；D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，故D錯誤．故選：B．【點評】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是掌握平行線的判定定理．同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．7．直線a、b、c、d的位置如圖所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58° B．70° C．110° D．116°【考點】平行線的判定與性質．【分析】根據同位角相等，兩直線平行這一定理可知a∥b，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可解答．【解答】解：∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，∴∠4=∠5=110°，故選C．【點評】本題主要考查了平行線的判定和性質，對頂角相等，熟記定理是解題的關鍵．8．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，則∠4的度數為（）A．55° B．60° C．70° D．75°【考點】平行線的判定與性質．【分析】利用平行線的性質定理和判定定理，即可解答．【解答】解：如圖，∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5=125°，∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣125°=55°，故選：A．【點評】此題考查了平行線的性質和判定定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．9．如圖，直線a，b與直線c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，則∠4=（）A．70° B．80° C．110° D．100°【考點】平行線的判定與性質．【分析】根據同位角相等，兩直線平行這一定理可知a∥b，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可解答．【解答】解：∵∠3=∠5=110°，∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠4+∠5=180°，∴∠4=70°，故選A．【點評】本題主要考查了平行線的判定和性質，對頂角相等，熟記定理是解題的關鍵．10．如圖，∠1=∠2，∠3=30°，則∠4等于（）A．120° B．130° C．145° D．150°【考點】平行線的判定與性質．【專題】計算題．【分析】由∠1=∠2，利用同位角相等兩直線平行得到a與b平行，再由兩直線平行同位角相等得到∠3=∠5，求出∠5的度數，即可求出∠4的度數．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠5=∠3=30°，∴∠4=180°﹣∠5，=150°，故選D【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．11．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC=42°，∠A=60°，則∠BFC=（）A．118° B．119° C．120° D．121°【考點】三角形內角和定理．【分析】由三角形內角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分線的性質得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的內角和定理得結果．【解答】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分線，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故選：C．【點評】本題主要考查了三角形內角和定理和角平分線的性質，綜合運用三角形內角和定理和角平分線的性質是解答此題的關鍵．12．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，則∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°【考點】三角形內角和定理．【分析】首先根據∠A：∠B：∠C=3：4：5，求出∠C的度數占三角形的內角和的幾分之幾；然后根據分數乘法的意義，用180°乘以∠C的度數占三角形的內角和的分率，求出∠C等于多少度即可．【解答】解：180°×==75°即∠C等于75°．故選：C．【點評】此題主要考查了三角形的內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的內角和是180°．13．如圖，小聰把一塊含有60°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上，并測得∠1=25°，則∠2的度數是（）A．15° B．25° C．35° D．45°【考點】平行線的性質．【專題】壓軸題．【分析】先根據兩直線平行，內錯角相等求出∠3，再根據直角三角形的性質用∠2=60°﹣∠3代入數據進行計算即可得解．【解答】解：∵直尺的兩邊互相平行，∠1=25°，∴∠3=∠1=25°，∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°．故選C．【點評】本題考查了平行線的性質，三角板的知識，比較簡單，熟記性質是解題的關鍵．14．如圖AB∥CD，AC⊥BC，圖中與∠CAB互余的角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】平行線的性質；余角和補角；對頂角、鄰補角．【分析】兩角互余，則兩角之和為90°，此題的目的在于找出與∠CAB的和為90°的角，根據平行線的性質及對頂角相等作答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，設∠ABC的對頂角為∠1，則∠ABC=∠1，又∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°，因此與∠CAB互余的角為∠ABC，∠BCD，∠1．故選C．【點評】此題考查的知識點為：平行線的性質，兩角互余和為90°，對頂角相等．二、填空題（共16小題）15．如圖，∠1=∠2，∠A=60°，則∠ADC=120度．【考點】平行線的判定與性質．【分析】由已知一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到AB與DC平行，再利用兩直線平行同旁內角互補，由∠A的度數即可求出∠ADC的度數．【解答】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案為：120°【點評】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．16．如圖，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，則∠3=110°．【考點】平行線的判定與性質．【分析】根據對頂角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，兩直線平行得出AB∥CD，再利用平行線的性質解答即可．【解答】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，∴∠1=∠MEN，∴AB∥CD，∴∠3+∠BMN=180°，∵MN平分∠EMB，∴∠BMN=，∴∠3=180°﹣70°=110°．故答案為：110．【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，是基礎題，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．17．如圖，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，則∠4=63°30′．【考點】平行線的判定與性質．【分析】根據∠1=∠2可以判定a∥b，再根據平行線的性質可得∠3=∠5，再根據鄰補角互補可得答案．【解答】解：∵∠1=40°，∠2=40°，∴a∥b，∴∠3=∠5=116°30′，∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′，故答案為：63°30′．【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質，關鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．18．如圖，AB∥CD，∠1=60°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2=30度．【考點】平行線的性質；角平分線的定義．【分析】根據平行線的性質得到∠EFD=∠1，再由FG平分∠EFD即可得到．【解答】解：∵AB∥CD∴∠EFD=∠1=60°又∵FG平分∠EFD．∴∠2=∠EFD=30°．【點評】本題主要考查了兩直線平行，同位角相等．19．如圖，點B，C，E，F(xiàn)在一直線上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，則∠D=36度．【考點】平行線的性質；三角形內角和定理．【分析】根據兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠B，∠DEC=∠F，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．【解答】解：∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°﹣∠DCE﹣∠DEC=180°﹣72°﹣72°=36°．故答案為：36．【點評】本題考查了兩直線平行，同位角相等的性質，三角形的內角和定理，是基礎題，熟記性質與定理是解題的關鍵．20．如右圖，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，則∠A=55°．【考點】平行線的性質．【專題】計算題．【分析】由AB與CD平行，利用兩直線平行得到一對同位角相等，求出∠EFD的度數，而∠EFD為三角形ECF的外角，利用外角性質即可求出∠EFD的度數，即為∠A的度數．【解答】解：∵∠EFD為△ECF的外角，∴∠EFD=∠C+∠E=55°，∵CD∥AB，∴∠A=∠EFD=55°．故答案為：55°【點評】此題考查了平行線的性質，以及三角形的外角性質，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵．21．如圖，已知∠1=∠2，∠3=73°，則∠4的度數為107度．【考點】平行線的判定與性質．【專題】計算題．【分析】根據已知一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到a與b平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到一對角互補，再利用對頂角相等即可確定出∠4的度數．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠5+∠3=180°，∵∠4=∠5，∠3=73°，∴∠4+∠3=180°，則∠4=107°．故答案為：107【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．22．（2023?南昌）如圖△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，若∠1=155°，則∠B的度數為65°．【考點】平行線的性質；直角三角形的性質．【專題】探究型．【分析】先根據平角的定義求出∠EDC的度數，再由平行線的性質得出∠C的度數，根據三角形內角和定理即可求出∠B的度數．【解答】解：∵∠1=155°，∴∠EDC=180°﹣155°=25°，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=25°，∵△ABC中，∠A=90°，∠C=25°，∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．故答案為：65°．【點評】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，內錯角相等．23．如圖，一個含有30°角的直角三角形的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，若∠1=25°，則∠2=115°．【考點】平行線的性質．【分析】將各頂點標上字母，根據平行線的性質可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，從而可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案為：115°．【點評】本題考查了平行線的性質，解答本題的關鍵是掌握平行線的性質：兩直線平行內錯角相等．24．如圖，一束平行太陽光線照射到正五邊形上，則∠1=30°．【考點】平行線的性質；多邊形內角與外角．【分析】作出平行線，根據兩直線平行：內錯角相等、同位角相等，結合三角形的內角和定理，即可得出答案．【解答】解：作出輔助線如圖：則∠2=42°，∠1=∠3，∵五邊形是正五邊形，∴一個內角是108°，∴∠3=180°﹣∠2﹣∠3=30°，∴∠1=∠3=30°．故答案為：30°．【點評】本題考查了平行線的性質，注意掌握兩直線平行：內錯角相等、同位角相等．25．如圖，a∥b，∠1=70°，∠2=50°，∠3=60°．【考點】平行線的性質．【專題】探究型．【分析】先根據平行線的性質求出∠4的度數，再由平角的性質求出∠3的度數即可．【解答】解：∵a∥b，∠1=70°，∴∠4=∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=180°﹣70°﹣50°=60°．故答案為：60．【點評】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．26．如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，則∠B=50°．【考點】平行線的性質．【分析】由∠BAC=80°，可得出∠EAC的度數，由AD平分∠EAC，可得出∠EAD的度數，再由AD∥BC，可得出∠B的度數．【解答】解：∵∠BAC=80°，∴∠EAC=100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC=50°，∵AD∥BC，∴∠B=∠EAD=50°．故答案為：50．【點評】本題考查了平行線的性質，解答本題的關鍵是掌握角平分線的性質及平行線的性質：兩直線平行內錯角、同位角相等，同旁內角互補．27．如圖，AB∥CD，∠BAF=115°，則∠ECF的度數為65°．【考點】平行線的性質．【分析】先根據平角的定義求出∠BAC的度數，再根據平行線的性質即可得出結論．【解答】解：∵∠BAF=115°，∴∠BAC=180°﹣115°=65°，∵AB∥CD，∴∠ECF=∠BAC=65°．故答案為：65．【點評】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，內錯角相等．28．如圖，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，則∠ACD=60度．【考點】平行線的性質．【專題】壓軸題．【分析】根據AB∥CD，可得∠BCD=∠B=30