人教版高數(shù)必修五第1講正弦定理和余弦定理(學生版)

正弦定理和余弦定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教課要點：掌握正弦定理和余弦定理的觀點，定義，公式的變形應(yīng)用教課難點：公式的變形，解直角三角形的應(yīng)用邊與角之間的關(guān)系及變形，判斷三角形的形狀1、正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即ABC中，若A,B,C所對的邊分別為a,b,c則____________2、解三角形一般地，我們把三角形的三個角及其________分別叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其余元素的過程叫做解三角形。利用正弦定理能夠解決以下兩類解三角形問題：（1）已知三角形的隨意兩角與一邊，求其余邊和角，有__________解；（2）已知三角形的兩邊與此中一邊的對角，求其余的邊和角。3、正弦定理的常有公式拓展：abc2R（R為ABC的外接圓半徑）①sinCsinAsinB②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（邊化角公式）③sinAa,sinBb,sinCc2R2R2R

(角化邊公式)1a:b:csinA:sinB:sinCabbcca2R⑤sinBsinBsinCsinCsinAsinAabc2R⑥sinBsinCsinA4、余弦定理①定理：三角形任何一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。②定義式：________________________5、余弦定理的變形式和特例①cosCa2b2c2,cosBc2a2b2,cosAb2c2a22ab2ac2bc②C90oc2a2b2③C60oc2a2b2ab④C120oc2a2b2ab⑤C30oc2a2b23ab⑥C45oc2a2b22ab6、余弦定理能夠解決的兩類三角形問題1）已知三邊長，求三個內(nèi)角；2）已知兩邊長和它們的夾角，求第三邊長和其余角。種類一：已知三角形兩角及隨意一邊，解三角形；已知三邊長，求夾角。例1：（2015山東濰坊一中月考）在ABC中，已知a8,B60o,C75o,則b等于（）A.43B.45C.46D.223練習1：在ABC中，若A60o,B45o,BC32,則AC()練習2：在ABC中，已知a2,B30o,A45o,求b例2：在ABC中，若a3,b1,c2,試求A練習3：在ABC中，若a3,b1,c2,試求B2練習4：在ABC中，若a3,b1,c2,試求C規(guī)律總結(jié)：已知邊求角時，需運用正弦定理余弦定理公式及公式的變形。種類二：已知三角形兩邊及此中一角，解三角形；已知兩邊長和它們的夾角，求第三邊長和其余角。例3：(2014北京高考)在中，1ABCa3,b5,sinA,則（）315C.5D.1A.B.359練習5：（2015廣東六校結(jié)盟第三次聯(lián)考）)在ABC中，A45o,B75o,c2,則此三角形的最短邊的長度是__________練習6：（2014廣東深圳模擬）已知ABCa,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，且a2,b3,cosB4則sinA的值_________5例4：設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c若bc2a,3sinA5sinB,則角C為（）A.B.2C.3D.53463練習7：在△ABC中，b＝5，c＝53，A＝30°，則a等于()A.5B.4C.3D.10練習8：在△中，已知a2b2c2bc，則角A等于()ABC種類三：判斷三角形形狀及面積例5（：2015遼寧錦州月考）在ABC中a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，若ccosAb,則ABC的形狀為（）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上皆有可能練習9：在ABC中，假如a2sinBb2sinA,則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形練習：在ABC中，假如2c2sinA,則ABC的形狀為()10asinCA等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形例6：在ABC中，AB3,AC1,B30o,則ABC的面積為____練習11：在ABC中，A60o,AC4,BC23,則ABC的面積等于多少例7：(2014·江西理)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，Cπ＝3，則△ABC的面積是()3A.39333D.33B.2C.2練習12：以4、5、6為邊長的三角形必定是________三角形．(填：銳角、直角、鈍角)練習13：若2、3、x為三邊組成一個銳角三角形，則x的取值范圍為________．規(guī)律總結(jié)：做這塊的種類題，嫻熟應(yīng)用正弦定理公式變形，面積的求解時需考慮三角形自己的角度問題。1.在△中，＝3，∠＝45°，∠＝75°，則等于()ABCABACBCA．3－3B．2C．2D．3＋32.在銳角△ABC中，角A、B所對的邊長分別為a、b若2asinB＝3b，則角A等于()ππππA．12B．6C．4D．3已知△ABC外接圓半徑是2cm，∠A＝60°，則BC邊的長為__________．4.在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝2，則邊a＝________.255．在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cosC＝5，求邊BC的長．6.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c知足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝()A.1B.3C.2D.244437.π)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，則sin∠BAC＝(4A.10B.10C.310D.5105105__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)牢固1.在ABC中，若B2A，a:b1:3，則A＝________.2.在ABC中，若b5,B,tanA2，則sinA＝________；a＝________.43.在ABC中，a3,b26,B2A求cosA的值；求c的值．4．等腰三角形的周長為8，底邊為2，則底角的余弦等于（）4A.2B.22C.1224D.335．在△ABC中，已知a8,B60o,C75o，則b等于（）A.42B.43C.46D.3236.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知A,a3,b1，則c（）3A.1B.2C.31D.3在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b能力提高8.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若ccosA,則△ABC為()bA．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形9.在銳角三角形中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，設(shè)B2A，則b的取值范圍是()aA．2,2B．0,2C．1,2D．2,310．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c若asinBcosCcsinBcosA1b，且ab，B＝(2則)A．B．C．2D．5633611．設(shè)a,b,c分別是△ABC中A,B,C所對邊的邊長，則直線xsinAayc0與bxysinBsinC0的地點關(guān)系是()A．平行B．重合C．垂直D．訂交但不垂直12．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，則AC邊上的高為()32B.33C.3D.33A.22213.在△中，∠＝60°，2＝，則這個三角形是()ABCBbacA．不等邊三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．直角三角形7設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝9.求a、c的值；求sin(A－B)的值．15．在△ABC中，假如A60o,c4,a6,判斷三角形解的狀況．16.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形AB