第六章平均指標(biāo)與標(biāo)志變異指標(biāo)

第六章

平均指標(biāo)和標(biāo)志變異指標(biāo)本章內(nèi)容

第一節(jié)平均指標(biāo)——集中程度第二節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)——離散程度第三節(jié)是非標(biāo)志的集中程度與離散程度第一節(jié)平均指標(biāo)——集中程度

一、平均指標(biāo)概述二、數(shù)值平均指標(biāo)（算術(shù)、調(diào)和、幾何）三、位置平均指標(biāo)（眾數(shù)、中位數(shù)）一、平均指標(biāo)概述

1、概念2、特點(diǎn)3、作用4、種類1、平均指標(biāo)的概念平均指標(biāo)（AverageIndicator）是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)，是總體內(nèi)各單位參差不齊的標(biāo)志值的代表值。2、平均指標(biāo)的特點(diǎn)1）平均指標(biāo)是反映總體內(nèi)涵的質(zhì)量指標(biāo)，其數(shù)值不會(huì)隨著總體外延范圍的大小而增減。（對(duì)比總量指標(biāo)）2)平均指標(biāo)是把某種數(shù)量標(biāo)志在同一總體內(nèi)各單位之間數(shù)值差異抽象化了的結(jié)果。3)平均指標(biāo)是一個(gè)代表值3、平均指標(biāo)的作用可以消除因總體不同而帶來(lái)的總體數(shù)量上的差異，從而使不同的總體可以對(duì)比。（兩個(gè)區(qū)域糧食總產(chǎn)量，播種面積）利用平均指標(biāo)可以對(duì)比同一現(xiàn)象在不同時(shí)間的一般水平，反映這類現(xiàn)象發(fā)展變化的規(guī)律性。（不同時(shí)期職工工資水平：工資總額、職工人數(shù)）利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。在對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行分組的基礎(chǔ)上，結(jié)合應(yīng)用平均指標(biāo)，就可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。（施肥量、單位面積產(chǎn)量）利用平均指標(biāo)可以估計(jì)和推算其他有關(guān)指標(biāo)。（平均值-總量）4、平均指標(biāo)的種類平均指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)志變異指標(biāo)集中程度離散程度數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)二、數(shù)值平均指標(biāo)

（一）算術(shù)平均數(shù)

（二）調(diào)和平均數(shù)

（三）幾何平均數(shù)（四）三者關(guān)系（一）算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）

1、概念2、種類及計(jì)算3、數(shù)學(xué)性質(zhì)4、注意問題1、算術(shù)平均數(shù)的概念2）基本公式：1）定義：3）注意：分子、分母屬于同一總體：分子：分母具有的標(biāo)志值；分母：分子的承擔(dān)者

是一種運(yùn)用最廣泛、最頻繁的平均數(shù)，它是將總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志值之和求得標(biāo)志總量后，除以總體單位總數(shù)。1、算術(shù)平均數(shù)的概念4）與強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的區(qū)別

計(jì)量單位

同標(biāo)志值

復(fù)合單位算術(shù)平均數(shù)強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)概念

比率：不同總體比率：同一總體作用

密度、強(qiáng)度、普遍程度總體的一般水平分子分母依存關(guān)系性質(zhì)不同，經(jīng)濟(jì)內(nèi)容上有聯(lián)系例如職工平均工資、農(nóng)民人均糧食產(chǎn)量人均收入、人均糧食產(chǎn)量2、算術(shù)平均數(shù)的種類及計(jì)算未分組算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)未分組數(shù)據(jù)：簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)例6-1：某生產(chǎn)小組有8名工人，日產(chǎn)某種零件分別為47、40、38、37、32、53、39、44（單位：件），則該組8名工人的平均日產(chǎn)量為：工人平均日產(chǎn)量=（47+40+38+37+32+53+39+44）/8=39(件)2、算術(shù)平均數(shù)的種類及計(jì)算未分組算術(shù)平均數(shù)分組簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)絕對(duì)權(quán)數(shù)：次數(shù)相對(duì)權(quán)數(shù)：頻率權(quán)數(shù)：變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)。

權(quán)衡變量值的重要性（重要：高權(quán)數(shù)，次要：低權(quán)數(shù)）權(quán)數(shù)不相等時(shí)權(quán)數(shù)才有效果，相等時(shí)：簡(jiǎn)單=加權(quán)

影響平均數(shù)結(jié)果：不是權(quán)數(shù)的絕對(duì)大小，是互相之間的權(quán)數(shù)相對(duì)比重權(quán)數(shù)的意義分組數(shù)據(jù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（1）以絕對(duì)數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)（2）以相對(duì)數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)（3）組距式數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)（4）由相對(duì)數(shù)數(shù)列和平均數(shù)數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)（1）以絕對(duì)數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)

例6-2：調(diào)查某社區(qū)的1000個(gè)家庭人數(shù)統(tǒng)計(jì)資料如下表，求該社區(qū)每戶的平均人數(shù)。表6-1某社區(qū)家庭人數(shù)統(tǒng)計(jì)家庭人數(shù)x家庭數(shù)f人數(shù)合計(jì)xf1858521322643220660433213285140700665390726182合計(jì)10003609已知：分組單項(xiàng)式數(shù)列，x(標(biāo)志值)，f（次數(shù)、權(quán)數(shù)）求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。平均數(shù)受兩個(gè)因素影響：x(標(biāo)志值)，f（權(quán)數(shù)）

討論：x=0,f=1???

（2）以相對(duì)數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)

已知：x,

家庭人數(shù)x家庭數(shù)f各組家庭數(shù)占家庭總數(shù)的比重每個(gè)家庭平均人數(shù)1850.0850.08521320.1320.26432200.220.6643320.3321.32851400.140.76650.0650.397260.0260.182合計(jì)100013.609（3）組距式數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)

例6-3：根據(jù)某班學(xué)生踢腳線考試成績(jī)的調(diào)查資料編制組距式數(shù)列如表6-3，計(jì)算學(xué)生平均成績(jī)。已知：分組組距式數(shù)列，x(標(biāo)志值)—組中值，f（權(quán)數(shù)）求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)成績(jī)/分學(xué)生人數(shù)f/人組中值xxf60以下75538560-702265143070-802675195080-902185178590-100495380合計(jì)80...5930（4）由相對(duì)數(shù)數(shù)列和平均數(shù)數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)

（一）算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）1、概念2、種類及計(jì)算

3、數(shù)學(xué)性質(zhì)4、注意問題3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1）算術(shù)平均數(shù)×總體單位數(shù)=∑總體各單位標(biāo)志值。2）每個(gè)變量值±A，算術(shù)平均數(shù)±

A。3）每個(gè)變量值×/÷

A，算術(shù)平均數(shù)×/÷

A。4）∑（各個(gè)變量值-算術(shù)平均數(shù)）=零5）∑（各個(gè)變量值-算術(shù)平均數(shù)）2=最小值。4、算術(shù)平均數(shù)的注意的問題1）極端值的影響2）各組平均數(shù)與總平均數(shù)結(jié)合應(yīng)用p95

（二）調(diào)和平均數(shù)（Harmonic

mean）

1、概念2、種類及計(jì)算

3、應(yīng)用4、特點(diǎn)1、調(diào)和平均數(shù)的概念（倒數(shù)平均數(shù)）調(diào)和平均數(shù)（HarmonicMean）也稱“倒數(shù)平均數(shù)”，它是對(duì)變量的倒數(shù)求平均數(shù)，然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)，常用符號(hào)

表示。計(jì)算步驟：⑴首先計(jì)算各個(gè)變量值的倒數(shù)；⑵計(jì)算各個(gè)變量的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)；⑶計(jì)算各變量的倒數(shù)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。2、調(diào)和平均數(shù)的種類及計(jì)算未分組調(diào)和平均數(shù)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)2、調(diào)和平均數(shù)的種類及計(jì)算未分組調(diào)和平均數(shù)分組簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)式中:Xi為第i組的變量值；mi為第i組的標(biāo)志總量(權(quán)數(shù))。權(quán)數(shù)相等3、調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn)⑴調(diào)和平均數(shù)經(jīng)過兩次倒數(shù)計(jì)算得出，所以又稱為“倒數(shù)平均數(shù)”；⑵如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于零，那么調(diào)和平均數(shù)將無(wú)法計(jì)算；⑶從應(yīng)用范圍來(lái)看，如果掌握了各組標(biāo)志值和各組標(biāo)志值總量，而各組單數(shù)未知時(shí)，就應(yīng)采用調(diào)和平均數(shù)公式計(jì)算平均指標(biāo)；如果掌握了各組標(biāo)志值和各組單位數(shù)，應(yīng)采用算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均指標(biāo)；⑷加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形計(jì)算。⑸它作為一種數(shù)值平均數(shù)，受所有標(biāo)志值的影響，它受極小值的影響大于受極大值的影響，但較之算術(shù)平均數(shù)，

受極端值的影響要小一些。（三）幾何平均數(shù)（Geometric

mean）

1、概念2、種類及計(jì)算

3、應(yīng)注意的問題1、幾何平均數(shù)的概念幾何平均數(shù)(GeometricMean)是n

個(gè)變量值得連乘積的n次方根，其中n

是變量值的個(gè)數(shù)，這個(gè)平均數(shù)說明事物在一段時(shí)間按幾何級(jí)數(shù)規(guī)律變化的量的平均水平，它是一種具有特殊用途的平均數(shù)，適用于計(jì)算標(biāo)志值的連乘積等于總比率或總速度的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的平均比率或平均速度。常用符號(hào)

表示。

2、幾何平均數(shù)的種類及計(jì)算未分組幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)2、幾何平均數(shù)的種類及計(jì)算未分組幾何平均數(shù)分組簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)式中:Xi為第i組的變量值；f為每個(gè)標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)(權(quán)數(shù))。

1、簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)p972、加權(quán)幾何平均數(shù)p973、幾何平均數(shù)的計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的問題（1）幾何平均數(shù)是變量值連乘積后開個(gè)數(shù)次方，因此，由于計(jì)算上的問題，可以轉(zhuǎn)換成對(duì)數(shù)形式來(lái)計(jì)算；p98公式⑵實(shí)際計(jì)算中，簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)公式適用于未經(jīng)分組資料；加權(quán)幾何平均數(shù)公式適合于分組資料；⑶幾何平均數(shù)適用于計(jì)算社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的平均比率或平均速度，即變量值的連乘積等于總比率或總速度的現(xiàn)象適用；⑷幾何平均數(shù)的應(yīng)用受限制。它僅適用于具有等比或近似等比關(guān)系的數(shù)據(jù)；如果變量值有負(fù)值，計(jì)算出的幾何平均數(shù)就會(huì)成為負(fù)數(shù)或虛數(shù)；幾何平均數(shù)受極端值的影響，但較算術(shù)平均數(shù)的影響要小。（四）三者關(guān)系>0三、位置平均指標(biāo)

（一）眾數(shù)

（二）中位數(shù)

（三）算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系（一）眾數(shù)（Mode）

1、概念2、種類及計(jì)算

3、特點(diǎn)1、眾數(shù)的概念1）定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，Mo

2）存在條件：總體單位數(shù)——較多；各標(biāo)志值的次數(shù)分配——明顯集中趨勢(shì)

3）適用：無(wú)法計(jì)算

4）優(yōu)點(diǎn)：不受極端值影響。5）類型沒有眾數(shù)

原始數(shù)據(jù): 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù): 6.3 4.9 8.9 6.3 4.9

4.9不止一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù): 21 28 28 41 43 431、眾數(shù)的概念2、眾數(shù)的計(jì)算未分組眾數(shù)分組單項(xiàng)式數(shù)列組距數(shù)列直接觀察法2、眾數(shù)的計(jì)算未分組眾數(shù)分組單項(xiàng)式數(shù)列組距數(shù)列直接觀察法組距下限上限與上一組次數(shù)（頻率）之差與下一組次數(shù)（頻率）之差2、由組距數(shù)列確定眾數(shù)（3）特點(diǎn)

⑴眾數(shù)與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性；⑵眾數(shù)對(duì)總體單位數(shù)有一定的要求。只有總體的單位數(shù)較多，各標(biāo)志值的次數(shù)分布又有明顯的集中趨勢(shì)時(shí)才有眾數(shù)；若總體單位數(shù)較少，各標(biāo)志值的次數(shù)分布又無(wú)明顯集中趨勢(shì)時(shí)則沒有眾數(shù)；⑶若在組距數(shù)列中，當(dāng)變量數(shù)列為不等距分組時(shí)，則眾數(shù)的位置不好確定。（二）中位數(shù)（Median

）

1、概念2、計(jì)算

3、特點(diǎn)1、中位數(shù)的概念中位數(shù)(Median)是將數(shù)列中的標(biāo)志值按大小順序排序，處于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值。中位數(shù)把全部標(biāo)志值分為兩個(gè)部分，即兩端的標(biāo)志值個(gè)數(shù)相等。中位數(shù)不受極端值的影響，當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)極大標(biāo)志值或極小標(biāo)志值時(shí)，中位數(shù)比數(shù)值平均數(shù)更具有代表性。2、中位數(shù)的計(jì)算未分組中位數(shù)從小到大排序：奇數(shù)項(xiàng)：中間項(xiàng)的數(shù)值；偶數(shù)項(xiàng)：中間兩項(xiàng)數(shù)值的平均數(shù)中位數(shù)位次：2、中位數(shù)的計(jì)算未分組中位數(shù)分組單項(xiàng)式數(shù)列1、計(jì)算向上、下累計(jì)次數(shù)：2、確定中位數(shù)組：累計(jì)次數(shù)中所在的組3、該組變量值即為中位數(shù)2、中位數(shù)的計(jì)算未分組中位數(shù)分組單項(xiàng)式數(shù)列組距數(shù)列1、計(jì)算向上、下累計(jì)次數(shù)：2、確定中位數(shù)組：累計(jì)次數(shù)中所在的組3、中位數(shù)（插值法）：向上累計(jì)（下限公式）：向下累計(jì)（上限公式）：

組距下限上限以前各組的累計(jì)次數(shù)以后各組的累計(jì)次數(shù)次數(shù)總次數(shù)（3）特點(diǎn)⑴中位數(shù)不受數(shù)列中極端標(biāo)志值的影響⑵中位數(shù)作為平均數(shù)的代表性較數(shù)值平均數(shù)更強(qiáng)。⑶計(jì)算中位數(shù)時(shí)，假定中位數(shù)所在組的次(頻)數(shù)的分布均勻。眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系p104對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=眾數(shù)左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

均值偏態(tài)程度越大，差異越大。適當(dāng)偏態(tài)>Me>M0

<Me<M0

=Me=M0

第二節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)——離散程度

一、標(biāo)志變異指標(biāo)概述二、離散的絕對(duì)程度（全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差）三、離散的相對(duì)程度（變異系數(shù)）一、標(biāo)志變異指標(biāo)概述

1、概念2、作用3、種類1、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念標(biāo)志變異指標(biāo)（MeasuresofDispersion）又稱為標(biāo)志變動(dòng)度指標(biāo)，綜合反映總體各單位標(biāo)志值的差異程度或離散程度，這是總體分布的另一個(gè)重要特征值。標(biāo)志變異指標(biāo)平均指標(biāo)分布特征、代表性

+2、標(biāo)志變異指標(biāo)的作用⑴統(tǒng)計(jì)平均數(shù)是總體中數(shù)量標(biāo)志的代表值，它反映著社會(huì)現(xiàn)象的集中趨勢(shì)。標(biāo)志變異指標(biāo)衡量平均數(shù)代表性大小的尺度。成反比⑵標(biāo)志變異指標(biāo)說明現(xiàn)象變動(dòng)的均勻性或穩(wěn)定程度。⑶標(biāo)志變異指標(biāo)對(duì)于抽樣調(diào)查與推斷具有重要意義。標(biāo)志變動(dòng)度小，可以少抽些單位，標(biāo)志變動(dòng)大，必須多抽些單位。3、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類平均指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)志變異指標(biāo)集中程度離散程度絕對(duì)程度相對(duì)程度全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)志變異系數(shù)全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)二、離散的絕對(duì)程度

1、全距2、平均差3、標(biāo)準(zhǔn)差1、全距

1）概念2）計(jì)算3）特點(diǎn)1）全距（極差）的概念全距是指總體各單位標(biāo)志值中最大標(biāo)志值和最小標(biāo)志值之差。若將研究總體中各個(gè)單位，按某一數(shù)量標(biāo)志值的大小順序排列起來(lái)，則最大值和最小值分別處于數(shù)列的兩極，所以全距又稱極差，用來(lái)表示總體標(biāo)志值的差異范圍的大小，通常用R表示。2）全距（極差）的計(jì)算p105（1）未分組資料（2）分組資料3）全距（極差）特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)單、易懂；缺點(diǎn):易受極端值影響，準(zhǔn)確程度差適用：生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制，編制組距數(shù)列時(shí)，還可確定組距2、平均差

1）概念2）種類及計(jì)算3）特點(diǎn)1）平均差（平均離差、MD）的概念平均差（MeanDeviation）是總體各單位標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，又稱為平均離差，它是測(cè)定標(biāo)志值變異程度的一種指標(biāo)，通常用MD

表示。平均差的作用主要是綜合反映總體中各單位標(biāo)志值的差異程度。平均差越大，標(biāo)志變異程度越大，平均數(shù)的代表性越?。环粗?，平均差越小，標(biāo)志變異程度越小，平均數(shù)的代表性越大。2）平均差的種類及計(jì)算p106未分組平均差簡(jiǎn)單平均差加權(quán)平均差分組優(yōu)點(diǎn):計(jì)算依據(jù)：所有變量；不受極值影響缺點(diǎn):不便于數(shù)學(xué)處理，應(yīng)用受限。3、平均差的特點(diǎn)3、標(biāo)準(zhǔn)差

1）概念2）種類及計(jì)算3)標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)4）特點(diǎn)

1）標(biāo)準(zhǔn)差（均方差、SD、?）的概念標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）又稱均方差，是總體各單位的標(biāo)志值對(duì)算術(shù)平均數(shù)離差的平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。是測(cè)定標(biāo)志變異最主要的指標(biāo)，用符號(hào)SD

或σ表示。標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差，用符號(hào)σ2

表示。2）標(biāo)準(zhǔn)差的種類及計(jì)算p109未分組標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差分組3）標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)⑴變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減變量平均數(shù)的平方。⑵變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差小于對(duì)任意常數(shù)的方差。⑶將原變量x乘以一個(gè)任意常數(shù)b，則新變量y=bx的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別為原來(lái)的|b|倍和b2倍。⑷

個(gè)同質(zhì)獨(dú)立變量的方差等于各個(gè)變量方差的和。

⑸n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的1/n。4）特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：方便用于數(shù)學(xué)處理，不受極值影響。缺陷：不能反映相對(duì)差異用標(biāo)準(zhǔn)差比較兩個(gè)水平差異很大的總