全稱量詞命題與存在量詞命題【知識精講+備課精研+高效課堂】 高一數(shù)學 課件（蘇教版2019必修第一冊）

2.3.1全稱量詞命題與存在量詞命題課標要求素養(yǎng)要求1.理解全稱量詞與存在量詞的意義.2.會判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它的真假.用全稱量詞、存在量詞梳理、表達學過的相應數(shù)學內容，重點提升數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng).新知探究有下列幾個命題：①有些集合沒有子集；②所有三角形都有外接圓；③有些四邊形有內切圓.問題在這些命題中有一些短語“有些，所有的”在邏輯中如何定義？提示短語“所有的，全部，任一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞.而“有些”“有一個”“有的”是存在量詞.1.全稱量詞和全稱量詞命題(1)“所有”“任意”“每一個”等表示______的詞在邏輯學中稱為全稱量詞，常用符號“?x”表示“對任意x”.(2)含有______量詞的命題稱為全稱量詞命題，它的一般形式可表示為：____________________.全體全稱?x∈M，p(x)2.存在量詞和存在量詞命題(1)“存在”“有的”“有一個”等表示____________的詞在邏輯學中稱為存在量詞，常用符號“?x”表示“________”.(2)含有存在量詞的命題稱為______________，它的一般形式可表示為：________________.部分或個體存在x存在量詞命題?x∈M，p(x)基礎自測[判斷題]1.存在量詞命題“?x∈R，x2＜0”是真命題.(

)2.“三角形內角和是180°”是全稱量詞命題.(

)3.“?x∈R，x2＋1≥1”是真命題.(

)4.“對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是真命題.(

)√√√×[基礎訓練]用符號“?”或“?”表示下列命題：(1)存在一個實數(shù)對(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；(2)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；(3)所有的梯形都不是平行四邊形；(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.解(1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)?x∈{x|x是梯形}，x不是平行四邊形.(4)?x∈R，－x2＋2x－4<0.[思考題]1.全稱量詞命題中的“x，M與p(x)”表達的含義分別是什么？提示元素x可以表示實數(shù)、方程、函數(shù)、不等式，也可以表示幾何圖形，相應的集合M是這些元素的某一特定的范圍.p(x)表示集合M的所有元素滿足的性質.如“任意一個自然數(shù)都不小于0”，可以表示為“?x∈N，x≥0”.2.在全稱量詞命題和存在量詞命題中，量詞是否可以省略？提示在存在量詞命題中，量詞不可以省略；在有些全稱量詞命題中，量詞可以省略.題型一全稱量詞與存在量詞命題的識別【例1】判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)對任意直角三角形的兩銳角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”，故為全稱量詞命題.(2)含有存在量詞“有的”，故是存在量詞命題.(3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱量詞命題.規(guī)律方法判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關鍵是看量詞.由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達的意義判斷，同時要會用相應的量詞符號正確表達命題.【訓練1】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號“?”或“?”表示下列命題：(1)自然數(shù)的平方大于或等于零；(2)有的一次函數(shù)圖象經(jīng)過原點；(3)所有的二次函數(shù)的圖象的開口都向上.解(1)全稱量詞命題.表示為?n∈N，n2≥0.(2)存在量詞命題.?一次函數(shù)，它的圖象過原點.(3)全稱量詞命題.?二次函數(shù)，它的圖象的開口都向上.題型二命題真假的判斷【例2】判斷下列命題的真假.(1)所有的素數(shù)都是奇數(shù)；(2)任意矩形的對角線相等；(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.解(1)2是素數(shù)，但2不是奇數(shù).所以全稱量詞命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題.(2)是真命題.(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的實數(shù)x不存在，所以存在量詞命題“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”為假命題.規(guī)律方法判斷一個命題為真命題應給出證明，判斷一個命題為假命題只需舉出反例，具體而言：(1)要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合內找到一個元素x，使p(x)成立即可，否則命題為假.(2)要判定一個全稱量詞命題為真，必須對給定集合內的每一個元素x，p(x)都成立，但要判定一個全稱量詞命題為假時，只要在給定的集合內找到一個x，使p(x)不成立即可.【訓練2】判斷下列命題的真假：(1)有一些二次函數(shù)的圖象過原點；(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；(3)?x∈R，x2>0.解(1)該命題中含有“有一些”，是存在量詞命題.如y＝x2，其圖象過原點，故該命題是真命題.(2)該命題是存在量詞命題.∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故該命題是假命題.(3)該命題是全稱量詞命題.x＝0時，x2＝0，故該命題是假命題.題型三由命題的真假求參數(shù)范圍【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍.解

(1)由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，B≠?，(2)q為真，則A∩B≠?，因為B≠?，所以m≥2.規(guī)律方法根據(jù)含量詞命題的真假等價轉化為關于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)范圍.【訓練3】

(1)已知命題“?x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)由3a＋x－2＝0得－x＝3a－2.∵x∈[－3，2]，∴－2≤－x≤3，∴－2≤3a－2≤3，一、課堂小結1.通過學習命題、全稱量詞命題與存在量詞命題的概念提升數(shù)學抽象素養(yǎng).通過判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).2.判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些全稱量詞命題不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷.3.要確定一個全稱量詞命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個反例說明命題不成立，則該全稱量詞命題是假命題.4.要確定一個存在量詞命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該存在量詞命題是假命題.二、課堂檢測1.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是(

) ①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)； ②有的平行四邊形也是菱形；

③n邊形的內角和是(n－2)×180°. A.0 B.1 C.2 D.3解析①③是全稱量詞命題.答案C2.下列存在量詞命題是假命題的是(

)A.存在x∈Q，使4－x2＝0B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C.有的素數(shù)是偶數(shù)D.有的實數(shù)為正數(shù)答案B3.對任意x>3，x>a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析對任意x>3，x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.答案

(－∞，3]4.給出下列四個命題：①有理數(shù)是實數(shù)；②矩形都不是梯形；③?x，y∈R，x2＋y2≤1；④凡是三角形都有內切圓.其中全稱量詞命題是________(填序號).解析在④中含有全稱量詞“凡是”為全稱量詞命題；③為存在量詞命題；①的實質為：所有的有理數(shù)都是實數(shù)；②的實質是：所有的矩形都不是梯形，故①②④為全稱量詞命題.答案

①②④5.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假：(1)?x，x－2≤0；(2)三角形兩邊之和大于第三邊；(