材料物理12晶體的宏觀對稱性課件

繞旋轉軸轉動=角，記作Cn2n第一章

晶態(tài)結構1.2.1.宏觀對稱元素第二節(jié)

晶體的宏觀對稱性C4若圖形中可以找到一直線L，繞此直線將圖形旋轉某一角度，可使圖形復原，則此直線稱為旋轉軸。C3C41.旋轉軸(AproperAxisofRotation)Cn

=En其中n只能取1，2，3，4，6這五個值。為什么?C3C3C3C42023/2/61對稱性定律：晶體中只可能出現1，2，3，4，6次旋轉軸，這稱為對稱性定律。C11.2.1.宏觀對稱元素(continue)C2C32023/2/62對稱性定律(continue)C4C6C52023/2/632.反映面(鏡面)(APlaneofReflection)反映面的階次為2，用表示。正四面體有9個反映面。hvvd2=Eddddd2023/2/653.對稱中心(CenterofInversion)與對稱中心相應的動作是中心反演(或倒反)，記作I。I2=EI=hC24.反軸(ImproperAxis)與反軸相應的動作是旋轉反射操作，記作Sn。這是一個由旋轉和鏡面反射組成的復合操作。Sn=hCn=Cnh2023/2/664.反軸(continue)根據反軸的定義，可以得到若n為偶數，則(h)n=E，所以(Sn)n=E。若n為奇數，則(h)n=h，所以(Sn)n=h。S2=hC2=I(Sn)n=(hCn)n=(h)nCn=(h)n

n2023/2/67兩個對稱元素組合必產生第三個對稱元素，這是因為晶體外形是有限圖形，對稱元素組合時至少交于一點。否則對稱元素將無限伸展。一、反映面之間的組合1.2.2對稱元素組合原理定理：兩個反映面相交，其交線為旋轉軸，基轉角為反映面相交角的2倍。二、反映面與旋轉軸的組合定理：當一個反映面穿過旋轉軸Cn時必有n個反映面穿過此旋轉軸。(萬花筒定理)2023/2/69三、旋轉軸與對稱中心的組合1.2.2對稱元素組合原理(Cont’)定理：如果在偶次旋轉軸上有對稱中心，那么必有一反映面與旋轉軸垂直相交于對稱中心。四、旋轉軸之間的組合歐拉定理：兩個旋轉軸的適當組合產生第三個旋轉軸。推論：在有對稱中心時，圖形中偶次軸數目和反映面數目相等。2023/2/6101.3.1

點群的概念第三節(jié)

點群(PointGroup)點群這一概念并沒有一個統一和明確的定義。一種觀點認為晶體在宏觀觀察中是有限的，對稱元素必須至少交于一點，在對稱操作中至少有一點不動，因此我們把宏觀觀察中所具有的點對稱元素的組合或宏觀對稱類型稱為點群。1.正當轉動點群(properrotationpointgroup)正當轉動點群的群元都是一些繞轉動軸轉動=角的操作。2n2023/2/6111.Cn群

這類群僅有一個n次軸，群元都是繞這n次軸的轉動操作。這種群稱作軸轉動群。1)C1={E}Cn

群是個循環(huán)群，即Cn={Cn,Cn,…,Cn=E}2n2)C2={C2,E}3)C3={C3,C3E}24)C4={C4,C4=C2,C4,E}231.3.3

晶體的32類點群+C1++C2+++C3++++C4++++++C65)C6={C6,C6=C3,C6=C2,C6=C3,C6,E}234522023/2/6132.Cnh群

這類群是由Cn群與水平反映面h組合而成的。因此這類群包含n個轉動及n個旋轉反射，故群共有2n個群元。這類群共有五個。6)C1h={h,E}32類點群(2)7)C2h={C2,h,C2h,

E}C1hC2hC3hC4hC6h+++8)C3h={C3,C3,

h,

C3h,

C3h,E}22+++++++9)C4h={C4,C4=

C2,C4,h,

C4h,C2h,C4h,E}23310)C6h={C6,C3,C2,C3,C6,h,C6h,

C3h,C2h,C3h,C6h,E}2552++++++2023/2/6143.Cnv群

這類群含有n次旋轉軸及過主軸的垂直反映面。由對稱元素之間的關系可知，Cnv群必包含n個過主軸的垂直反映面。因此，群的群元數為2n，其中n個是繞主軸的轉動，n個是在垂直鏡面上的反射。由于C1v群與C1h群等價，所以可能的Cnv群只有四個。32類點群(3)11)C2v={c2z,v=xz=Ic2y,v’=c2zxz=Ic2x,E}C2vC3v12)C3h={C3z,C3z=C3z,v=xz,v’=C3zxz,

v’’=C3zxz,

E}22-12023/2/6154.S2m群

這類群僅包含n次反軸，且n=2m。當n為奇數時，與Cnh群等價。所以這類群只有三個：S2、S4及S6。這類群的群元都是旋轉反射操作(S2m)n，其中1n2m。這類群都是阿貝爾群。32類點群(4)15)S2={s2=hc2z=c2zh=I,E}S2S416)S4={s4=xyc4z=c4zxy,s4=c2z

s4,E}23S617)S6={s6z=xyc6z=c6zxy=Ic3z,s6z=c3z,s6z=I,s6z=c3z,s6z=Ic3z,E}223542+++2023/2/6175.Dn群

Dn群包含有一個n次軸及n個與之垂直的二次軸，所以這類群的階為2n。由于二次軸的存在，使n次軸成為雙向軸。由于D1群與C2群是等價的，因此Dn群有四個：D2

、D3

、D4

、D6

。32類點群(5)18)D2={c2z,c2x,c2y,E}D2D3D419)D3={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,c3zc2x=c2’’,E}2220)D4={c4z,

c2x,

c4zc2x=c2’,

c4z=c2z,

c4zc2x=c2y,

c4z,c4zc2x=c2’’,E}22332023/2/6185.Dn群(continue)D621)D6={c6z,

c2x,

c6zc2x=c2,

c6z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z=c2z,c2zc2x=c2y,c6z=c3z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z,

c6zc2x=c2,

E}522342-1532類點群(5)2023/2/61932類點群(6)Dnh群(continue)23)D3h={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,c3zc2x=c2’’,

c3zxy=s3,c2xxy=xz=v,c2’xy=v’,c3zxy=s3,

c2’’xy=v’’,

c3zxy=xy,E}23-122++++++D3h++++++++D4h24)D4h={c4z,

c2x,

c4zc2x=c2’,

c4z=c2z,

c4zc2x=c2y,

c4z,c4zc2x=c2’’,c4zxy=Ic4z=s4,c2xxy=Ic2y,c4zxy=I,c2yxy=Ic2x,c4zxy=Ic4z,c2’xy=Ic2’’,xy=Ic4z,

c2’’xy=Ic2’,

E}222332232023/2/62132類點群(6)

Dnh群(continue)D6h++++++++++++25)D6h={c6z,

c2x,

c6zc2x=c2,

c6z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z=c2z,c2zc2x=c2y,c6z=c3z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z,

c6zc2x=c2,

c6zxy=Ic6z,

c2xxy=Ic2y=xz=1,

c6zxy=Ic6z,

c2yxy=Ic2x=yz=4,

c6zxy=I,

c2xy=Ic2=2,c6zxy=Ic6z,

c2xy=Ic2=3,c6zxy=Ic6z,c2xy=Ic2=5,c6zxy=xy,c2xy=Ic2=6,E}522342-15425345262023/2/62232類點群(7)7.Dnd群Dnd群是由Dn與垂直反映面d組合而成的，其中d反映面包含主軸并且平分垂直于主軸的相鄰二次軸之間的夾角，這樣的垂直反映面共有n個。垂直反映面的存在，使得n次旋轉軸成為雙向軸，并使相鄰的二次軸可以互換而彼此等價。由于d及二次軸的存在，所以，主軸不僅是n次軸，而且是2n次旋轉反射軸。因此，根據對稱性定律，對于n3的Dnd群是不存在的。而且D1d與D2v群是等價的。所以，可能的Dnd群只有兩個：D2d及D3d。D2d26)D2d={c2z,c2x,c2y,c2zd1=d2,c2zd1=d1,

c2xd1=s4,c2yd1=s4,E}232023/2/62332類點群(8)

正多面體群8.正多面體群

在正多面體群中，并不存在主軸，而存在互相垂直的等價軸。

在三維空間中，已經證明僅有5種多面體是可能的，即正四面體、正八面體、正六面體、正十二面體、正二十面體。2023/2/62532類點群(8)

正多面體群(continue)如圖所示，由正六面體的六個面心作為頂點可以構成一個鑲嵌其中的正八面體，因此正六面體群和征八面體群具有相同的對稱性，它們屬同一點群。

同樣，正十二面體與正二十面體也屬同一點群，但由對稱性定律可知，晶體中不存在五次軸的對稱性，因此這兩種多面體群是不存在的。2023/2/62632類點群(8)

正四面體群(continue)30)Th群

Th

群是由T群的全部對稱元素與水平反映面h組合而成的。

Th群也有24個群元，分成八類：T群中的四類E；3c2；4c3；4c3-1及I；3Ic2；4Ic3；4Ic3-1。由于T群中存在二次旋轉軸，而二次軸與h組合成為對稱中心，而正四面體中并不存在對稱中心，因此Th

群不是正四面體的對稱性群。2023/2/629C4C3C4C3C3C3C432類點群(9)

正八面體群(Octahedron)31)O群

O群是使正八面體自身重合的全部正當轉動構成的群。由于正八面體與正六面體的對稱性相同，我們這里只以正六面體對稱性來說明。正六面體有9個二次軸，4個三次軸和3個四次軸。

O群共有24個群元，可分為五類：E；3c2；6c2’；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4，3c4-1)。2023/2/63032類點群(9)

正八面體群(Continue)32)Th群

Oh

群是由O群的全部對稱元素與水平反映面h組合而成的。

Oh的群元是是正八面體(或正六面體)自身重合的一切對稱操作。Oh群是晶體點群中最大的一個群，共有48個群元，分為10類：除了O群的24個群元E；3c2；6c2’；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4，3c4-1)外，還有五類24個群元：1I；3Ic2；6Ic2’；8Ic3(4Ic3，4Ic3-1)；6Ic4(3Ic4，3Ic4-1)。2023/2/63132類點群(10)

32類點群之間的相互關系Cn群C1C2C3C4C6Cnh群C1hC2hC3hC4hC6hCnv群C1v=C1hC2vC3vC4vC6vS2m群S1=C1hS2S3=C3hS4S6Dn群D1=C2D2D3D4D6Dnh群D1h=C2vD2hD3hD4hD6hDnd群D1d=C2vD2dD3d

T群TTdThO群OOh2023/2/63232類點群(10)32個晶體點群共分9大類：Cn,Cnh,Cnv,S2m,Dn,Dnh,Dnd,O,T。在這32個點群中，除Oh群

(正六面體群)和D6h群(正六角柱群)是相互無關的兩個群外，其余的30個點群都是Oh群或D6h群的子群。這種關系示于圖中。

32類點群之間的相互關系2023/2/633

七大晶系按對稱性從低到高排列包括三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。1.3.4

七大晶系及其最大點群1.三斜晶系(triclinic)abc90o2.單斜晶系(monoclinic)abc90o3.正交晶系(orthorhombic)abc90o4.四方晶系(tetragonal)abc90o2023/2/634

七大晶系按對稱性從低到高排列包括三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。1.3.4

七大晶系及其最大點群(continue)5.三角晶系(rhombohedral)abc90o7.立方晶系(cubic)abc90o6.六方晶系(hexagonal)abc90o,120o2023/2/6351.3.4

七大晶系及其最大點群晶系最大點群所包含的子群三斜晶系S2S2、C1單斜晶系C2hC2h、C1h、C2正交晶系D2hD2h、C2v、D2、C2三角晶系D3dD3d、D3、C3v、S6、C3四方晶系D4hD4h