2022年三年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)沖刺分類匯編等腰三角形

2022年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編等腰三角形一選擇題1〔2022

肇慶〕等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為

4和

8，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為A．16B．18C．20D．16或

20【解析】先利用等腰三角形的性質(zhì)

:兩腰相等；再由三角形的任意兩邊和大于第三邊

,確定三角形的第三邊長(zhǎng),最后求得其周長(zhǎng)【答案】C【點(diǎn)評(píng)】此題將兩個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)

:等腰三角形的兩腰相等和三角形的三邊關(guān)系組合在一起難度較小2．〔2022江西〕等腰三角形的頂角為80°，那么它的底角是〔A．20°B．50°C．60°D．80°

〕考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可以求得其底角的度數(shù)．解答：解：∵等腰三角形的一個(gè)頂角為80°∴底角=〔180°﹣80°〕÷2=50°．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：考察三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，比較簡(jiǎn)單．3．〔2022?中考〕把等腰△ABC沿底邊BC翻折，獲得△DBC，那么四邊形ABDC〔〕解答：解：∵等腰△ABC沿底邊BC翻折，獲得△DBC，∴四邊形ABDC是菱形，∵菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，∴四邊形ABDC既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考察了中心對(duì)稱圖形，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，判斷出四邊形ABDC是菱形是解題的重點(diǎn)．4〔2022荊州〕如圖，△ABC是等邊三角形，117A22EDQPBFC第9題圖20C51511515151225S△ABD3AB24cm8cm44cm8cm4cm8cm8cm4cm20cm20cm20cm20cmDCOABA,B,CCAO25BCO35AOBAOCAOCOCAOACO25CAOACO25ACB253560ACBAOBAOB2ACB260120AD?BCBP?AC465BP242455DCOAB第15題圖圖511ABC22ADEBC〔第7題〕BAMEACGFEBCBCDCD

D5C2C5cm6cm15cm16cm17cm16cm17cm△ABCABAC13BC10DEAB10156075131313136cm2〔2022山東煙臺(tái)，14,4分〕等腰三角形的周長(zhǎng)為14，其一邊長(zhǎng)為4，那么，它的底邊為【答案】4或6〔2022浙江杭州，16，4〕在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，過點(diǎn)C作直線∥AB，F(xiàn)是上的一點(diǎn)，且＝，那么點(diǎn)F到直線的距離為．ABAFBC【答案】31或31224〔2022浙江臺(tái)州，14,5分〕等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)Bˊ處，DBˊ,EBˊ分別交邊AC于點(diǎn)F，G，假設(shè)∠ADF=80o，那么∠EGC的度數(shù)為【答案】80o5〔2022浙江省嘉興，14，5分〕如圖，在△ABC中，AB=AC，A40，那么△ABC的外角∠BCD＝°．BACD〔第14題〕【答案】1106〔2022湖南邵陽，11，3分〕如圖〔四〕所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，那么∠A=_______?！敬鸢浮?0°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。7〔2022山東濟(jì)寧，15，3分〕如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，那么FG．AFCEFGAB【答案】

D第15題128〔2022湖南懷化，13，3分〕如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，AB=5，BC=6，那么AD=__________________【答案】49〔2022四川樂山16，3分〕如圖，∠AOB=，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA1=OB，連結(jié)AB，在BA、BB上分別取點(diǎn)A、B，使B1B=BA，連接AB按此規(guī)律上去，記∠AB1B=，∠A3B2B32，，∠An+1BnBn1n那么⑴=；⑵=?！敬鸢浮竣?80⑵2n118022n10．〔2022

湖南邵陽，

11，3

分〕如圖〔四〕所示，在△

ABC中，AB=AC，∠B=50°，那么∠A=_______。【答案】

80°。11〔2022

貴州貴陽，

15，4

分〕如圖，等腰

Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為

1，以

Rt△ABC的斜邊

AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰

Rt△ACD，再以

Rt△ACD的斜邊

AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE，，依此類推直到第五個(gè)等腰Rt△AFG，那么由這五個(gè)等腰直角三角形所組成的圖形的面積為______．〔第15題圖〕【答案】錯(cuò)誤!〔2022廣東茂名，14，3分〕如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，那么∠E＝度．【答案】15三、解答題1〔2022廣東東莞，21，9分〕如圖〔1〕，△與△為等腰直角三角形，與重ABCEFDACDE合，==9，∠＝∠＝90°，固定△，將△繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與ABEFBACDEFABCEFDDFAB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF〔或它們的延長(zhǎng)線〕分別交BC〔或它的延長(zhǎng)線〕于G、H點(diǎn)，如圖〔〔1〕問：始終與△AGC相似的三角形有

2〕及

；〔2〕設(shè)

CG＝，BH＝，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式〔只要求根據(jù)

2的情況說明原因〕；〔3〕問：當(dāng)為何值時(shí)，△

AGH是等腰三角形【解】〔1〕△HGA及△HAB；〔2〕由〔1〕可知△AGC∽△HAB∴CGAC，即x9，ABBH9y81所以，yx3〕當(dāng)CG＜1BC時(shí)，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH2AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形；1BC時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形；當(dāng)CG=2992此時(shí)，GC=2，即=22當(dāng)CG＞1BC時(shí)，由〔1〕可知△AGC∽△HGA2所以，假設(shè)△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH假設(shè)AG=AH，那么AC=CG，此時(shí)=9綜上，當(dāng)=9或92時(shí)，△AGH是等腰三角形．2〔2022山東德州19,8分〕如圖AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O．〔1〕求證AD=AE；2連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說明原因．ADEOBC1ACDABEA=AADC=AEB=90°AB=ACA△ACD△ABE3AD=AE4DE25ORt△ADO△AEOBCOA=OAAD=AE6△ADO△AEO=DAOEAOOABAC7AB=ACOABC8320222310DABCCADCBD15°EADCECA1DEBDC2MDEDC=DMME=BD1ABCCAD=CBD=15oooo∴∠BAD=∠ABD=45-15=30，BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD∠BAD=30o30o=60o，∠EDC=∠DAC∠DCA=15o45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，DE平分∠BDC；2〕如圖，連接MC，DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．4〔2022湖北鄂州，18，7分〕如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，假設(shè)AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長(zhǎng)．ADEB第18題圖FC【答案】連接BD，證△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=55〔2022浙江衢州，23,10分〕ABC是一張等腰直角三角形紙板，CRt，ACBC2要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法〔如圖1〕，比較甲、乙兩種剪法，哪一種剪法所得的正方形面積更大請(qǐng)說明原因AAMEDNQCFBCPB〔第23題圖1〕〔第23題〕圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的ADE和BDF中，分別剪取正方形，獲得兩個(gè)相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為如圖2，那么；再在余下的四個(gè)三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，獲得四個(gè)相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個(gè)正方形的面積和為如圖3；持續(xù)操作下去那么第10次剪取時(shí)，求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和【答案】1解法1：如圖甲，由題意得AEDEEC,即EC1,S正方形CFDE1如圖乙，設(shè)MNx，那么由題意，得AMMQPNNBMNx,3x22,解得x223S正方形PNMQ(22)2839又189甲種剪法所得的正方形的面積更大說明：圖甲可另解為：由題意得點(diǎn)D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，S正方形CFDE1SABC12解法2：如圖甲，由題意得AEDEEC，即EC=1如圖乙，設(shè)MNx,那么由題意得AMMQQPPNNBMNx223x22,解得x3又122,即ECMN3甲種剪法所得的正方形的面積更大21S2231S109213解法1：探索規(guī)律可知：Sn1‘2n2S1S2S1021111節(jié)余三角形的面積和為：1429292解法2：由題意可知，第一次剪取后節(jié)余三角形面積和為2S1=1=S1第二次剪取后節(jié)余三角形面積和為S1S2111S222第三次剪取后節(jié)余三角形面積和為S2S3111S32441第十次剪取后節(jié)余三角形面積和為SSS=910102962022浙江紹興，23，12分?jǐn)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，如圖.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明原因.

AEDBC小敏與同桌小聰議論后，進(jìn)行了如下解答：〔1〕特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：A

AEE〔填“>〞,“DB第CDBC〞,第25題圖125題圖2“<〞或“=〞〕原因如下：如圖2，過點(diǎn)作EF//BC，交于點(diǎn)〔請(qǐng)你完成以下解答過程〕〔3〕拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且EDEC假設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為，AE2，1求的長(zhǎng)〔請(qǐng)你直接寫出結(jié)果〕【答案】〔1〕=〔2〕=方法一：如圖，等邊三角形中，AEDBCABCACBBAC60，ABBCAC,EF//BC,AEFAFE60BAC,AEF是等邊三角形，AEAFEF,ABAEACAF,即BECF,又ABCEDBBED60，ACBECBFCE60EDEC,EDBECB,BEDFCE,DBEEFC,DBEF,AEBD.方法二：在等邊三角形中，ABCABC

ACBEDB

60，ABD120,BED,ACB

ECB

ACE,EDEC,EDBECB,BEDACE,FE//BC,AEFAFE60AEF是正三角形，

BAC,EFC180

ACB

120

ABDEFC

DBE,DBEF,而由AEF是正三角形可得EFAE.AEDB.31或37〔2022浙江臺(tái)州，23,12分〕如圖1，過△ABC的極點(diǎn)A分別做對(duì)邊BC上的高AD和中線AE，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，規(guī)定ADEA0。。特其他，當(dāng)點(diǎn)D重合時(shí)，規(guī)定BE別的。對(duì)、作近似的規(guī)定。1〕如圖2，在Rt△ABC中，∠A=30o，求、；2〕在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的4×4方格紙上，畫一個(gè)△ABC，使其極點(diǎn)在格點(diǎn)〔格點(diǎn)即每個(gè)小正方形的極點(diǎn)〕上，且A2，面積也為2；〔3〕判斷以下三個(gè)命題的真假。〔真命題打√，假命題打×〕①假設(shè)△ABC中，②假設(shè)△ABC中，

AA

1，那么△ABC為銳角三角形；〔〕1，那么△ABC為直角三角形；〔〕③假設(shè)△ABC中，A1，那么△ABC為鈍角三角形；〔〕【答案】解:〔1〕如圖，作CD⊥AB，垂足為D，作中線CE、AF?！郃CF=1BF∵Rt△ABC中，∠CAB=30o，∴AE=CE=BE,∠CEB=60o，∴△CEB是正三角形，∵CD⊥AB∴AE=2DE∴cDE=1；∴=1，=1；AE22〔2〕如下列圖：〔3〕①×；②√；③√。8〔2022浙江義烏，23，10分〕如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)EBBFMBFMA1A1B1B1EA1CADPADPCADPCB1圖3圖1圖2180906090303022222BA1B1GAHDPC1A3(2x)23333xSABB13x233x(2x)432221122CQ2CH252423CGACx981119919ABBH9yBCBC22BC2yx222222ADEB第18題圖FCABDEC圖6〔如圖②〕，找出圖中與BE相等的線段，并說明。【答案】〔1〕證明：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=900CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450∠CAD=∠CBD=450∴∠CAE=∠BCG又BF⊥CE∴∠CBG∠BCG=900又∠ACE∠BCF=90∴∠ACE=∠CBG

0∴△AEC≌△CGB∴AE=CG2〕BE=CM證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED∴∠CMA∠MCH=900∠BEC∠MCH=900∴∠CMA=∠BEC又，AC=BC，∠ACM=∠CBE=450∴△BCE≌△CAM∴BE=CM2022年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編第23章等腰三角形一、選擇題1．〔2022浙江寧波〕如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，那么圖中的等腰三角形有A5個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)ADEBC第10題【答案】ACPAB2．〔2022浙江義烏〕如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，DC1125C7323AADEDCBCB

BAABC第8題圖1122x-y3,733x2y4，EN分328,別是△ACD和△BCE的高，點(diǎn)C在線段AB上沿著從點(diǎn)A向點(diǎn)B的方向移動(dòng)不與點(diǎn)A，B重合，連接DE，獲得四邊形DMNE．這個(gè)四邊形的面積變化情況為〔〕〔A〕漸漸增大B漸漸減小C始終不變D先增大后變小【答案】C14．〔2022廣東汕頭〕如圖，把等腰直角△ABC沿BD折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)E處．下面結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝DED．AD＝EC【答案】B15．〔2022重慶江津〕：△ABC中，AB=AC=，BC=6，那么腰長(zhǎng)的取值范圍是〔〕A．0x3B．C．3x6D．【答案】B16．〔2022重慶江津〕如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△

ADC

繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90后，獲得△，連接．以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有〔

〕①EAF

45

②△∽△

ACD③平分

CEF

④BE2

DC2

DE2A．１個(gè)

B．２個(gè)

C．３個(gè)

D．４個(gè)【答案】C17．〔2022廣東茂名〕如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，那么需用籬笆的長(zhǎng)是AEFBC第5題圖A、15米B、20米C、25米D、30米【答案】C18．〔2022廣東深圳〕如圖1，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°。那么∠B的度數(shù)是A．40°B．35°C．25°D．20°【答案】

C19．〔2022貴州銅仁〕如圖，小紅作出了邊長(zhǎng)為1的第1個(gè)正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面積，然后分別取△A1B1C1三邊的中點(diǎn)A2，B2，C2，作出了第2個(gè)正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面積，用同樣的方法，作出了第

3個(gè)正△

A3B3C3，算出了正△

A3B3C3的面積，由此可得，第

8個(gè)正△

A8B8C8的面積是〔

〕A．

34

(1)72

B．

3(1)842

C．

3(1)744

D．

3(1)844【答案】

C20．〔2022四川廣安〕等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為

4、9，那么它的周長(zhǎng)是A．17

B．17

或

22

C．20D．22【答案】D21．〔2022黑龍江綏化〕如下列圖，△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FG，那么以下結(jié)論：①AE＝BD②AG＝BF③FG∥BE④∠BOC＝∠EOC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)〔〕個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)【答案】D22．〔2022廣東清遠(yuǎn)〕等腰三角形的底角為A．40°B．80°C

40°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角為．100°D．100°或

40°【答案】

C二、填空題1．如圖，AD是△ABC的邊

BC上的高，由以下條件中的某一個(gè)就能推出△

ABC是等腰三角形的是__________________?！舶阉姓_答案的序號(hào)都填寫在橫線上〕①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD，③ABBD＝ACCD④AB-BD＝AC-CD【答案】﹝2﹞﹝3﹞﹝4﹞2．〔2022廣東廣州，16，3分〕如圖4，BD是△ABC的角平分線，∠ABD＝36°，∠C＝72°，那么圖中的等腰三角形有_____個(gè)．ADBC【答案】33．〔2022江蘇無錫〕如圖，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，那么∠BCE=▲°．CDAEB〔第16題〕【答案】50°4．〔2022江蘇泰州〕等腰△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，那么第三邊長(zhǎng)為．【答案】55．〔2022四川眉山〕如圖，將第一個(gè)圖〔圖①〕所示的正三角形連接各邊中點(diǎn)進(jìn)行切割，獲得第二個(gè)圖〔圖②〕；再將第二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行切割，獲得第三個(gè)圖〔圖③〕；再將第三個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，，那么獲得的第五個(gè)圖中，共有________個(gè)正三角形．圖①圖②圖③【答案】176．〔2022浙江紹興〕做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D將△ABD作關(guān)于直線AD的軸對(duì)稱變換,所得的像與△ACD重合關(guān)于以下結(jié)論:①在同一個(gè)三角形中,等角同等邊;②在同一個(gè)三角形中,等邊同等角;③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線第15題圖和高互相重合由上述操作可得出的是將正確結(jié)論的序號(hào)都填上【答案】②③7．〔2022江蘇淮安〕周長(zhǎng)為長(zhǎng)為．

8的等腰三角形，有一個(gè)腰長(zhǎng)為

3，那么最短的一條串位線【答案】8．〔2022山東濱州〕如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),=2,EMCM的最小值為【答案】9．〔2022四川內(nèi)江〕下面的方格圖案中的正方形極點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖腰直角三角形有4個(gè)，圖2中以格點(diǎn)為極點(diǎn)的等腰直角三角形有

1中以格點(diǎn)為極點(diǎn)的等個(gè)，圖3中以格點(diǎn)為極點(diǎn)的等腰直角三角形有

個(gè)，圖

4中以格點(diǎn)為極點(diǎn)的等腰直角三角形有個(gè)圖1圖2圖3圖4【答案】10，28，5010．〔2022湖南湘潭〕△中，假設(shè)∠oo=5，那么==80，∠=50，ABCABACAB【答案】511．〔2022廣西桂林〕如圖：=10，點(diǎn)、D在線段AB上且==2；ABCACDBFCGED2D0D4AD5D3BACPDBD1第10題(3)n6054013137223AEFBPC圖8為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形〔點(diǎn)M的地址改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng)〕．〔1〕如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系點(diǎn)F是否在直線NE上都請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明原因；．．．．2〕如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其余條件不變，〔1〕的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否依舊成立假設(shè)成立，請(qǐng)利用圖②證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明原因；〔3〕假設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷〔1〕的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否依舊成立假設(shè)成立請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明原因．AAADEDED·E·NBB·FB·FCCMMCFN圖①圖②圖③第25題圖【答案】〔1〕判斷：EN與MF相等〔或EN=MF〕，點(diǎn)F在直線NE上，·····3分〔說明：答對(duì)一個(gè)給2分〕〔2〕成立．······························4分證明：法一：連接DE，DF．··························5分∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF∠FDN=60°，∠NDE∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．···························7分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．···························8分∴=．··························9分MFNEAADEDENNBMFCBMFC法二：延長(zhǎng)，那么過點(diǎn)．·······················5分ENENF∵△是等邊三角形，∴==．ABCABACBC又∵，，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，∴==．DEEFDFBF∵∠BDM∠MDF=60°，∠FDN∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．····························7分又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN．····························8分∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN．··························9分法三：連接，．·····························5分DFNF∵△是等邊三角形，ABC∴AC=BC=AC．又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，∴DF為三角形的中位線，∴DF=1AC=1AB=DB．22又∠BDM∠MDF=60°，∠NDF∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．···························7分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠=∠=60°．···························8分BDFN又∵△DEF是△ABC各邊中點(diǎn)所組成的三角形，∴∠=60°．DFE∴可得點(diǎn)N在EF上，∴MF=EN．··························9分〔3〕畫出圖形〔連出線段NE〕，·····················11分MF與EN相等的結(jié)論依舊成立〔或MF=NE成立〕．·············12分NADEBFCM2．〔2022福建晉江〕〔13分〕如圖，在等邊ABC中，線段為邊上的中線動(dòng)點(diǎn)在直線上．．時(shí)，以為一邊且在的下方作等邊CDE，連接1填空：ACB______度；2當(dāng)點(diǎn)在線段上點(diǎn)不運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，試求出AD的值；．．BE3假設(shè)AB8，以點(diǎn)為圓心，以5為半徑作⊙與直線相交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中點(diǎn)與點(diǎn)重合除外，試求的長(zhǎng)AAADCBMBCBCE備用圖1備用圖2261316032ABCDECACBCCDCEACBDCE60ACDDCBDCBBCEACDBCE5ACDBCESASADBEAD17BE32ACDBCECBECAD30CHBEPQ2HQCQ5RtCBHCBH30BCAB8CHBCsin301482RtCHQHQCQ2CH252423PQ2HQ69

AABCDECACBCCDCEACBDCE60ACBDCBDCBDCEACDBCEACDBCESAS

BMCPDQCBECAD30

EPQ611DABCDECAACBCCDCEACBDCE60ACDACEBCEACE60ACDBCEACDBCESAS

EBMCCBECADPCAM30CBECAD150

QCBQ30PQ6613320221ABAC，ADAEBDCEABCDEAB=ACB=CAD=AEADE=AEC180O-ADE=180-AECOADB=AECABDACEAB=ACB=CADB=AEC∴△ABD≌△ACEBD=CE4．〔2022湖南衡陽〕：如圖，在等邊三角形的邊上取中點(diǎn)，的延長(zhǎng)ABCACDBC線上取一點(diǎn)，使CE＝．求證：BD＝．ECDDE、【答案】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵D為AC中點(diǎn)，∴∠DBC=30°，∵CE＝CD，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD＝DE5．〔2022山東省德州〕如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF與DE交于點(diǎn)O．1求證：AB＝DC；2試判斷△OEF的形狀，并說明原因．ADOBEFC第18題圖【答案】證明：〔１〕∵BE＝CF，AD∴BE＋EF＝CF＋EF，O即＝．BFCE又∵∠＝∠，∠＝∠，EFCB∴△ABF≌△DCE〔AAS〕，∴AB＝DC．〔２〕△OEF為等腰三角形原因如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF為等腰三角形．6．〔2022江蘇常州〕如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求證：AB=AC。【答案】7．〔2022

四川內(nèi)江〕如圖，△

ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠

ACD＝∠BCE＝90°，AE交

DC于F，BD分別交

CE，AE于點(diǎn)

G、H試猜想線段AE和BD的地址和數(shù)量關(guān)系，并說明原因DEHFGCAB【答案】解：猜想＝，⊥······················2分AEBDAEBD原因如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°