應用統(tǒng)計chapter9 列聯(lián)分析

第九章：列聯(lián)分析第9章列聯(lián)分析9.1分類數(shù)據(jù)與列聯(lián)表9.2c2

檢驗9.3列聯(lián)表中的相關測量9.4列聯(lián)分析中應注意的問題分類數(shù)據(jù)分類變量的結果表現(xiàn)為類別例如：性別(男,女)各類別用符號或數(shù)字代碼來測度使用分類或順序尺度你吸煙嗎?1.是；2.否你贊成還是反對這一改革方案?1.贊成；2.反對對分類數(shù)據(jù)的描述和分析通常使用列聯(lián)表可使用檢驗9.1

分類數(shù)據(jù)與列聯(lián)表9.1.1分類數(shù)據(jù)9.1.2列聯(lián)表的構造9.1.3列聯(lián)表的分布列聯(lián)表的構造列聯(lián)表

(contingencytable)由兩個以上的變量交叉分類的頻數(shù)分布表行變量的類別用r

表示，ri

表示第i

個類別列變量的類別用c

表示，cj

表示第j

個類別每種組合的觀察頻數(shù)用fij

表示表中列出了行變量和列變量的所有可能的組合，所以稱為列聯(lián)表一個

r行c

列的列聯(lián)表稱為r

c

列聯(lián)表列聯(lián)表的結構

(22列聯(lián)表)列(cj

)合計j=1j=1i=1f11f12f11+f12i=2f21f22f21+f22合計f11+f21f12+f22n列(cj)行(ri)列聯(lián)表的結構

(r

c

列聯(lián)表的一般表示)列(cj)合計j=1j=2…i=1f11f12…r1i=2f21f22…r2:::::合計c1c2…n列(cj)行(ri)fij

表示第i

行第j

列的觀察頻數(shù)列聯(lián)表

(例題分析)一分公司二分公司三分公司四分公司合計贊成該方案68755779279反對該方案32753331141合計10012090110420【例】一個集團公司在四個不同的地區(qū)設有分公司，現(xiàn)該集團公司欲進行一項改革，此項改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽樣調查方式，從四個分公司共抽取420個樣本單位(人)，了解職工對此項改革的看法，調查結果如下表列聯(lián)表的分布觀察值的分布邊緣分布行邊緣分布行觀察值的合計數(shù)的分布例如，贊成改革方案的共有279人，反對改革方案的141人列邊緣分布列觀察值的合計數(shù)的分布例如，四個分公司接受調查的人數(shù)分別為100人，120人，90人，110人條件分布與條件頻數(shù)變量X條件下變量Y

的分布，或在變量Y

條件下變量X

的分布每個具體的觀察值稱為條件頻數(shù)觀察值的分布

(圖示)一分公司二分公司三分公司四分公司合計贊成該方案68755779279反對該方案32753331141合計10012090110420行邊緣分布列邊緣分布條件頻數(shù)百分比分布

(概念要點)條件頻數(shù)反映了數(shù)據(jù)的分布，但不適合對比為在相同的基數(shù)上進行比較，可以計算相應的百分比，稱為百分比分布行百分比：行的每一個觀察頻數(shù)除以相應的行合計數(shù)(fij

/ri)列百分比：列的每一個觀察頻數(shù)除以相應的列合計數(shù)(fij

/cj)總百分比：每一個觀察值除以觀察值的總個數(shù)(fij

/n

)百分比分布

(圖示)一分公司二分公司三分公司四分公司合計贊成該方案24.4%26.9%20.4%28.3%66.4%68.0%62.5%63.3571.8%—16.2%17.8%13.6%18.8%—反對該方案22.7%31.9%23.4%22.0%33.6%32.0%37.5%36.7%28.2%—7.6%10.7%7.9%7.4%—合計23.8%28.6%21.4%26.2%100%總百分比列百分比行百分比期望頻數(shù)的分布假定行變量和列變量是獨立的一個實際頻數(shù)fij

的期望頻數(shù)eij

，是總頻數(shù)的個數(shù)n乘以該實際頻數(shù)fij

落入第i

行和第j列的概率，即期望頻數(shù)的分布

(例題分析)由于觀察頻數(shù)的總數(shù)為n

，所以f11

的期望頻數(shù)e11應為例如，第1行和第1列的實際頻數(shù)為f11

,它落在第1行的概率估計值為該行的頻數(shù)之和r1除以總頻數(shù)的個數(shù)n

，即：r1/n；它落在第1列的概率的估計值為該列的頻數(shù)之和c1除以總頻數(shù)的個數(shù)n

，即：c1/n。根據(jù)概率的乘法公式，該頻數(shù)落在第1行和第1列的概率應為期望頻數(shù)的分布

(例題分析)一分公司二分公司三分公司四分公司贊成該方案實際頻數(shù)68755779期望頻數(shù)66806073反對該方案實際頻數(shù)32753331期望頻數(shù)344030379.2

c2檢驗9.2.1統(tǒng)計量9.2.2擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量卡方檢驗【非參數(shù)統(tǒng)計】對總體的具體形式不必作任何的限制性假設和不以總體參數(shù)具體數(shù)值估計為目的的推斷統(tǒng)計。能用于定性變量（即定名測定和序列測定的變量）；方法直觀，易于理解，運算比較簡單。缺點是檢驗的功效不如參數(shù)檢驗方法。主要方法：χ2檢驗、曼—惠特尼U檢驗、等級相關檢驗、成對比較檢驗、游程檢驗、多個樣本的檢驗。2檢驗2檢驗是運用

2分布作為理論工具，在非參數(shù)統(tǒng)計中可用于對總體的分布或隨機變量的獨立性進行的檢驗。2檢驗是1900年由英國統(tǒng)計學家卡?皮爾生(K.Person)提出的，稱為皮爾生定理。當我們研究K(K>2)

個事件時，可以測定K

個觀察值與相應的理論值之間的差異，為此而構造的統(tǒng)計量稱為2

統(tǒng)計量。2檢驗且服從分布皮爾生定理說明，當樣本容量充分大時，樣本分成K

類，每類實際出現(xiàn)的次數(shù)用f0表示，其理論次數(shù)為fe，則2

統(tǒng)計量為（f0-fe）比較小時，χ2值也較??；（f0-fe）比較大時，χ2也較大。當χ2值大到按χ2分布超過設定的臨界值時，即為小概率事件，就可以認為實際結果與理論假設不一致。

(χ2)k=4α=0.05χ20.05(4)=9.488χ2

02檢驗2分布

(2

distribution)由阿貝(Abbe)

于1863年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)

分別于1875年和1900年推導出來分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱，一般當k≥30時，χ2分布可用正態(tài)分布近似計算c2分布

(圖示)不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20c2分布的使用

2檢驗的功效擬合優(yōu)度檢驗利用樣本信息對總體分布作出推斷，檢驗總體是否服從理論分布（正態(tài)分布或二項分布）。獨立性檢驗用于判斷2組或多組的資料是否彼此關聯(lián)。2擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗主要是比較總體變量的期望或理論頻數(shù)與分布的觀察或實際的頻數(shù)，確定期望值與觀察值之間是否存在差異。例如，航空業(yè)官員也許在理論上認為機票購買者的年齡服從某種特殊的分布。為了接受或拒絕該分布，隨機選取機票購買者年齡的真實樣本，使用擬合優(yōu)度檢驗比較觀察值與期望值。在皮鞋制造業(yè)，生產(chǎn)商可以使用擬合優(yōu)度檢驗確定一年當中對其商品的需求是否服從均勻分布。 擬合優(yōu)度檢驗中用來對假設進行檢驗的檢驗統(tǒng)計量的形式如下：其中：觀察值頻數(shù)；：期望值頻數(shù)；k:類別總數(shù)；c：樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)數(shù)量。因為期望頻數(shù)的總數(shù)必須等于觀察頻數(shù)的總數(shù)，因此該檢驗丟失了一個自由度，即來自樣本的的觀察總數(shù)被作為期望頻數(shù)總數(shù)的總數(shù)。另外，在有些情況下，總體有參數(shù)。用樣本數(shù)據(jù)估計，以確定期望值的概率分布。每次進行估計，就丟失一個自由度。2擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗的步驟檢驗步驟（1）對總體分布建立假設H0：總體服從某種理論分布H1：總體不服從該理論分布（2）抽樣并對樣本資料編成頻數(shù)分布（f0）（3）以“原假設H0為真”導出一組期望頻數(shù)（fe）（4）計算檢驗統(tǒng)計量χ2=∑(f0-fe)2/fe（5）χ2=∑(f0-fe)2/fe

給定的α查χ2表，得到臨界值（6）比較χ2值與臨界值作出檢驗判斷注意事項（1）各組理論頻數(shù)fe不得小于5，如不足5，可合并組；（2）為使組數(shù)不致太少，總頻數(shù)n＞50；（3）根據(jù)具體情況確定自由度。2擬合優(yōu)度檢驗

（例題分析）【例1】有四家生產(chǎn)同種類型的產(chǎn)品在過去的一年里，市場份額穩(wěn)定在A公司47％，B公司34％，Ｃ公司11%,D公司8%.最近各家公司都開發(fā)了各自“新型和改進型”的產(chǎn)品代替當前在市場的產(chǎn)品。因此A公司市場營銷部門想知道這種新產(chǎn)品是否改變了市場份額。于是聘請了一家專門搞市場份額評估的公司。該評估公司組織進行一個抽樣調查：隨機選擇了該城市各大超市購物的207個消費者，以了解他們會選擇哪種產(chǎn)品。結果選用A、B、C、D公司產(chǎn)品的消費者比例如下：從抽樣結果判斷市場份額有沒有發(fā)生變化？

2擬合優(yōu)度檢驗

（例題1分析）步驟一：建立如下假設：

即各公司的市場份額沒有發(fā)生變化

即各公司的市場份額發(fā)生了變化步驟二：使用的檢驗統(tǒng)計量2擬合優(yōu)度檢驗

（例題1分析）步驟三：取。由于擬合優(yōu)度檢驗是單邊檢驗，因為零的表明分布是一致的。與零的任何偏差都是正的，這是因為是由平方和確定的，永遠不會是負值。在此題中，由于k＝4，所以k-1=3，即自由度為3，在的條件下，臨界值為決策規(guī)則：如果計算得到的樣本檢驗統(tǒng)計量的值大于7.815，則拒絕原假設。

步驟四：由樣本計算樣本檢驗統(tǒng)計量的值，分以下幾步完成：（1）計算期望值（理論頻數(shù)，見表）表：公司份額期望頻數(shù)的計算公司期望比例期望頻數(shù)（）A47％(0.47)(207)=97.29B34％(0.34)(207)=70.38C11％(0.11)(207)=22.77D8%(0.08)(207)=16.562擬合優(yōu)度檢驗

（例題1分析）2擬合優(yōu)度檢驗

（例題1分析）（2）計算擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量由表＝6.252擬合優(yōu)度檢驗

（例題1分析）步驟五：計算出的卡方檢驗統(tǒng)計量的值明顯小于臨界值，所以不拒絕原假設，即認為新產(chǎn)品沒有改變市場份額。

拒絕原假設2擬合優(yōu)度檢驗

（例題分析）

【例2】某消費者協(xié)會想確定市場上5種牌子的啤酒哪一種最受消費者歡迎。該協(xié)會隨機抽取1000名啤酒飲用者作為樣本進行如下的實驗：每個人得到5種牌子的啤酒各一瓶，但都未標明牌子；這5瓶啤酒分別寫著A、B、C、D、E字母的5張紙片隨機確定的順序送給每一個人。下表是根據(jù)樣本資料整理得到的各種牌子啤酒愛好者的頻數(shù)分布。判斷消費者對這幾種牌子的愛好有沒有差別.最喜歡的牌子人數(shù)A210B312C170D85E223合計10002擬合優(yōu)度檢驗

（例題2分析）解：如果沒有差別，那么，我們應該預期啤酒飲用者的人數(shù)呈均勻分布，或者每種牌子啤酒的愛好者占20%。H0:不同牌子飲用者人數(shù)服從均勻分布H1:不同牌子飲用者人數(shù)不服從均勻分布。顯著性水平為0.05,df=5-1=4,2

0.05,4=9.488拒絕域為2>9.488根據(jù)原假設,每種牌子啤酒愛好者人數(shù)的理論頻數(shù)為200由于136.4>9.488,所以拒絕原假設,認為消費者對各啤酒的愛好有差別,均勻分布不是最好的分布列聯(lián)表與獨立性檢驗是利用樣本資料對總體的兩個變量的數(shù)據(jù)是否彼此關聯(lián)的檢驗，如果不關聯(lián)，即為獨立。列聯(lián)表形式（r×c）O11O21O31...Or1

O12O22O32...Or2

O13O23O33...Or3

………...… O1cO2cO3c...Orc

O1O2O3...Or

123...r行（r）列（c）1 2 3 … c xy合計

n.1 n.2 n.3 … n.c n 合計X的邊緣頻數(shù)y的邊緣頻數(shù)列聯(lián)表與獨立性檢驗檢驗步驟（1）對總體的兩個變量建立假設H0：兩變量獨立H1：兩變量關聯(lián)（2）將樣本資料編成r×c列聯(lián)表，并列出實際頻數(shù)Oij（3）計算理論頻數(shù)（4）計算檢驗統(tǒng)計量（5）

給定的α查χ2表，得到臨界值（6）比較χ2值與臨界值作出檢驗判斷列聯(lián)表與獨立性檢驗列聯(lián)表

列變量x

行變量y

1

2

L

c

合計

1

11O

12O

L

1cO

1O·(1On·)

2

21O

22O

L

2cO

2O·(2On·)

M

M

M

M

M

r

1rO

2rO

L

rcO

rO·(rOn·)

合計

1O·（1On·）

2O·(2On·)

L

cO·(cOn·)

n

列聯(lián)表與獨立性檢驗列聯(lián)表

列聯(lián)表與獨立性檢驗

（檢驗統(tǒng)計量）檢驗統(tǒng)計量的構造r·k=2×2的列聯(lián)表資料，χ2值簡算公式xy1212abcda+cb+da+bc+d合計合計n列聯(lián)表與獨立性檢驗

（檢驗統(tǒng)計量）列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）【例1】在對某城市家庭的社會經(jīng)濟特征調查中，美國某調查同時想確定家庭的電話擁有量與汽車擁有量是否獨立。該公司對10000戶家庭組成的簡單隨機樣本進行調查，獲得資料如下表。設顯著性水平為0.01.列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）解：建立如下的假設H0:汽車擁有量與電話擁有量是獨立的；H1:汽車擁有量與電話擁有量是不獨立的。列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）將觀察頻數(shù)與理論頻數(shù)排在一起，并將理論頻數(shù)置于括號內，如表。由表計算得到檢驗統(tǒng)計量：由于顯著水平為0.01，(r-1)(k-1)=(3-1)(3-1)=4,查表得20.01,4=13.277<794.3，所以拒絕H0，也即汽車擁有量與電話擁有量不是獨立的。列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）【例2】某啤酒廠生產(chǎn)三種類型的啤酒：淡啤酒、普通啤酒和黑啤酒。公司市場研究小組通過對三種啤酒的市場部分的分析，提出了這樣的問題，在啤酒飲用者中，男性和女性對這三種啤酒的偏好是否存在差異。如果對啤酒的偏好與啤酒飲用者的性別相互獨立，就會針對所有的啤酒進行廣告宣傳?？墒?，如果啤酒的偏好與啤酒飲用者的性別相關，公司就會針對不同的市場目標進行促銷活動。于是選擇150名啤酒飲用者作為一個簡單隨機樣本。在品嘗了每種酒后，要求樣本中的每個人說出他們的偏好或第一選擇。研究結果如下表。試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)檢驗啤酒飲用者的性別與啤酒的偏好是否相互獨立？列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）表：男女啤酒飲用者的啤酒偏好抽樣結果（觀察頻數(shù)）列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）解：提出假設列聯(lián)表與獨立性檢驗

（例題分析）9.3列聯(lián)表中的相關測量9.3.1

相關系數(shù)9.3.2列聯(lián)相關系數(shù)9.3.3V

相關系數(shù)列聯(lián)表中的相關測量品質相關對品質數(shù)據(jù)(分類和順序數(shù)據(jù))之間相關程度的測度列聯(lián)表變量的相關屬于品質相關列聯(lián)表相關測量的統(tǒng)計量主要有相關系數(shù)列聯(lián)相關系數(shù)V

相關系數(shù)

相關系數(shù)

(correlationcoefficient)測度22列聯(lián)表中數(shù)據(jù)相關程度對于22列聯(lián)表，

系數(shù)的值在0～1之間

相關系數(shù)計算公式為

相關系數(shù)

(原理分析)一個簡化的22列聯(lián)表因素Y因素X合計x1x2y1aba+by2cdc+d合計a+cb+dn

相關系數(shù)

(原理分析)列聯(lián)表中每個單元格的期望頻數(shù)分別為將各期望頻數(shù)代入的計算公式得

相關系數(shù)

(原理分析)將入

相關系數(shù)的計算公式得ad等于bc

，=0，表明變量X與Y

之間獨立若b=0

，c=0，