2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第七節(jié)拋物線學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精eq\o(\s\up7(第七節(jié)），\s\do5（))eq\o(\s\up7(拋物線)，\s\do5（））1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率)．2．理解數(shù)形結(jié)合的思想．3．了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用．知識點一拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（F?l)距離______的點的軌跡叫做拋物線．答案相等1．判斷正誤（1）平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(）（2）拋物線y2＝4x的焦點到準(zhǔn)線的距離是4。（）(3)若一拋物線過點P（－2，3），其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y2＝2px（p〉0)．（）答案:(1）×(2）×(3)×2．（2016·浙江卷）若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________．解析：由于拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線為x＝－1，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y),則x＋1＝10，所以x＝9。故M到y(tǒng)軸的距離是9.答案：9知識點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px（p〉0）x2＝2py（p>0）x2＝－2py(p〉0）圖形范圍x≥0，y∈R____________y≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點坐標(biāo)______(－eq\f(p，2）,0）（0，eq\f（p，2)）______準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p，2)____________y＝eq\f(p，2）離心率e＝1焦半徑|PF｜＝x0＋eq\f(p，2）｜PF|＝________|PF|＝________｜PF|＝－y0＋eq\f(p,2）答案x≤0,y∈R（eq\f(p，2),0）(0,－eq\f（p,2)）x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p，2)－x0＋eq\f（p,2)y0＋eq\f(p,2)3．已知拋物線y＝eq\f（3，4）x2，則它的焦點坐標(biāo)是()A。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（3,16))) B.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，16)，0）)C。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3），0)） D。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(1,3))）解析:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f（4,3）y?！?p＝eq\f（4,3)，∴p＝eq\f（2,3)?！鄴佄锞€y＝eq\f（3,4）x2的焦點坐標(biāo)是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（1,3）)）.答案：D4．(選修1－1P63練習(xí)第1(1)題改編)已知拋物線的頂點是原點,對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點P(－2，－4），則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．解析：很明顯點P在第三象限，所以拋物線的焦點可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上．當(dāng)焦點在x軸負(fù)半軸上時，設(shè)方程為y2＝－2px(p〉0),把點P（－2，－4)的坐標(biāo)代入得（－4）2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x；當(dāng)焦點在y軸負(fù)半軸上時，設(shè)方程為x2＝－2py（p>0)，把點P(－2,－4）的坐標(biāo)代入得(－2）2＝－2p×(－4）,解得p＝eq\f(1,2)，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－y。綜上可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x或x2＝－y.答案：y2＝－8x或x2＝－y5．（2016·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點,曲線y＝eq\f（k，x)（k〉0)與C交于點P，PF⊥x軸,則k＝(）A。eq\f（1，2） B．1C.eq\f(3,2） D．2解析：易知拋物線的焦點為F(1,0),設(shè)P(xP，yP）,由PF⊥x軸可得xP＝1，代入拋物線方程得yP＝2（－2舍去)，把P(1,2）代入曲線y＝eq\f(k，x）(k>0)得k＝2.答案：D熱點一拋物線的定義及應(yīng)用【例1】已知拋物線y2＝2x的焦點是F,點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2)，求｜PA｜＋|PF|的最小值，并求出取最小值時點P的坐標(biāo)．【解】將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±eq\r(6）?！遝q\r(6)〉2，∴A在拋物線內(nèi)部,如圖．設(shè)拋物線上點P到準(zhǔn)線l:x＝－eq\f(1,2)的距離為d,由定義知|PA|＋｜PF｜＝|PA｜＋d，當(dāng)PA⊥l時，｜PA｜＋d最小，最小值為eq\f（7，2），即｜PA｜＋｜PF|的最小值為eq\f(7,2），此時P點縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點P的坐標(biāo)為（2，2)．將本例中點A的坐標(biāo)改為（3，4)，求｜PA｜＋｜PF|的最小值．解：當(dāng)P、A、F共線時，|PA｜＋|PF|最小,|PA｜＋｜PF｜≥|AF|＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3－\f（1，2）)）2＋42)＝eq\r(\f（25，4）＋16）＝eq\f（\r(89）,2).【總結(jié)反思】與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑.(2017·邢臺摸底)已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x＋1)2＋（y－5）2＝1上，則｜MA｜＋｜MF|的最小值是________．解析：依題意，由點M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l:y＝－1引垂線，垂足為M1，則有|MA｜＋｜MF｜＝|MA|＋|MM1｜,結(jié)合圖形可知｜MA｜＋｜MM1|的最小值等于圓心C（－1，5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5,因此｜MA｜＋｜MF｜的最小值是5.答案：5熱點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)【例2】（1）（2017·泉州模擬）如圖，過拋物線y2＝2px（p〉0）的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A,B，C，若｜BC|＝2|BF｜,且|AF|＝3,則拋物線的方程為()A．y2＝eq\f(3，2)xB．y2＝3xC．y2＝eq\f（9,2)xD．y2＝9x（2)若雙曲線C：2x2－y2＝m(m>0)與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點，且|AB|＝4eq\r(3)，則m的值是__________．【解析】（1）如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：｜BC｜＝2a由定義得:|BD｜＝a，故∠BCD＝30°,在直角三角形ACE中，因為｜AF｜＝3，｜AC|＝3＋3a,又2｜AE|＝｜AC|，所以3＋3a＝6,從而得a＝1，因為BD∥FG,所以eq\f（1，p）＝eq\f（2,3)，求得p＝eq\f（3,2)，因此拋物線方程為y2＝3x.（2）y2＝16x的準(zhǔn)線l：x＝－4，因為C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線l:x＝－4交于A，B兩點，｜AB｜＝4eq\r(3)，所以A(－4，2eq\r（3)），B(－4，－2eq\r（3)),將A點坐標(biāo)代入雙曲線方程得2（－4）2－（±2eq\r(3）)2＝m,所以m＝20?！敬鸢浮?1）B(2）20【總結(jié)反思】1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）先定位：根據(jù)焦點或準(zhǔn)線的位置．(2）再定形：即根據(jù)條件求p。2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧（1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)以形助數(shù)。(1)以雙曲線eq\f（x2,3）－y2＝1的左焦點為焦點，頂點在原點的拋物線方程是（)A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝－4eq\r（2）x D．y2＝－8x（2)（2016·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB｜＝4eq\r(2），|DE|＝2eq\r（5），則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A．2 B．4C．6 D．8解析：（1)由題意知拋物線的焦點為（－2，0)，又頂點在原點，所以拋物線的方程為y2＝－8x。(2）由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px（p>0）,由｜AB｜＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r（5)，可取A（eq\f（4，p)，2eq\r（2））,D(－eq\f（p,2），eq\r(5)）．設(shè)O為坐標(biāo)原點，由｜OA|＝｜OD｜，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f（p2,4)＋5，得p＝4，所以選B.答案：(1)D(2）B熱點三直線與拋物線的位置關(guān)系考向1焦點弦問題【例3】已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點,斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A（x1，y1）,B(x2，y2）(x1<x2）兩點，且｜AB｜＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點,若eq\o（OC，\s\up15（→))＝eq\o（OA,\s\up15(→))＋λeq\o(OB，\s\up15(→)），求λ的值．【解】（1)由題意得直線AB的方程為y＝2eq\r(2）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（p,2))）,與y2＝2px聯(lián)立，消去y有4x2－5px＋p2＝0,所以x1＋x2＝eq\f(5p,4）。由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p，4）＋p＝9，所以p＝4，從而該拋物線的方程為y2＝8x.(2）由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0,則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2），y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r（2）)，B（4，4eq\r(2))．設(shè)C(x3，y3)，則eq\o（OC,\s\up15（→）)＝（x3，y3）＝（1，－2eq\r(2))＋λ（4,4eq\r(2)）＝(4λ＋1,4eq\r(2）λ－2eq\r（2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以［2eq\r（2)（2λ－1)］2＝8(4λ＋1)，整理得（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.考向2直線與拋物線的位置關(guān)系問題【例4】已知拋物線C：x2＝2py(p〉0）的焦點為F(0,1），過點F作直線l交拋物線C于A，B兩點．橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e＝eq\f(\r（3)，2).(1)分別求拋物線C和橢圓E的方程；(2）經(jīng)過A,B兩點分別作拋物線C的切線l1,l2，切線l1與l2相交于點M。證明AB⊥MF?！窘狻?1)由拋物線C：x2＝2py（p〉0)的焦點為F(0,1)可得拋物線C的方程為x2＝4y。設(shè)橢圓E的方程為eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a〉b>0），半焦距為c,由已知可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝1，，\f（c，a）＝\f（\r（3)，2)，，a2＝b2＋c2。)）解得a＝2，b＝1。所以橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1。(2）證明：顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線C只有一個交點，不符合題意，故可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2）(x1≠x2)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，，x2＝4y））消去y并整理得x2－4kx－4＝0，∴x1x2＝－4。∵拋物線C的方程為y＝eq\f(1,4）x2,∴y′＝eq\f（1,2）x.∴直線l1，l2的方程分別是y－y1＝eq\f（1，2)x1(x－x1)，y－y2＝eq\f（1,2）x2（x－x2），即y＝eq\f(1，2）x1x－eq\f（1，4）xeq\o\al(2,1)，y＝eq\f(1,2）x2x－eq\f(1，4）xeq\o\al（2，2）。聯(lián)立直線l1，l2的方程，解得兩條切線l1，l2的交點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2,2），\f（x1x2，4)）)，即Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2，2），－1）).∴eq\o（FM,\s\up15（→)）·eq\o（AB，\s\up15(→）)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x1＋x2,2)，－2)）·(x2－x1,y2－y1）＝eq\f（1，2）(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al（2,1)）－2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，4）x\o\al（2,2)－\f(1,4)x\o\al(2,1))）＝0.∴AB⊥MF.【總結(jié)反思】直線與圓錐曲線相交問題通常采用“設(shè)而不求”的方法．設(shè)交點坐標(biāo)為(x1，y1)，（x2，y2），直線方程為y＝kx＋b,代入圓錐曲線方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，由韋達定理得x1＋x2,x1x2，再把題中與交點有關(guān)的已知條件、要證明的結(jié)論等用x1,y1，x2,y2表示出來，最后把x1＋x2,x1x2代入轉(zhuǎn)化變形可解決問題.（2017·陜西寶雞質(zhì)檢)已知拋物線G的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,拋物線上的點P（m，4)到其焦點F的距離等于5。(1）求拋物線G的方程；（2）在正方形ABCD的三個頂點A（x1，y1)，B(x2，y2),C（x3，y3)(x1〈0≤x2〈x3）在拋物線G上，可設(shè)直線BC的斜率為k，求正方形ABCD面積的最小值．解：（1)由題知,點P(m,4）到拋物線的準(zhǔn)線距離為5，所以準(zhǔn)線方程為y＋1＝0，eq\f(p,2）＝1，拋物線G的方程為x2＝4y。(2)設(shè)直線BC的斜率為k，顯然k〉0，則直線BC的方程為y＝k(x－x2)＋eq\f（x\o\al(2,2)，4）（k>0）,由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx－x2＋\f(x\o\al（2,2),4）,，x2＝4y，))消y，得x2－4kx－xeq\o\al（2,2）＋4kx2＝0，易知x2，x3為該方程的兩個根,故有x2＋x3＝4k,得x3＝4k－x2，從而得|BC|＝eq\r(1＋k2)（x3－x2）＝2eq\r(1＋k2）（2k－x2），類似地，直線AB的方程為y＝－eq\f（1,k)（x－x2)＋eq\f(x\o\al(2，2),4），從而得|AB｜＝eq\f（2\r(1＋k2）,k2)(2＋kx2）,由｜AB|＝｜BC｜,得k2·(2k－x2)＝(2＋kx2），解得x2＝eq\f（2k3－1，k2＋k）,｜AB｜＝|BC|＝eq\f（4\r(1＋k2）k2＋1，kk＋1)（k>0)．因為eq\f(4\r（1＋k2）k2＋1,kk＋1）≥eq\f(4\r(\f（1＋k2,2))·2k,kk＋1)＝4eq\r(2)，所以SABCD＝｜AB|2≥32,即SABCD的最小值為32,當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時取得最小值．1．認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px(p〉0）,前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2）求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為y2＝mx或x2＝my（m≠0)．2．拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離．因此,涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡化．拋物線上的點到焦點的距離根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即｜PF｜＝｜x｜＋eq\f（p,2）或|PF|＝|y|＋eq\f(p，2）.巧用定義妙解最值【例】拋物線y2＝4mx(m〉0）的焦點為F,點P為該拋物線上的動點，若點A(－m，0)，則eq\f(|PF｜，｜PA｜)的最小值為________．【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)(xP,yP）,利用拋物線的定義，求出|PF｜,再利用兩點間的距離公式求出|PA|2，把（eq\f(｜PF｜,｜PA|）)2用xP的代數(shù)式來表示,再利用基本不等式,即可求出eq\f（|PF｜，｜PA｜)的最小值．【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為（xP,yP)