中考數(shù)學(xué)沖刺訓(xùn)練：《圓的壓軸》

中考三輪沖刺訓(xùn)練：《圓的壓軸》1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），DE的延長線交⊙O于點(diǎn)G，DF⊥DG，且交BC于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝BF；（2）連接EF，求證：∠FEB＝∠GDA；（3）連接GF，若AE＝2，EB＝4，求△GFD的面積．2．如圖，⊙O的直徑AB＝26，P是AB上（不與點(diǎn)A、B重合）的任一點(diǎn)，點(diǎn)C、D為⊙O上的兩點(diǎn)，若∠APD＝∠BPC，則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，則∠CPD是直徑AB的“回旋角”嗎？并說明理由；（2）若的長為π，求“回旋角”∠CPD的度數(shù)；（3）若直徑AB的“回旋角”為120°，且△PCD的周長為24+13，直接寫出AP的長．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（3，4），P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過O，P，B三點(diǎn)的圓交x軸正半軸于點(diǎn)C，連結(jié)AB，PC，BC，設(shè)OP＝m．（1）求證：當(dāng)P與A重合時(shí)，四邊形POCB是矩形．（2）連結(jié)PB，求tan∠BPC的值．（3）記該圓的圓心為M，連結(jié)OM，BM，當(dāng)四邊形POMB中有一組對(duì)邊平行時(shí)，求所有滿足條件的m的值．（4）作點(diǎn)O關(guān)于PC的對(duì)稱點(diǎn)O'，在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)O'落在△APB的內(nèi)部（含邊界）時(shí)，請(qǐng)寫出m的取值范圍．4．如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE交⊙O于點(diǎn)F，連接AF并延長交BC于點(diǎn)H．（1）若連接AO，試判斷四邊形AECO的形狀，并說明理由；（2）求證：AH是⊙O的切線；（3）若AB＝6，CH＝2，則AH的長為．5．問題提出（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心，則OB的長為問題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，以BC為直徑作半圓O，點(diǎn)P為半圓O上一動(dòng)點(diǎn)，求E、P之間的最大距離；問題解決（3）某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABCD和弦CB與其所對(duì)的劣弧場(chǎng)地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口D到上的一點(diǎn)P修建一條筆直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，過弦BC的中點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，又測(cè)得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路寬度不計(jì)），不考慮其他因素，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多少元？6．在圖1至圖3中，⊙O的直徑BC＝30，AC切⊙O于點(diǎn)C，AC＝40，連接AB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，P是線段CD上一點(diǎn)，連接PB．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P，O的距離最小時(shí)，求PD的長；（2）如圖2，若射線AP過圓心O，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，求tanF的值；（3）如圖3，作DH⊥PB于點(diǎn)H，連接CH，直接寫出CH的最小值．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接CD，以CD長為直徑作⊙P．（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半徑；（2）當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，求△POB的面積；（3）連接AP、BP，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△PAB的面積是否為定值，如果是，請(qǐng)直接寫出面積的定值，如果不是，請(qǐng)說明理由．8．△ABC內(nèi)接⊙O，AD⊥BC與D，連接OA．（1）如圖1，求證：∠BAO＝∠CAD；（2）如圖2，作BE⊥AC交CA延長線于E交⊙O于F，延長AD交⊙O于G，連接AF，求證：AD+AF＝DG；（3）在第（2）問的條件下，如圖3，OA交BC于點(diǎn)T，CA＝CT，AD＝2AF，AB＝4，求DT長．9．如圖，在等腰三角形PAD中，PA＝PD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，PC，PC交AB于點(diǎn)E，已知∠ACP＝60°．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）連接OP，PB，BC，OC，若⊙O的直徑是4，則：①當(dāng)DE＝，四邊形APBC是矩形；②當(dāng)DE＝，四邊形OPBC是菱形．10．如圖，在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點(diǎn)，以CM為直徑作圓O交AC于點(diǎn)N，延長MN至D，使ND＝MN，連接AD、CD，CD交圓O于點(diǎn)E．（1）判斷四邊形AMCD的形狀，并說明理由；（2）求證：ND＝NE；（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的長．11．如圖，AB為△ABC外接圓⊙O的直徑，弦CD＝AC，E為CB延長線上一點(diǎn)，DE切⊙O于點(diǎn)D．（1）求證：CD平分∠ADE；（2）求證：DE2＝EB?CE；（3）若tan∠CAB＝，且AB＝5，求DE．12．如圖1，AB為半圓O的直徑，C為圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，AC平分∠DAB．．（1）求證：CE是⊙O的切線．（2）若AB＝6，B為OE的中點(diǎn)，CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，求CF的長；（3）如圖2，連接OD交AC于點(diǎn)G，若＝，求sinE的值．13．如圖，已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC、BD交于E，∠ACB＝∠ACD．（1）求證：AB＝AD；（2）作∠ABD的角分線BF交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，若DE＝DF，連接FE、OF，OF與AC交于Q，求證：∠ADF＝2∠OFE；（3）在（2）的條件下，連接BC，延長FE交BC于點(diǎn)P，若BC⊥FP，BP＝2，求AD的長．14．【操作體驗(yàn)】如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得∠APB＝30°，如圖②，小明的作圖方法如下：第一步：分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點(diǎn)O；第二步：連接OA，OB；第三步：以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于P1，P2；所以圖中P1，P2即為所求的點(diǎn)．（1）在圖②中，連接P1A，P1B，說明∠AP1B＝30°；【方法遷移】（2）如圖③，用直尺和圓規(guī)在矩形ABCD內(nèi)作出所有的點(diǎn)P，使得∠BPC＝45°，（不寫做法，保留作圖痕跡）．【深入探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P為AD邊上的點(diǎn)，若滿足∠BPC＝45°的點(diǎn)P恰有兩個(gè)，則m的取值范圍為．（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝135°，若點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)Q，則PQ的最小值為．15．如圖1、圖2，在圓O中，OA＝1，AB＝，將弦AB與弧AB所圍成的弓形（包括邊界的陰影部分）繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤360），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′．（1）點(diǎn)O到線段AB的距離是；∠AOB＝°；點(diǎn)O落在陰影部分（包括邊界）時(shí)，α的取值范圍是；（2）如圖3，線段B與優(yōu)弧ACB的交點(diǎn)是D，當(dāng)∠A′BA＝90°時(shí)，說明點(diǎn)D在AO的延長線上；（3）當(dāng)直線A′B與圓O相切時(shí)，求α的值并求此時(shí)點(diǎn)A′運(yùn)動(dòng)路徑的長度．參考答案1．解：（1）如圖1所示，連接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADO＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝BD＝CD＝AC，∴∠CBD＝∠C＝45°，∴∠CBD＝∠A，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB+∠BDG＝90°，∵∠EDA+∠BDG＝90°，∴∠FDB＝∠EDA，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD，∴AE＝BF；（2）如圖2所示，連接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△DEF為等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∵“同弧所對(duì)的圓周角相等”，∴∠BGD＝∠BAD＝45°，∴∠FED＝∠BGD，∴GB∥EF，∵∠BGD＝∠BAD，∴∠FEB＝∠GDA；（3）連接GF，如圖3所示，∵△AED≌△BFD，∴AE＝BF＝2，∵EB＝4，∴在Rt△EBF中，根據(jù)勾股定理得：EF＝＝2，根據(jù)三角函數(shù)，sin∠DFE＝，∴DE＝EFsin∠DEF＝2×＝，∵∠BGE＝∠DAE，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴＝，解得：GE＝，∴GD＝GE+DE＝則S＝GD?DF＝，××＝9．2．解：∠CPD是直徑AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直徑AB的“回旋角”；（2）如圖1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，設(shè)∠COD＝n°，∵的長為π，∴，∴n＝45，∴∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，∴∠BPC＝∠OPE，∵∠CPD為直徑AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴點(diǎn)D，P，E三點(diǎn)共線，∴∠CED＝∠COD＝22.5°，∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度數(shù)為45°，（3）①當(dāng)點(diǎn)P在半徑OA上時(shí)，如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AB交⊙O于F，連接PF，∴PF＝PC，同（2）的方法得，點(diǎn)D，P，F(xiàn)在同一條直線上，∵直徑AB的“回旋角”為120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，連接OC，OD，∴∠COD＝120°，過點(diǎn)O作OG⊥CD于G，∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝∴CD＝13，，∵△PCD的周長為24+13∴PD+PC＝24，，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，過O作OH⊥DF于H，∴DH＝DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，＝5，∴AP＝OA﹣OP＝3；②當(dāng)點(diǎn)P在半徑OB上時(shí)，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：滿足條件的AP的長為3或23．3．解：（1）∵∠COA＝90°∴PC是直徑，∴∠PBC＝90°∵A（0，4）B（3，4）∴AB⊥y軸∴當(dāng)A與P重合時(shí)，∠OPB＝90°∴四邊形POCB是矩形（2）連結(jié)OB，（如圖1）∴∠BPC＝∠BOC∵AB∥OC∴∠ABO＝∠BOC∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝（3）∵PC為直徑∴M為PC中點(diǎn)①如圖2，當(dāng)OP∥BM時(shí)，延長BM交x軸于點(diǎn)N∵OP∥BM∴BN⊥OC于N∴ON＝NC，四邊形OABN是矩形∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4設(shè)⊙M半徑為r，則BM＝CM＝PM＝r∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r∵M(jìn)N2+NC2＝CM2∴（4﹣r）2+32＝r2解得：r＝∴MN＝4﹣∵M(jìn)、N分別為PC、OC中點(diǎn)∴m＝OP＝2MN＝②如圖3，當(dāng)OM∥PB時(shí)，∠BOM＝∠PBO∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO在△BOM與△COM中∴△BOM≌△COM（AAS）∴OC＝OB＝∵AP＝4﹣m＝5∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°∴△ABO∽△BPC∴∴PC＝∴PC2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]又PC2＝OP2+OC2＝m2+52∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52解得：m＝或m＝10（舍去）綜上所述，m＝或m＝（4）∵點(diǎn)O與點(diǎn)O'關(guān)于直線對(duì)稱∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即點(diǎn)O'在圓上當(dāng)O'與O重合時(shí)，得m＝0當(dāng)O'落在AB上時(shí)，則m2＝4+（4﹣m）2，得m＝當(dāng)O'與點(diǎn)B重合時(shí)，得m＝∴0≤m≤或m＝4．（1）解：連接AO，四邊形AECO是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直徑，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四邊形AECO為平行四邊形．（2）證明：由（1）得，四邊形AECO為平行四邊形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵點(diǎn)F在⊙O上，∴AH是⊙O的切線．（3）∵CD為⊙O的直徑，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC為⊙O的切線，又∵AH是⊙O的切線，∴CH＝FH，AD＝AF，設(shè)BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x＝．∴．故答案為：．5．解：（1）如圖，若AO交BC于K，∵點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心，AB＝AC，∴AK⊥BC，BK＝∴AK＝，，在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，設(shè)OB＝x，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝∴OB＝，；故答案為：．（2）如圖，連接EO，延長EO交半圓于點(diǎn)P，可求出此時(shí)E、P之間的距離最大，∵在是任意取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的P′，連接OP′，P′E，∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，∵AB＝4，AD＝6，∴EO＝4，OP＝OC＝∴EP＝OE+OP＝7，，∴E、P之間的最大距離為7．（3）作射線FE交BD于點(diǎn)M，∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，∴所在圓的圓心在射線FE上，假設(shè)圓心為O，半徑為r，連接OC，則OC＝r，OE＝r﹣40，BE＝CE＝，在Rt△OEC中，r2＝802+（r﹣40）2，解得：r＝100，∴OE＝OF﹣EF＝60，過點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，∵AD∥BC，∠ADB＝45°，∴∠DBC＝45°，在Rt△BDG中，DG＝BG＝，在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，∴ME＞OE，∴點(diǎn)O在△BDC內(nèi)部，∴連接DO并延長交于點(diǎn)P，則DP為入口D到上一點(diǎn)P的最大距離，∵在上任取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的點(diǎn)P′，連接OP′，P′D，∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，過點(diǎn)O作OH⊥DG，垂足為H，則OH＝EG＝40，DH＝DG﹣HG＝DG﹣OE＝60，∴＝＝20，∴DP＝OD+r＝20+100，∴修建這條小路最多要花費(fèi)40×6．解：（1）如圖1，連接OP，元．∵AC切⊙O于點(diǎn)C，∴AC⊥BC．∵BC＝30，AC＝40，∴AB＝50．由，即，解得CD＝24，當(dāng)OP⊥CD時(shí)，點(diǎn)P，O的距離最小，此時(shí)（2）如圖2，連接CE，．∵EF為⊙O的直徑，∴∠ECF＝90°．由（1）知，∠ACB＝90°，由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，解得．∵∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．又∠CAE＝∠FAC，∴△ACE∽△AFC，∴∴．．（3）CH的最小值為．解：如圖3，以BD為直徑作⊙G，則G為BD的中點(diǎn)，DG＝9，∵DH⊥PB，∴點(diǎn)H總在⊙G上，GH＝9，∴當(dāng)點(diǎn)C，H，G在一條直線上時(shí)，CH最小，此時(shí)，，，即CH的最小值為．7．解：（1）如圖1，∵A（0，8），B（6，0），C（0，3），∴OA＝8，OB＝6，OC＝3，∴AC＝5，∵△ACD∽△AOB，∴∴，∴CD的＝∴⊙P的半徑為（2）在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝6，＝10，，；∴＝如圖2，當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，即，∴AD＝4，CD＝3，∵CD為⊙P的直徑，∴CP＝，過點(diǎn)P作PE⊥AO于點(diǎn)E，∵∠PEC＝∠ADC＝90°，∠PCE＝∠ACD，∴△CPE∽△CAD，∴，，即∴∴，，∴△POB的面積＝＝；（3）①如圖3，若⊙P與AB只有一個(gè)交點(diǎn)，則⊙P與AB相切，由（2）可知PD⊥AB，PD＝∴△PAB的面積＝，．②如圖4，若⊙P與AB有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為F，連接CF，可得∠CFD＝90°，由（2）可得CF＝3，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，則DG＝則PG為△DCF的中位線，PG＝∴△PAB的面積＝，，＝．綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△PAB的面積是定值，定值為．8．（1）證明：如圖1，延長AO交圓于點(diǎn)M，連結(jié)BM，∵AM是圓的直徑，∴∠ABM＝90°，∴∠M+∠BAM＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠M＝∠C，∴∠BAO＝∠CAD；（2）證明：如圖2，分別延長DA、BE交于點(diǎn)H，連結(jié)BG，∵AE⊥BE，AD⊥DC，∴∠EAH+∠H＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∵∠DAC＝∠EAH，∴∠H＝∠C，∵四邊形AFBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠EFA＝∠C，∴∠EFA＝∠H，∴AF＝AH，又∵∠C＝∠BGH，∴∠H＝∠BGH，∵BD⊥GH，∴DG＝DM＝AD+AH＝AD+AF；（3）解：如圖3，連GO并延長GO交AB于點(diǎn)N，連BG，∵CT＝AC，∴∠TAC＝∠ATC，∵∠TAC＝∠TAD+∠DAC，∠ATC＝∠TBA+∠BAT，∠DAC＝∠BAT，∴∠TAD＝∠TBA，又∵∠GBC＝∠DAC＝∠BAO，∴AG＝BG，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知NG⊥AB，∴∠GNA＝∠BDA＝90°，AN＝BN＝2∵∠NAG＝∠BAD，∴△BAD∽△GAN，∴，∵AD+AF＝DG，AD＝2AF，∴∴，，設(shè)AD＝x，則AG＝，∴，解得：x＝4，即AD＝4，∴＝＝8，在△ADT和△BDA中，∠TAD＝∠DBA，∠TDA＝∠BDA＝90°，∴△ADT∽△BDA，∴，∴，∴DT＝2．9．解：（1）如圖1，連接OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，而OA＝