2023屆河南省開封市高三第一次模擬考試理科數(shù)學試題2

24/2525/25/開封市2023屆高三年級第一次模擬考試理科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.設命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，3.若是純虛數(shù)，則復數(shù)可以是（）A. B. C. D.4.已知中，為邊上一點，且，則（）A. B. C. D.5.已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.6.如圖為甲，乙兩位同學在5次數(shù)學測試中成績莖葉圖，已知兩位同學的平均成績相等，則甲同學成績的方差為（）A.4 B.2 C. D.7.已知則x＋2y的最大值為（）A.2 B.3 C.5 D.68.設是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調遞減，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知數(shù)列的前項和，若，則（）A.8 B.16 C.32 D.6410.已知點到點和點的距離之和為4，則（）A.有最大值1 B.有最大值4 C.有最小值1 D.有最小值11.如圖，在正方體中，點M，N分別是，的中點，則下述結論中正確的個數(shù)為（）①∥平面；②平面平面；③直線與所成的角為；④直線與平面所成的角為．A.1 B.2 C.3 D.412.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并且是構成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的一個零點為，則______．14.已知點，，為軸上一點，若，則______．15.3D打印是快速成型技術的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側表面計算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細處）的直徑為______cm．16.在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項和，則______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．18.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．已知“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為．（1）求值；（2）記“星隊”在兩輪活動中猜對成語的總數(shù)為，求的分布列與期望．19.如圖，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分別是，的中點，．（1）證明：平面；（2）求二面角余弦值．20.已知函數(shù)，．（1）若是上的單調遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，求在上的最小值；（3）證明：．21.如圖1所示是一種作圖工具，在十字形滑槽上各有一個活動滑標M，N，有一根旋桿將兩個滑標連成一體，，D為旋桿上的一點且在M，N兩點之間，且．當滑標在滑槽內(nèi)做往復運動，滑標在滑槽內(nèi)隨之運動時，將筆尖放置于處進行作圖，當和時分別得到曲線和．如圖2所示，設與交于點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系．（1）求曲線和的方程；（2）已知直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點，記的面積為，證明：．（二）選考題：共10分．請考生在22~23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為曲線上一點的坐標．（1）將曲線參數(shù)方程化為普通方程；（2）過點任意作兩條相互垂直的射線分別與曲線交于點A，B，以直線的斜率為參數(shù)，求線段的中點的軌跡的參數(shù)方程，并化為普通方程．［選修4—5：不等式選講]（10分）23.已知函數(shù)．（1）當時，求的最小值；（2）若，時，對任意使得不等式恒成立，證明：．開封市2023屆高三年級第一次模擬考試理科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調性得，后由交集定義可得答案.【詳解】，則，又，則.故選：C2.設命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先仔細審題，抓住題目中的關鍵信息之后再動，原題讓我們選擇一個全稱命題的否定，任意和存在是一對，要注意互相變化，大于等于的否定是小于.【詳解】，的否定是，.故選：D3.若是純虛數(shù)，則復數(shù)可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設代入化簡，根據(jù)其為純虛數(shù)可得的關系，驗證得答案.【詳解】設，則，因為純虛數(shù)，所以，經(jīng)驗證可知，適合，即復數(shù)可以是.故選：D.4.已知中，為邊上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運算即可求得.【詳解】在中，.因為，所以.所以.故選：A5.已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由側面展開圖求得母線長后求得圓錐的高，再由體積公式計算．【詳解】設圓錐母線長為，高為，底面半徑為，則由得，所以，所以．故選：B．6.如圖為甲，乙兩位同學在5次數(shù)學測試中成績的莖葉圖，已知兩位同學的平均成績相等，則甲同學成績的方差為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由平均數(shù)相等求出，再求方差.【詳解】由可得，，即甲同學成績的方差為故選：B7.已知則x＋2y的最大值為（）A.2 B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根據(jù)簡單線性規(guī)劃求解即可．【詳解】作出可行域如圖：由可得：，平移直線經(jīng)過點時，有最大值，由解得，．故選：C8.設是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調遞減，則滿足的的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的奇偶性、單調性可得，再解不等式可得答案.【詳解】因為是定義域為偶函數(shù)，所以，又在上單調遞減，所以在上單調遞增，若，則，解得.故選：D.9.已知數(shù)列的前項和，若，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】當時，由可得，當時，，驗證是否適合可得通項公式，代入通項公式求解可得結果.【詳解】解：當時，，當時，，，符合上式，數(shù)列的通項公式為：，故選：C.10.已知點到點和點的距離之和為4，則（）A.有最大值1 B.有最大值4 C.有最小值1 D.有最小值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求出點的軌跡方程，利用三角換元法即可求解.【詳解】因為點到點和點的距離之和為4，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且長軸長，焦距，所以點的軌跡方程為，設，則，所以有最大值1，故選：A.11.如圖，在正方體中，點M，N分別是，的中點，則下述結論中正確的個數(shù)為（）①∥平面；②平面平面；③直線與所成的角為；④直線與平面所成的角為．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用法向量的性質，結合空間向量夾角公式逐一判斷即可.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，設該正方體的棱長為，，由正方體的性質可知：平面，則平面的法向量為，，因為，所以，而平面，因此∥平面，故①對；設平面的法向量為，，，所以有，同理可求出平面的法向量，因為，所以，因此平面平面，故②正確；因為，，所以，因為異面直線所成的角范圍為，所以直線與所成的角為，故③正確；設直線與平面所成的角為，因為，平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成的角不是，因此④錯誤，一共有個結論正確，故選：C12.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并且是構成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出關于和的等式，然后分離參數(shù)，轉化為兩個函數(shù)有交點.【詳解】由題意得若函數(shù)為不動點函數(shù)則滿足，即，即設，設所以在單調遞減，且所以在上單調遞增，，所以在上單調遞減，所以當則當則所以的圖像為：要想成立，則與有交點，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的一個零點為，則______．【答案】【解析】【分析】由題意,利用函數(shù)的零點,求得的值,再利用輔助角公式和兩角差的正弦公式化簡,可得.【詳解】函數(shù)的一個零點為,,,函數(shù),.故答案為:.14.已知點，，為軸上一點，若，則______．【答案】5【解析】【分析】設，利用余弦定理求點坐標，然后利用數(shù)量積的坐標表示求解即可.【詳解】設，所以，，，因為，所以由余弦定理得，即解得，所以，所以，，所以，故答案為：515.3D打印是快速成型技術的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側表面計算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細處）的直徑為______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，根據(jù)題意，以最細處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設出雙曲線方程，并根據(jù)離心率表示出之間的關系，由題意底直徑為6cm，所以雙曲線過點，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點，代入雙曲線方程即可求解方程從而得到喉部（最細處）的直徑.【詳解】由已知，以最細處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設雙曲線方程為，由已知可得，，且，所以，所以雙曲線方程為，底直徑為6cm，所以雙曲線過點，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點，代入雙曲線方程得：，解得：，所以喉部（最細處）的直徑為cm.故答案為：.16.在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項和，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，分組求和即可.【詳解】由題知，，當為奇數(shù)時，，所以奇數(shù)項構成等差數(shù)列，首項為1，公差為2，當為偶數(shù)時，，所以所以故答案為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和的關系將代換，再由正弦定理將邊化角，求得角A，B的關系，解出的值；（2）由第一問求得的的值，根據(jù)余弦定理公式展開列方程求解即可.【小問1詳解】因為，所以，得，因為，由正弦定理，可得，又，所以，又因為A，B均為三角形內(nèi)角，所以，即，又因為，即，即，又，得；【小問2詳解】若，則，由（1）知，由余弦定理可得，即，所以或，當時，，則，即為等腰直角三角形，又因為，此時不滿足題意，所以．18.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．已知“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為．（1）求的值；（2）記“星隊”在兩輪活動中猜對成語總數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式，列式求解（2）猜對謎語的總數(shù)為0，,1，2，3，4，結合獨立事件概率乘法公式，列舉出這四種情況下的概率，即可列表求解.【小問1詳解】“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為，所以，解得．【小問2詳解】設表示事件“甲在兩輪中猜對個成語”，表示事件“乙在兩輪中猜對個成語”，根據(jù)獨立性假定，得，，，，，，的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．19.如圖，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分別是，的中點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，證明平面平面，原題即得證；（2）取的中點，連接，．求出，取的中點，連接，以為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標系如圖所示．利用向量法求解.【小問1詳解】解：取的中點，連接，，∵M，N分別是，的中點，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．又，∴，同理可得，平面．∵平面MND，平面MND，，∴平面平面．∵平面MND，∴平面．【小問2詳解】取的中點，連接，．由已知得，∴是平行四邊形，∴．∵是正三角形，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴．設，．在Rt中，由，解得，即，取的中點，連接，則，以為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標系如圖所示．則，，，，，，由已知易得，平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則即取，則平面的一個法向量為∴，∵二面角為銳角，∴二面角的余弦值為．20.已知函數(shù)，．（1）若是上的單調遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，求在上的最小值；（3）證明：．【答案】（1）（2）0（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由導數(shù)法得單調遞增等價于的恒成立問題；（2）由導數(shù)法求最值即可；（3）由（2）可得在上恒成立，由導數(shù)法證恒大于0，則，令，，，…，不等式左右累加即可證.【小問1詳解】由已知可得：，即恒成立，又則有．【小問2詳解】由已知可得：，，令，在上單調遞減，又因為，，，所以存在使得，則有正負遞增遞減又有，，所以在上，則在上單調遞增，所以最小值為．【小問3詳解】由（2）可得在上恒成立，令，在上，所以單調遞增且，所以，，從而當時，令，，，…，得到，，，…，，相加得：．21.如圖1所示是一種作圖工具，在十字形滑槽上各有一個活動滑標M，N，有一根旋桿將兩個滑標連成一體，，D為旋桿上的一點且在M，N兩點之間，且．當滑標在滑槽內(nèi)做往復運動，滑標在滑槽內(nèi)隨之運動時，將筆尖放置于處進行作圖，當和時分別得到曲線和．如圖2所示，設與交于點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系．（1）求曲線和的方程；（2）已知直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點，記的面積為，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，設，，，利用向量等式關系確定坐標轉化關系，由，即得，按照坐標代換可得所滿足的方程，最后取和，即可得曲線和的方程；（2）根據(jù)直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點，討論直線的方程情況，按照面積公式分別求證即可.【小問1詳解】解：由題意，，設，，，所以，，