2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={-2,-1,0,1,2},8={x|0,,x<|},則Ap|8=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0）C.{0,1}D.{1,2}

2.（5分）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽

取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居

民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如圖：

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.（5分）若z=1+i,貝!J|iz+321=（）

A.475B.4應(yīng)C.20D.2>/2

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該

多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

5.（5分）將函數(shù)/a）=sin（5+（）3>0）的圖像向左平移I個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若

C關(guān)于y軸對(duì)稱，則。的最小值是（）

A.-B.-C.-D.-

6432

6.（5分）從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2

張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

7.6分）函數(shù)Ax-"“在區(qū)間產(chǎn)，自的圖像大致為（）

X

A.-1B.--C.-D.1

22

9.（5分）在長(zhǎng)方體A8C￡）-A8IG〃中，已知片。與平面ABCD和平面然48所成的角均

為30°,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面ABC0所成的角為30。

C.AC=CBtD.BQ與平面8BCC所成的角為45。

10.（5分）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2萬(wàn)，側(cè)面積分別為

S甲和5乙，體積分別為％和%若要=2,則單=（）

5710

A.&B.2>/2c.VioD.

4

11.（5分）已知橢圓C：5+[=l（a>6>0）的離心率為,，A，4分別為C的左、右頂

a-b~3

點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn).若區(qū)=則C的方程為（）

12.（5分）已知9”=10,?=10",-11,〃=8"'-9,則（）

A.a>O>bB.a>h>0C.h>a>0D.h>O>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）己知向量&=（犯3）,b=（l,/n+l）.若@_1_6,則/〃=.

14.（5分）設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在。/上，則。M的方程

為—,

22

15.（5分）記雙曲線C:與「馬=l（a>0/>0）的離心率為e,寫(xiě)出滿足條件“直線y=2x與

a-b~

C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值—.

16.（5分）已知AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ZADB=\20°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)一匕

AB

取得最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題;

共60分。

17.（12分）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營(yíng).為了解這兩家公司長(zhǎng)途

客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次

數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

附：K2=Md-bef

(a4-b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)記S“為數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和.已知—+〃=2a“+l.

n

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列；

(2)若見(jiàn)，%,砌成等比數(shù)列，求S”的最小值.

19.(12分)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底

面ABC。是邊長(zhǎng)為8(單位：cm)的正方形，AEAB,AFBC,AGCD,均為正三角

形，且它們所在的平面都與平面ABC。垂直.

(1)證明：防//平面A8CD;

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(%，/(%))處的切

線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若用=-1,求a;

(2)求a的取值范圍.

21.（12分）設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為/，點(diǎn)￡>（p,0）,過(guò)下的直線交C于

N兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別

為a,￡.當(dāng)a-夕取得最大值時(shí)，求直線A3的方程.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

2+r

22.（10分）在直角坐標(biāo)系x。），中，曲線G的參數(shù)方程為一6為參數(shù)），曲線G的

）=忑

2+s

參數(shù)方程為一6'（s為參數(shù)）.

y--y［s

（1）寫(xiě)出G的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

2cose-sin6=0,求C?與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及C3與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］（10分）

23.已知a,b,c均為正數(shù)，且〃+。2+4。2=3,證明：

（1）。+Z?+2G,3；

（2）若b=2c,則L+L.3.

2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(甲卷)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.【解答】解：集合4={-2,-1,0,1,2},B={x|0?x<-}.

則4n8={0,1,2}.

故選：A.

2.【解答】解：對(duì)于A,講座前問(wèn)卷答題的正確率從小到大為：

60%.60%,65%,65%,70%,75%.80%.85%,90%,95%,

講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)為：(70%+75%)/2=72.5%,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)為：

《(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=89.5%>85%,故8

正確；

對(duì)于C,由圖形知講座前問(wèn)卷答題的正確率相對(duì)分散，講座后問(wèn)卷答題的正確率相對(duì)集中，

.?.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為：100%-80%=20%,

講座前正確率的極差為：95%-60%=35%,

二講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

3.【解答］解：z=1+z,

:.iz+3z=i+i2+3(l-i)=i-1+3-3i=2-2i,

則|iz+3z|=G+(—2)2=2>/2.

故選：D.

4.【解答】解：由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱45。-A4GR，

四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如圖,

DiCi

Afi=4,4)=2,A4,=2,A4,_L平面ABCD,

二.該多面體的體積為：

V=l(4+2)x2x2=12.

故選：B.

5.【解答】解：將函數(shù)f(x)=sin(ox+()(0>0)的圖像向左平移y個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,

則C對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=sin(or+等+至，

?.?C的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，，也+四=&萬(wàn)+生，kwZ,

232

即0=2/+Lk&Z,

3

則令4=0,可得。的最小值是1,

3

故選：C.

6.【解答】解：根據(jù)題意，從6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(1,6),(2,3)，(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種取法,

其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4).(4,5).(4,6),

共6種情況，

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率P=9=2：

155

故選：C.

7.【解答】解：f(x)=(3、—3-*)cosx,

可知/(-x)=(3-x-y)cos(-x)=-(3*-3T)cosx=-/(x),

函數(shù)是奇函數(shù)，排除血)；

當(dāng)x=l時(shí)，f(1)=(3-3-')cosl>0,排除C.

故選：A.

8.【解答】解：由題意/(1)=6=—2,則f(x)-alnx—,

x

nm、a2ax+2

則f'{x)=-+—=——,

XXX

?.?當(dāng)X=1時(shí)函數(shù)取得最值，可得X=1也是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),

f(1)=4+2=0,即”=一2.

易得函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減,

故x=l處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，

2x2+2

則/⑵=~=,l,

222

故選：B.

9.【解答]解：如圖所示，連接A4，BD,不妨令⑨=1,

在長(zhǎng)方體A8CD-A8CR中，AD_L面AA3f,BB,±ffiABCD,

所以N耳。3和NDB]A分別為用力與平面和平面AA,B,B所成的角,

即NBQB=NDBiA=30。,

所以在RtABDB|中，BB,=A4,=1,BD=6,B、D=2,

在RgADB1中，DB、=2,4￡>=1,4片=百，

所以鉆=夜，CB、=yfi,AC=B,

故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤，

由圖易知，/歸在平面ASG力上的射影在4隹上,

所以ZBtAB為AB與平面A2C0所成的角，

在RtAABB］中，sinZB.AB=^-=-^==—

''ABtV33

故選項(xiàng)5錯(cuò)誤,

如圖，連接

則B]￡>在平面BB、C￡上的射影為B、C,

所以ZDB.C為B,。與平面BBgC所成的角,

在中，B、C=E=DC,所以NDBC=45。,

所以選項(xiàng)。正確，

故選：D.

10?【解答】解：如圖,

甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩

個(gè)圓錐的底面半徑分別為小口高分別為九，h2,

則2q=4/>2萬(wàn)4=2兀，解得｛=2,4=1，

由勾股定理可得九=小幾=2五，

=7io.

故選：C.

r2v2

11?【解答】解：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為二--=1(加>0),

9/nSm~

則A(-3〃?,0),4(3犯0),8(0,2圓),

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得:

B\-BA；=(-3w,-2x/2/n)-(3m,-2y/2m)=-9m2+8m2=-1,m2=1,

22

則橢圓方程為土+L=1.

98

故選：B.

12.【解答】解：???9加=10,.?.m=log910,

'/1=logg9<log910Vlog9yh29=g

「3

..1<"Z<一，

2

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xm_x_l(x>l),

f\x)=mx"-'-1,

1

令/'(x)>0,解得：x>m[~m

由上述有，1<mv=，可得Ovxvl,

2

故/(x)在(l,”)單調(diào)遞增，

故)(10)>/(8),又因?yàn)?(9)=9〃如|°-9-1=0，

故。>0>〃，

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.【解答】解：?向量5=(加,3),6=(1,m+1).aLb

a-b=m+3(m+1)=0,

則"7=-3,

4

故答案為：-3.

4

14.【解答】解：由點(diǎn)M在直線2x+y-l=0上，可設(shè)M(a1-2a),

由于點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在0M上，圓的半徑為

7(a-3)2+(l-2a-O)2=yj(a-0)2+(i-2a-1)2,

求得a=l,可得半徑為遙，圓心A/(l,-1),

故0M的方程為(x-iy+(y+l)2=5,

故答案為：(x—l)2+(y+l>=5.

15.【解答】解：雙曲線C:二-與=1(。>0/>0)的離心率為e,e=~,

ab~a

雙曲線的漸近線方程為y=±2*,

a

b82/_2

直線y=2x與C無(wú)公共點(diǎn)，可得?,,2,即」,,4,即—L,,4,

aa"a

可得1<6,有,

滿足條件“直線y=2x與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值可以為：2.

故答案為：2(ew(l,百］內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意).

16.【解答】解：設(shè)8￡>=x,CD=2x,

在三角形AS中，〃=4*+4-2?2X-2-COS60。，可得：h2=4x2-4x+4,

在三角形中，C2=X2+4-2-X-2-COS120°,可得：c2=x2+2x+4,

要使得如最小，即《最小，

ABc2

b24X2-4X+4,12

—=----------=4------------,

c2x2+2x+4.3

X4-1+—

x+1

其中X+1+/-..2石，止匕時(shí)!..4-2月，

x+1C

當(dāng)且僅當(dāng)X+1=G時(shí)，即X=6-1時(shí)取等號(hào)，

故答案為：>/3—1.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:

共60分。

17.【解答】解：（1）A公司一共調(diào)查了260輛車，其中有240輛準(zhǔn)點(diǎn)，故A公司準(zhǔn)點(diǎn)的概

率為加

8公司一共調(diào)查了240輛車，其中有210輛準(zhǔn)點(diǎn)，故8公司準(zhǔn)點(diǎn)的概率為212=2；

2408

（2）由題設(shè)數(shù)據(jù)可知，準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共450輛，未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共50輛，A公司共260輛，B

公司共240輛,

^=500X(240X3Q-210X20)1^32>2706)

260x240x450x50

.?.有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

18.【解答】解：（1）證明：由已知有：2s,+/=2〃4+〃…①,

才巴n換成”+1,2s,+|+(〃+1)?=2("+l)a“+|+n+1…②，

②一①可得：2?！?]=2(〃+1)4什|-2na?-2n，

整理得：an+l=+1,

由等差數(shù)列定義有4為等差數(shù)列;

（2）由已知有％2=%.%,設(shè)等差數(shù)列?！钡氖醉?xiàng)為X,由（1）有其公差為1,

故（x+6）2=（x+3）（x+8）,解得x=-12,故q=-12,

所以=-12+（“-l）x1=n-13?

故可得：<a2<a,<???<al2<0>a13=0,al4>0,

故S“在〃=12或者〃=13時(shí)取最小值，5,2=S|3=-~?~13=_78,

故5”的最小值為-78.

19?【解答】（1）證明：如圖所示，將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，

做于點(diǎn)E',做CBC于點(diǎn)尸'，

由于底面為正方形，AABE,ABCF均為等邊三角形，

故等邊三角形的高相等，即配=印'，

由面面垂直的性質(zhì)可知EE',均與底面垂直，

則EE7/"',四邊形￡￡尸尸為平行四邊形，則瓦V/ET',

由于EE不在平面ABCD內(nèi)，E'F'在平面ABCD內(nèi)，

由線面平行的判斷定理可得EF//平面ABCD.

(2)解：易知包裝盒的容積為長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積,

其中長(zhǎng)方體的高AA,=E￡=4g,

長(zhǎng)方體的體積匕=8x8x4百=256瓜加，

一個(gè)三棱錐的體積匕=^x(lx4x4)x4y/3=~~~cnji，

則包裝盒的容積為丫=匕-4匕=2566-4、巧叵=怨百c加

20?【解答】解:(1)由題意可得/(幻=3/-1,

則切線的斜率％=『'(-1)=2,

且/(T)=0,故切線方程為y=2(x+l),即2x-y+2=0,

由g'(x)=2x=2可得x=1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+a),

由于切點(diǎn)在直線2了一y+2=0上，故2—(1+。)+2=0,解得a=3.

(2)由題意可得尸(x)=3f—1,

當(dāng)時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)-弓<x<當(dāng)時(shí)，f\x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>#時(shí)，/,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

且函數(shù)的零點(diǎn)為X1=l,X2=—\f七=0,

繪制函數(shù)/(x)和函數(shù)g(x)的圖象如圖所示,

觀察可得，

當(dāng)4=-1時(shí)，函數(shù)/(X)和函數(shù)g(X)在點(diǎn)(1,1)處有公共點(diǎn)，函數(shù)存在公切線，

當(dāng)1時(shí)，函數(shù)/(X)和函數(shù)g(X)不存在公切線，

當(dāng)。＞-1時(shí)，函數(shù)/(X)和函數(shù)g(X)存在公切線，

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［T,+00).

21.【解答】解：(1)由題意可知，當(dāng)x=p時(shí)，y2=2p2,得y”=舟,可知|MO|=0p,

1^|=1.

則在RtAMFD中，|/7汗+|OW『=|汽河|2,得(與了+(行02=9,解得°=2.

則C的方程為尸=4尤；

(2)設(shè)用(占，乂)，N(X2,y2),A(x),%)，8(X4,為)，

由(1)可知尸(1,0),0(2,0),則tana=&〃v=,'?=1.勺=-----

占一超支M+必

44

又N、D、5三點(diǎn)共線，則心。=原。，即上二2=止9

%-2x4-2

.y2-o>4-°

,?2―2'

”一2"-2

44

Q

得必必=-8，即％=---；

%

同理由M、D、A三點(diǎn)共線，得力=一旦.

%

則tan夕=~^A=^-=.

尤3一匕為+”-2（必+必）

由題意可知，直線MN的斜率不為0,設(shè)/,“N：x=g，+l,

由卜-4》,得y2-4my-4=0,

[x=my+i

%+%=4機(jī)，X%=~4，貝！Jtana=——=——，tany3=-------=——，

4mm—2x4m2m

1_1

則tan（a-=皿…療==—L-,

1+tanatan夕l+l_.L2m+-

2minm

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，tan（a-/3）=——~?―,=—；當(dāng)〃zvO時(shí)，tan（a-7?）無(wú)最大值,

22r2、耳4

廠.當(dāng)且僅當(dāng)2加=2?，即m=也時(shí)，等號(hào)成立，tan（a-￡）取最大值，

m2

4

此時(shí)AB的直線方程為丁一為=------（不一芻），即4%一（為+”）丁+%乂=。，

%+%

p88-8（凹+必）oA/o一8