2021北京海淀高一（上）期末數(shù)學（教師版）

17/172021北京海淀高一（上）期末數(shù)學一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B.C. D.3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減是（）A. B. C. D.4.某校高一年級有180名男生，150名女生，學校想了解高一學生對文史類課程的看法，用分層抽樣的方式，從高一年級學生中抽取若干人進行訪談.已知在女生中抽取了30人，則在男生中抽取了（）A.18人 B.36人 C.45人 D.60人5.已知，且，則下列不等式一定成立是（）A. B. C. D.6.從數(shù)字中隨機取兩個不同的數(shù)，分別記為和，則為整數(shù)的概率是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含有的零點的是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.10.植物研究者在研究某種植物1-5年內的植株高度時，將得到的數(shù)據(jù)用下圖直觀表示.現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在1-5年內的生長規(guī)律，下列函數(shù)模型中符合要求的是（）A.(且)B.(，且)C.D.二?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上.11.不等式的解集為__________.12.某超市對6個時間段內使用兩種移動支付方式的次數(shù)用莖葉圖作了統(tǒng)計，如圖所示，使用支付方式的次數(shù)的極差為______；若使用支付方式的次數(shù)的中位數(shù)為17，則_______.支付方式A支付方式B420671053126m9113.已知，則的大小關系是___________________.(用“”連結)14.函數(shù)的定義域為D，給出下列兩個條件：①對于任意，當時，總有；②在定義域內不是單調函數(shù).請寫出一個同時滿足條件①②的函數(shù)，則______________.15.已知函數(shù)給出下列四個結論：①存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；③對任意實數(shù)和，函數(shù)總存零點；④對于任意給定的正實數(shù)，總存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.其中所有正確結論的序號是______________.三?解答題：本大題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或滿算步驟.16.已知全集，求：（1）；（2）.17.已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）解不等式.18.某網上電子商城銷售甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年，現(xiàn)從該商城已售出的甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機抽取50個，統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的數(shù)據(jù)如下：型號甲乙首次出現(xiàn)故障的時間x(年)硬盤數(shù)(個)212123假設甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立.（1）從該商城銷售甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率；（2）某人在該商城同時購買了甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，試估計恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年(即)的概率.19.函數(shù)的定義域為D，若存在正實數(shù)k，對任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質.（1）判斷下列函數(shù)是否具有性質，并說明理由.①；②；（2）已知為二次函數(shù)，若存在正實數(shù)k，使得函數(shù)具有性質.求證：是偶函數(shù)；（3）已知為給定的正實數(shù)，若函數(shù)具有性質，求的取值范圍.

參考答案一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖可得，由選項即可判斷.【詳解】解：由圖可知：，，由選項可知：，故選：D.2.若，則為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題的否定變換形式即可得出結果.【詳解】，則為.故選：A3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性和奇偶性對各個選項逐一分析即可.【詳解】對A，函數(shù)的圖象關于軸對稱，故是偶函數(shù)，故A錯誤；對B，函數(shù)的定義域為不關于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對C，函數(shù)的圖象關于原點對稱，故是奇函數(shù)，且在上單調遞減，故C正確；對D，函數(shù)的圖象關于原點對稱，故是奇函數(shù)，但在上單調遞增，故D錯誤.故選：C.4.某校高一年級有180名男生，150名女生，學校想了解高一學生對文史類課程的看法，用分層抽樣的方式，從高一年級學生中抽取若干人進行訪談.已知在女生中抽取了30人，則在男生中抽取了（）A.18人 B.36人 C.45人 D.60人【答案】B【解析】【分析】先計算出抽樣比，即可計算出男生中抽取了多少人.【詳解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽樣比為：，抽取的男生人數(shù)為：.故選：B.5.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對A，B，C，利用特殊值即可判斷，對D，利用不等式的性質即可判斷.【詳解】解：對A，令，，此時滿足，但，故A錯；對B，令，，此時滿足，但，故B錯；對C，若，，則，故C錯；對D，，則，故D正確.故選：D.6.從數(shù)字中隨機取兩個不同的數(shù)，分別記為和，則為整數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算出從數(shù)字中隨機取兩個不同的數(shù)，共有種情況，再求出滿足為整數(shù)的情況，即可求出為整數(shù)的概率.【詳解】解：從數(shù)字中隨機取兩個不同的數(shù)，則有種選法，有種選法，共有種情況；則滿足為整數(shù)的情況如下：當時，或有種情況；當時，有種情況；當或時，則不可能為整數(shù)，故共有種情況，故為整數(shù)的概率是：.故選：B.7.已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含有的零點的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】分析函數(shù)的單調性，利用零點存在定理可得出結論.【詳解】由于函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在和上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在和上均為增函數(shù).對于A選項，當時，，，此時，，所以，函數(shù)在上無零點；對于BCD選項，當時，，，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點在區(qū)間內.故選：C.8.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先由在區(qū)間上單調遞增，求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】解：的對稱軸為：，若在上單調遞增，則，即，在區(qū)間上單調遞增，反之，在區(qū)間上單調遞增，，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的充分不必要條件.故選：A.9.對任意正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)不等式恒成立等價于，再根據(jù)基本不等式求出，即可求解.【詳解】解：，即，即又當且僅當“”，即“”時等號成立，即，故.故選：C.10.植物研究者在研究某種植物1-5年內的植株高度時，將得到的數(shù)據(jù)用下圖直觀表示.現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在1-5年內的生長規(guī)律，下列函數(shù)模型中符合要求的是（）A.(且)B.(，且)C.D.【答案】B【解析】【分析】由散點圖直接選擇即可.【詳解】解：由散點圖可知，植物高度增長越來越緩慢，故選擇對數(shù)模型，即B符合.故選：B.二?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上.11.不等式的解集為__________.【答案】【解析】【詳解】由不等式，即，所以不等式的解集為.12.某超市對6個時間段內使用兩種移動支付方式的次數(shù)用莖葉圖作了統(tǒng)計，如圖所示，使用支付方式的次數(shù)的極差為______；若使用支付方式的次數(shù)的中位數(shù)為17，則_______.支付方式A支付方式B420671053126m91【答案】①.；②.【解析】【分析】根據(jù)極差，中位數(shù)的定義即可計算.【詳解】解：由莖葉圖可知：使用支付方式的次數(shù)的極差為：；使用支付方式的次數(shù)的中位數(shù)為17，易知：，解得：.故答案為：；.13.已知，則的大小關系是___________________.(用“”連結)【答案】【解析】【分析】利用特殊值即可比較大小.【詳解】解：，，，故.故答案為：.14.函數(shù)的定義域為D，給出下列兩個條件：①對于任意，當時，總有；②在定義域內不是單調函數(shù).請寫出一個同時滿足條件①②的函數(shù)，則______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意寫出一個同時滿足①②的函數(shù)即可.【詳解】解：易知：，上單調遞減，上單調遞減，故對于任意，當時，總有；且在其定義域上不單調.故答案為：.15.已知函數(shù)給出下列四個結論：①存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；③對任意實數(shù)和，函數(shù)總存在零點；④對于任意給定的正實數(shù)，總存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.其中所有正確結論的序號是______________.【答案】①②③④【解析】【分析】分別作出，和的函數(shù)的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為，和時函數(shù)的圖象，對于①：當時，，圖象如圖關于原點對稱，所以存在使得函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確；對于②：由三個圖知當時，，當時，，所以函數(shù)既無最大值也無最小值；故②正確；對于③：如圖和圖中存在實數(shù)使得函數(shù)圖象與沒有交點，此時函數(shù)沒有零點，所以對任意實數(shù)和，函數(shù)總存在零點不成立；故③不正確對于④：如圖，對于任意給定的正實數(shù)，取即可使函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，故④正確；故答案為：①②④【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵點是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論，和即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可研究分段函數(shù)的性質.三?解答題：本大題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或滿算步驟.16.已知全集，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出集合，再根據(jù)集合間的基本運算即可求解；（2）求出，再根據(jù)集合間的基本運算即可求解.【詳解】解：（1）由，解得：，故，又，；（2）由（1）知：，或，或.17.已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）解不等式.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調性的定義證明即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上單調遞增，得到，即可解出的集合.【詳解】解：（1）設任意的且，則，且，，，即，即，即對任意的，當時，都有，在區(qū)間上增函數(shù)；（2）由（1）知：在區(qū)間上是增函數(shù)；又，，即，即，解得：，即的解集為：.【點睛】方法點睛：定義法判定函數(shù)在區(qū)間上的單調性的一般步驟：1.取值：任取，，規(guī)定，2.作差：計算，3.定號：確定的正負，4.得出結論：根據(jù)同增異減得出結論.18.某網上電子商城銷售甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年，現(xiàn)從該商城已售出的甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機抽取50個，統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的數(shù)據(jù)如下：型號甲乙首次出現(xiàn)故障的時間x(年)硬盤數(shù)(個)212123假設甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立.（1）從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率；（2）某人在該商城同時購買了甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，試估計恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年(即)的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由頻率表示概率即可求出；（2）先分別求出從甲、乙兩種品牌隨機抽取一個，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率.【詳解】解：（1）在圖表中，甲品牌的個樣本中，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率為：，設從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內為事件，利用頻率估計概率，得，即從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率為：；（2）設從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年為事件，從該商城銷售的乙品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年為事件，利用頻率估計概率，得：，則,某人在該商城同時購買了甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率為：