2012-2021北京重點(diǎn)區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編：圓錐曲線章節(jié)綜合

24/242012-2021北京重點(diǎn)區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編圓錐曲線章節(jié)綜合一、單選題1．（2021·北京東城·高三期末）已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2015·北京西城·高三期末（理））已知拋物線，點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在拋物線C上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．3．（2015·北京朝陽·高三期末（理））過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)．若中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為6，則線段的長(zhǎng)為A． B． C． D．無法確定4．（2018·北京海淀·高三期末（理））已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)K為點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．使得為等腰三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)B．使得為直角三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)C．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)D．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)5．（2016·北京海淀·高三期末（文））已知點(diǎn)A（5，0），拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線C上，若點(diǎn)F恰好在PA的垂直平分線上，則PA的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C．3 D．4二、填空題6．（2019·北京朝陽·高三期末（理））過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為C，D．若|AF|＝4|BF|，則|CD|＝_____．7．（2018·北京海淀·高三期末（理））設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線和拋物線交于兩點(diǎn)，則________.8．（2012·北京海淀·高三期末（文））已知拋物線過點(diǎn)，那么點(diǎn)到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為_________.三、解答題9．（2021·北京東城·高三期末）已知橢圓：（）過點(diǎn)，，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)（，不重合），軸，垂足為，求證：．10．（2019·北京東城·高三期末（理））已知橢圓過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求其離心率；（Ⅱ）過點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），直線關(guān)于的對(duì)稱直線與橢圓交于另一點(diǎn)．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．11．（2018·北京東城·高三期末（文））已知橢圓C：的離心率為，其左焦點(diǎn)為F1（-1，0）．直線l：y=k（x+2）（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，直線BF1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為E．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求△F1AB的面積；（Ⅲ）證明：直線AE與x軸垂直．12．（2018·北京東城·高三期末（文））已知橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上一點(diǎn)，過原點(diǎn)且垂直于的直線與直線交于點(diǎn)，求面積的最小值.13．（2012·北京東城·高三期末（理））14．（2011·北京東城·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）若點(diǎn)在橢圓上，且三點(diǎn)共線，求證：點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.14．（2020·北京西城·高三期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線的斜率15．（2018·北京西城·高三期末（文））已知橢圓過，)兩點(diǎn)．(I)求橢圓的方程及離心率；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在橢圓上．試問直線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．16．（2018·北京西城·高三期末（文））已知橢圓過，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上．試問直線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．17．（2018·北京西城·高三期末（理））已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．(I)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若直線上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，求的值．18．（2016·北京西城·高三期末（理））已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（）求橢圓的方程．（）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交于兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線、的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由．19．（2020·北京西城·高三期末（文））已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方.（Ⅰ）求k的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為.判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.20．（2015·北京朝陽·高三期末（文））已知離心率為的橢圓：()與直線相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)，且．點(diǎn)、是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．21．（2020·北京朝陽·高三期末）已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不同于點(diǎn)），直線與直線：交于點(diǎn)．連接，過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：，，三點(diǎn)共線．22．（2019·北京朝陽·高三期末（理））過橢圓W:的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中，另一條過的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不與重合），且點(diǎn)不與點(diǎn)重合.過作軸的垂線分別交直線，于,.（Ⅰ）求點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程；（Ⅱ）求證：.23．（2018·北京朝陽·高三期末（文））已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，試證明：直線與軸平行．

參考答案1．C【解析】可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得出，再由焦半徑公式表示出，得到，結(jié)合這兩個(gè)關(guān)系式可求解【詳解】已知焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，得，可得設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得：，①又，，②根據(jù)①②解得點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為故選：C【點(diǎn)睛】拋物線中焦半徑公式如下：拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線上的一點(diǎn)，則，解題時(shí)可靈活運(yùn)用，減少計(jì)算難度.2．B【詳解】試題分析：設(shè)，由得，即，顯然，因此，所以，即．選B．考點(diǎn)：向量的垂直，圓錐曲線的存在性問題．3．C【詳解】試題分析：中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為6，則A,B到準(zhǔn)線的距離之和為12，即考點(diǎn)：直線與拋物線相交問題4．C【分析】為等腰三角形，考慮兩邊相等，結(jié)合圖形，可得有4個(gè)點(diǎn)；為直角三角形，考慮直角頂點(diǎn)，結(jié)合圖形，可得有4個(gè)點(diǎn)；考慮直線，與拋物線的方程聯(lián)立，解方程可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)；由對(duì)稱性可得有2個(gè)；考慮直線，代入拋物線的方程，解方程可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由對(duì)稱性可得點(diǎn)有4個(gè)．【詳解】由為等腰三角形，若，則有兩個(gè)點(diǎn)；若，則不存在，若，則有兩個(gè)點(diǎn)，則使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè)；由中為直角的點(diǎn)有兩個(gè)；為直角的點(diǎn)不存在；為直角的點(diǎn)有兩個(gè)，則使得為直角三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè)；若的在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程可得，解得，由對(duì)稱性可得在第四象限只有一個(gè)，則滿足的有且只有2個(gè)；使得的點(diǎn)在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程，可得，，可得點(diǎn)有2個(gè)；若在第四象限，由對(duì)稱性可得也有2個(gè)，則使得的點(diǎn)有且只有4個(gè)．故選：C5．D【詳解】試題分析：利用已知條件，判斷三角形PFA是形狀，利用拋物線的性質(zhì)與拋物線方程求出P的坐標(biāo)，通過兩點(diǎn)間距離公式求解即可．解：點(diǎn)A（5，0）在x軸上，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)P在拋物線C上，若點(diǎn)F恰好在PA的垂直平分線上，可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|，可得|PF|=4，由拋物線的定義可知，P的橫坐標(biāo)為：3，縱坐標(biāo)為：2．則PA的長(zhǎng)度為：=4．故選D．考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．6．【分析】設(shè)直線AB的傾斜家為銳角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，進(jìn)而得出sinθ的值，然后利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式計(jì)算出線段AB的長(zhǎng)，再利用|CD|＝|AB|sinθ可計(jì)算出答案．【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為θ，并設(shè)θ為銳角，由于|AF|＝4|BF|，則有，解得，則，由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，因此，．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵在于靈活利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，屬于中等題．7．2【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)且垂直與的直線和拋物線交于兩點(diǎn)，則,所以.8．【分析】把點(diǎn)代入拋物線，求出拋物線的方程，利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，即可求得答案.【詳解】∵拋物線過點(diǎn),∴，解得，拋物線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為,由拋物線的定義可得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.9．（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題中條件，根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，列出方程組，求出，，即可得出橢圓方程；（2）由題意可得，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為：（），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式等于零，得到，分別求出、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)軸，求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出和，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可得，，解得，，所以橢圓的方程為；（2）由題設(shè)知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為：（）．由消去，整理得．依題意，有，解得．設(shè)，，則，．因?yàn)檩S，所以，所以，又因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與圓錐曲線相關(guān)問題時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元后得到關(guān)于（或）的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理與判別式，以及題中條件，利用圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，即可求解.10．（Ⅰ），離心率．（Ⅱ）直線與直線平行．見解析【解析】（Ⅰ）將點(diǎn)代入到橢圓方程，解得的值，根據(jù)，得到的值，從而求出離心率；（Ⅱ）直線，，點(diǎn)，，將直線與橢圓聯(lián)立，得到和，從而得到的斜率，得到，得到直線與直線平行．【詳解】解：（Ⅰ）由橢圓過點(diǎn)，可得，解得．所以，所以橢圓的方程為，離心率．（Ⅱ）直線與直線平行．證明如下：由題意，設(shè)直線，，設(shè)點(diǎn)，，由得，所以，所以，同理，所以，由，，有，因?yàn)樵诘谒南笙?，所以，且不在直線上，所以，又，故，所以直線與直線平行.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓相交求交點(diǎn)，判斷兩直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.11．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析【分析】（Ⅰ）利用橢圓的離心率以及已知條件求解，，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，得到直線距離然后求解的面積；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求出直線的斜率；設(shè)直線的斜率為，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解證明即可．【詳解】解：（I）由已知有解得所以橢圓C的方程為．（II）由消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2-2）=0．由已知，△=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．直線l的方程為x-2y+2=0，F(xiàn)1（-1，0）到直線l的距離．所以△F1AB的面積為．（III）當(dāng)x2=-1時(shí)，．此時(shí)直線l的斜率為，由（II）知不符合題意，所以x2≠-1．設(shè)直線BF1的斜率為．則直線BF1的方程為y=t（x+1）．由消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2-2）=0．設(shè)E（x3，y3），則有．由得，代入上式整理得，解得．因?yàn)椋瑢?，代入，整理得x3-x1=0，所以x3=x1．所以直線AE與x軸垂直．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，計(jì)算量較大，有一定難度.12．（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）由右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直,根據(jù)等腰直角三角形及橢圓的幾何性質(zhì)可得,從而可得，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2））設(shè)，，則，先求出當(dāng)時(shí)的面積，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．即，直線的方程為根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及兩點(diǎn)間的距離公式可得，利用基本不等式可得面積的最小值．試題解析：（1）由題意，得解得．所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，則．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為或，．②當(dāng)時(shí)，直線的方程為．即，直線的方程為．點(diǎn)到直線的距離為，．所以，．又，所以且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，當(dāng)時(shí)，取得最小值1.13．(1)(2)見證明【分析】（1）先設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式大于0，即可求出斜率的范圍；（2）先設(shè)，先驗(yàn)證時(shí)，結(jié)合（1）的結(jié)果，可知不滿足題意；再設(shè)直線的斜率為，得直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理以及題中條件，即可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)直線.由消去，整理得.則，解得且，故直線的斜率的取值范圍為.（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，.此時(shí)直線的斜率為，由（1）知不符合題意，所以.設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由消去，整理得.設(shè)，則.由得，代入上式整理得，解得.則，由（1）知，，代入上式，整理得，所以，即點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓中直線斜率問題、以及橢圓中存在點(diǎn)滿足某條件的問題，熟記橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.14．（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出；（2）根據(jù)線段的垂直平分線求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出△ODC的面積，再表示出△CMF的面積，由△與△的面積相等列式，即可解出直線的斜率．【詳解】（1）由題意，得，直線（）設(shè)，，聯(lián)立消去，得，顯然，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的右側(cè)．（2）由（1）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．即．所以線段的垂直平分線方程為：．令，得；令，得．所以△的面積，△的面積．因?yàn)椤髋c△的面積相等，所以，解得．所以當(dāng)△與△的面積相等時(shí)，直線的斜率．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，以及三角形的面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．(Ⅰ)．．(Ⅱ)答案見解析.【詳解】試題分析：(I)由題意得進(jìn)而得橢圓方程，由求離心率即可；(Ⅱ)設(shè)，，若是平行四邊形，則，坐標(biāo)表示后得，帶入橢圓求解即可.試題解析：（Ⅰ）由題意得，，．所以橢圓的方程為．設(shè)橢圓的半焦距為，則，所以橢圓的離心率．（Ⅱ）由已知，設(shè)，．若是平行四邊形，則，所以，整理得．將上式代入，得，整理得，解得，或．此時(shí)，或．經(jīng)檢驗(yàn)，符合四邊形是平行四邊形，所以存在，或滿足題意．16．（1），；（2）存在，或.【詳解】試題分析：（1）由橢圓過，兩點(diǎn)可得，，，從而，進(jìn)而可得橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)，，若是平行四邊形，則，可得．將上式代入，可解得，或，從而可得出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析：（1）由題意得，，，所以橢圓的方程為．設(shè)橢圓的半焦距為，則，所以橢圓的離心率．（2）由已知，設(shè)，．若是平行四邊形，則，所以，整理得．將上式代入，得，整理得，解得，或．此時(shí)，或．經(jīng)檢驗(yàn)，符合四邊形是平行四邊形，所以存在，或滿足題意．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的存在性問題以及橢圓的離心率，屬于難題.(3)存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法很難時(shí)，采取另外的途徑.17．(1)(2)，或【詳解】試題分析：（Ⅰ）由橢圓過點(diǎn)，可得，再由離心率為結(jié)合，可求得，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，則，，由得，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式結(jié)合，可得，解方程即可求得的值.試題解析：（Ⅰ）由題意得，，所以．因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）若四邊形是平行四邊形，則，且.所以直線的方程為，所以，．設(shè)，．由得，由，得．且，．所以.．因?yàn)椋裕淼?，解得，或．?jīng)檢驗(yàn)均符合，但時(shí)不滿足是平行四邊形，舍去．所以，或．18．(1)橢圓方程為;(2)見解析.【詳解】（I）由題意得：，，又點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，，，∴橢圓的方程為．（II）存在符合條件的圓，且此圓的方程為．證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為．由方程組得．∵直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，即．由方程組得，則．設(shè)，則，，設(shè)直線的斜率分別為，∴，將代入上式，得．要使得為定值，則，即，代入驗(yàn)證知符合題意．∴當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)滿足為定值．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為．此時(shí)，圓與的交點(diǎn)也滿足．綜上，當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)滿足直線的斜率之積為定值．19．（Ⅰ）；（2）四邊形不可能為梯形，理由詳見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）（Ⅰ）直線過點(diǎn)，且斜率為k，所以直線方程可設(shè)為，若焦點(diǎn)在直線的下方，則滿足不等式，代入求的范圍；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，分別與拋物線聯(lián)立，因?yàn)橹本€和拋物線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)已知，故可利用韋達(dá)定理求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可求在點(diǎn)處的切線斜率，若四邊形是否為梯形，則有得或，根據(jù)斜率相等列方程，所得方程無解，故四邊形不是梯形.試題解析：（Ⅰ）解：拋物線的焦點(diǎn)為.由題意，得直線的方程為，令，得，即直線與y軸相交于點(diǎn).因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線的下方，所以，解得，因?yàn)?，所?（Ⅱ）解：結(jié)論：四邊形不可能為梯形.理由如下：假設(shè)四邊形為梯形.由題意，設(shè)，，，聯(lián)立方程，消去y，得，由韋達(dá)定理，得，所以.同理，得.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為.由四邊形為梯形，得或.若，則，即，因?yàn)榉匠虩o解，所以與不平行.若，則，即，因?yàn)榉匠虩o解，所以與不平行.所以四邊形不是梯形，與假設(shè)矛盾.因此四邊形不可能為梯形.考點(diǎn)：1、直線的方程；2、直線和拋物線的位置關(guān)系；3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.20．（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)離心率及點(diǎn)在橢圓上求出a,b，即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)可得，設(shè)直線：()，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理求出，，表示出即可求解.【詳解】（1）由已知得，則，設(shè)橢圓方程為()，由題意可知點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線、直線的斜率都存在且不等于，∵，∴，設(shè)直線的斜率為，則直線：()，將直線方程代入橢圓方程消去整理得：，即，化簡(jiǎn)得，解得，∵是方程的一個(gè)解，∴，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與橢圓相切，由題意可知直線的方程為，同理，易得，由于點(diǎn)、是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且能存在四邊形，則直線的斜率需滿足，設(shè)四邊形面積為，則：，由于，故，當(dāng)時(shí)，，即，∴四邊形面積的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：四邊形面積可分割為，利用三角形的公共邊表示三角的面積，即，利用直線與橢圓聯(lián)立求解即可，運(yùn)算量較大，屬于難題.21．（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可得到橢圓的方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）討論直線的斜率，利用是平行的證明，，三點(diǎn)共線．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以解得所以橢圓的方程為．所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．顯