多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算

多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，立體幾何試題是考查空間想象能力，邏輯思維能力和演繹推理能力的基本載體近幾年高考立體幾何試題以基礎(chǔ)題和中檔題為主，熱點(diǎn)問(wèn)題主要有證明點(diǎn)線面的關(guān)系。考查的重點(diǎn)是點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間距離和空間角，突出空間想象能力。。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，立體幾何的內(nèi)容和考查要求有了較大的變化：增加了三視圖，更強(qiáng)調(diào)幾何直觀，幾何證明有所削弱，淡化了距離問(wèn)題。因此，在復(fù)習(xí)中，以基本知識(shí)，基本方法為基礎(chǔ)，以通性通法為重點(diǎn)，培養(yǎng)空間幾何體的直觀認(rèn)知能力和邏輯推理能力。一般來(lái)說(shuō)，平面向量在高考中所占份量較大，我們從以下五方面探討立體幾何問(wèn)題的求解：多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算；由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計(jì)算：關(guān)于線線、線面及面面平行的問(wèn)題；關(guān)于線線、線面及面面垂直的問(wèn)題；關(guān)于空間距離和空間角的問(wèn)題。一、多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算：典型例題：例1.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為【】

(A)RB)討申D各【答案】A。【考點(diǎn)】三棱錐的性質(zhì)?！窘馕觥???AABC的外接圓的半徑r=^3?.點(diǎn)o到面ABC的距離d=<R2-r2二弓2[2又???SC為球O的直徑，.?.點(diǎn)S到面ABC的距離為2d=_3—???此棱錐的體積為V=3S X2d=1^43X236=￡。故選ao3aabc 3 4 3 6例2.平面a截球0的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的距離為、則此球的體積為【】(A).'6n(B)4\：?n(C)4\/6n(D)6\5n【答案】B?！究键c(diǎn)】點(diǎn)到平面的距離，勾股定理，球的體積公式?！窘馕觥坑晒垂啥ɡ砜傻们虻陌霃綖閺d，從而根據(jù)球的體積公式可求得該球的體積為:V=4x兀x匕)=43。故選B。例3.如下圖，已知正四棱錐S-ABCD所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記SE=x(0<x<1),截面下面部分的體積為V(x),則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為【】G1-2A【答案】A。B C D

G1-2A【答案】A。B C D【考點(diǎn)】棱錐的體積公式，線面垂直，函數(shù)的思想。【解析】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，若函數(shù)y=f(x)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí)，作為選擇題，可采用定性排它法：觀察圖形可知，當(dāng)0<x<2時(shí)，隨著x的增大，V(x)單調(diào)遞減，且遞減的速度越來(lái)越快，不是SE=x的線性函數(shù)，可排除C,D。當(dāng)2<x<1時(shí)，隨著x的增大,V(x)單調(diào)遞減，且遞減的速度越來(lái)越慢，可排除B。只有A圖象符合。故選A。如求解具體的解析式，方法繁瑣，而且計(jì)算復(fù)雜，很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄,并且作為選擇題也沒(méi)有太多的時(shí)間去解答。我們也解答如下:連接AC，BD，二者交于點(diǎn)0,連接S0,過(guò)點(diǎn)E作底面的垂線EH。當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí)，?.?SB=SD=BC=CD,.??SE丄BE,SE丄DE。.?.SE丄面BDE。BCD。程元數(shù)學(xué)工件繪制又???SA=SC=1,AC=i./2,S0=此時(shí)EH=遼4當(dāng)0<SE(x)<2BCD。程元數(shù)學(xué)工件繪制又???SA=SC=1,AC=i./2,S0=此時(shí)EH=遼4當(dāng)0<SE(x)<2時(shí)，截面與AD和AB相交，分別交于點(diǎn)F、D,設(shè)FG與AC相交于點(diǎn)I,則易得V(x)=1Sbcdfg?EH。棉元數(shù)學(xué)工作室繪制由EH〃SO,SE=x,CE=1—x,SO=~2:EH:EH二1：(1-x)(1-x)。由EI〃SA,SE二x,CS二1,AC=邁得x：AI二1：2，即AIr；2x。易知AAFG是等腰直角三角形，即FG=2AI=2込x。.S=--FG-AI=--2^2x?J2x=2x2。afg2 2.??V(x)二1S -EH二3BCDFG1心-S )?EH二1 —2x2)2?(1-x.??V(x)二1S -EH二3BCDFG3ABCD AAFG 3 2 6

與AC相交于點(diǎn)J,則易得V(x)=1S -EH。3ACMN我八//祥無(wú)勲學(xué)工卄主繪制當(dāng)2<SE(x)與AC相交于點(diǎn)J,則易得V(x)=1S -EH。3ACMN我八//祥無(wú)勲學(xué)工卄主繪制由EH〃SO,SE=x,CE=1—x,SO=~2,CS=1得f:已日=1(1-x)，即EH=#(1-x)o由EJ〃SA,SE=x,CE=1—x,CS=1,AC=\2得(1一x)：CJ=1：2，即CJ=\2(1—x)。易知ACMN是等腰直角三角形，即MN=2CJ=2*2(1—x)。?：S =--MNCJ=--2邁(1—x)?邁(1—x)=2(1—xkACMN2 2.??v(x)=32(1-x)2?乎(1-x)=￥(1-x八6—x綜上所述，V(x)=<1)2丿、(1—<x12座G一2x2)6—x綜上所述，V(x)=<1)2丿、(1—<x12結(jié)合微積分知識(shí)，可判定A正確。罟V。人們例4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑，“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個(gè)近似公式d罟V。人們還用過(guò)一些類似的近似公式。根據(jù)兀=3.14159-..判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是【】A.d沁16VA.d沁16VBd?即Cd?屠VDd?I；v【答案】D?！究键c(diǎn)】球的體積公式以及估算。【解析】由球的體積公式V=3兀R3【解析】由球的體積公式V=3兀R3得R=。對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證:3V4^，由此得d=23V4兀對(duì)于A.對(duì)于A.d沁16V有16?色，即“竺=3.375；9 9兀 16對(duì)于B.d沁32V有2沁—，即對(duì)于C.d沁300v有300157 157"需=3」4對(duì)于C.d沁300v有300157 157"需=3」4；對(duì)于D.d沁11V有11~—，即“11 11兀6x11F?3.1429;晉V中的數(shù)值最接近.?.d沁6V兀。故選D。例5?設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,71和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為V5的棱異面，則a的取值范圍是【】(A)(0,<2)(B)(0,^3)(C)(1a;2)(D)(1a'3)【答案】A?！究键c(diǎn)】異面直線的判定，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，勾股定理和余弦定理的應(yīng)用。C【分析】如圖所示，設(shè)四面體ABCD的棱AC長(zhǎng)為a，取BD中點(diǎn)P,連接AP,CP，所以AP丄BD,CP丄BD，C在RtAABP中，由勾股定理得AP—CP=—。2.?.在AACP中,AC2—a2—AP2+CP2-2AP-CPcosZAPC—1-cosZAPC。TZAPCg(0,兀),???cosZAPCg(―1,1)。.a2e(0,2)?ae(0,叮2)。故選A。例6.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2兀的半圓面，則該圓錐的體積為▲.【答案】<3【答案】<3^【考點(diǎn)】空間幾何體的體積公式和側(cè)面展開(kāi)圖?！窘馕觥俊究键c(diǎn)】空間幾何體的體積公式和側(cè)面展開(kāi)圖?！窘馕觥扛鶕?jù)該圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)條件得到2兀l2—2兀，解得母線長(zhǎng)/—2,2兀r=nl—2兀,r—1所以該圓錐的體積為:PV圓錐ishV圓錐ish—X22—12兀—3例7.—個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2兀,該圓柱的表面積為▲【答案】6“?！究键c(diǎn)】圓柱的表面積?！窘馕觥扛鶕?jù)該圓柱的底面周長(zhǎng)得底面圓的半徑為r=1，所以該圓柱的表面積為:S=2兀l+2兀r2=4兀+2兀=6兀。例9.如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值__▲(7(7【答案】3 2-c2-1。【考點(diǎn)】四面體中線面的關(guān)系，橢圓的性質(zhì)。【解析】作BE丄AD于E，連接CE，貝卩BC丄AD，BE[}BC=B，AAD丄平面BEC。又TCEu平面BEC，ACE丄AD。由題設(shè)，AB+BD=AC+CD=2a，AB與C都在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距所在直線ADoABE=CE。取BC中點(diǎn)F，連接EF，?/BC=2,???EF丄BC，BF=1，EF=\BE2—1。AS=-BC-EF八BE2—1。ABEF2A四面體ABCD的體積V=*Sabec-AD=豐JbE2—1。顯然，當(dāng)E在AD中點(diǎn)，即B是短軸端點(diǎn)時(shí)，BE有最大值為b=Qa2-c2。???V=匕a2—c2—1omax3例10.如圖，正方體ABCD—ABCD的棱長(zhǎng)為1。E，F(xiàn)分別為線段AA，BC上的點(diǎn)，則三棱錐D—EDF的體1111111積為▲ ?！敬鸢浮?6【考點(diǎn)】三棱錐的面積?！窘馕觥???三棱錐D1-EDF與三棱錐F-D1DE表示的是同一棱錐，VDedf=Vfdde。1 1 D一EDF F-DDEi i又???F-D1DE的底△DDE的面積是正方形面積的一半，等于1；底厶DDE上的高等于正方形的棱長(zhǎng)I,.1121V=V =丄x丄x1=。氣_EDF F-DDE32 6例11.若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB=CD,AC=BD,AD=BC，則▲一.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論編號(hào)）四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直四面體ABCD每個(gè)面的面積相等從四面體abcd每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90o而小于180。連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互垂直平分從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)【答案】②④⑤。【考點(diǎn)】四面體的性質(zhì)。【解析】①四面體ABCD每組對(duì)棱不相互垂直，命題錯(cuò)誤；四面體ABCD每個(gè)面是全等三角形，面積相等，命題正確；從四面體abcd每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180。，命題錯(cuò)誤；連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分，命題正確；例12.已知點(diǎn)P,AB,C,D是球0表面上的點(diǎn)，PA丄平面ABCD,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2點(diǎn)正方形。若PA=2訴,則厶0AB的面積為▲ .【答案】3J3?！究键c(diǎn)】組合體的的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。【解析】???點(diǎn)P，A，B，C，D是球0表面上的點(diǎn)，PA丄平面ABCD,??.點(diǎn)P，A，B，C,D為球0內(nèi)接長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，球心0為長(zhǎng)方體對(duì)角線的中點(diǎn)。.?.△OAB的面積是該長(zhǎng)方體對(duì)角面面積的1。4???AB=2込,PA=2拓，.??PB=6。?S =1x2J3x6=3j3?！鱋AB4例13