本 科 學(xué) 年 論 文

Page0題目二階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)院別數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師評(píng)閱教師班級(jí)2010級(jí)6班姓名覃淋學(xué)號(hào)201002411162012年10月22日內(nèi)江師范學(xué)院本科學(xué)年論文10-目錄摘要…………………1Abstract……………………11引言…………………22定理及證明…………………32.1定理一及其證明…………………32.2定理二及其證明…………………42.3定理三及其證明…………………52.4定理四及其證明…………………結(jié)束語…………………………7參考文獻(xiàn)…………………………9摘要：微分中值定理（包括費(fèi)馬定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）是溝通導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用函數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的重要工具，它們?cè)谖⒎謱W(xué)中處于十分重要的地位，是微分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，具有非常重要的理論意義．其中拉格朗日中值定理占據(jù)核心位置，文中主要研究了二階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)，得到了以下幾個(gè)結(jié)果，和關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；中間點(diǎn)；漸進(jìn)性；Abstract:Inthispaper,asymptoticbehaviorofthemeanvaluepointofthesecondorderLangrange’smeanvaluetheoremisconsidered.Thefollowingresultsareobtained:，和Keywords:Langrange’smeanvaluetheorem;meanvaluepoint;asymptoticbehavior．1引言17世紀(jì)下半葉,英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別初步創(chuàng)立了微積分,他們的出發(fā)點(diǎn)都是直觀的無窮小量.1666年,牛頓就開始了關(guān)于微積分的研究;1669年,他完成了自己的第一篇關(guān)于微積分的論文(但未公開發(fā)表),在這篇論文中牛頓給出了求瞬時(shí)變化率的一般方法,同時(shí)證明了面積可由求變化率的逆過程得到;1736年,牛頓發(fā)表了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》,在這部著作里牛頓提出并解決了:已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑求給定時(shí)刻的速度;已知運(yùn)動(dòng)速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的位移這兩個(gè)問題.萊布尼茲則在1684年發(fā)表了一篇名為《一種求極大極小值和切線的新方法》的論文,這是世界上公認(rèn)的最早的關(guān)于微積分理論的文獻(xiàn).另外他還在《潛在的幾何與不可分量和無限分析》中引入了積分符號(hào)，并證明了微積分基本定理.微積分的創(chuàng)立,推動(dòng)了數(shù)學(xué)的快速發(fā)展,解決了許多以前束手無策的難題.在一元函數(shù)微分學(xué)中，微分中值定理（包括費(fèi)馬定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）是溝通導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用函數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的重要工具，它們?cè)谖⒎謱W(xué)中處于十分重要的地位，是微分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，具有非常重要的理論意義．其中拉格朗日中值定理占據(jù)核心位置，羅爾中值定理是它的特殊情況，柯西中值定理和泰勒中值定理是它的推廣．人們對(duì)微分中值定理的研究，大約經(jīng)歷了二百多年的時(shí)間．從費(fèi)馬定理開始，經(jīng)歷了從特殊到一般，從直觀到抽象，從＂強(qiáng)＂條件到＂弱＂條件的發(fā)展，逐漸認(rèn)識(shí)到微分中值定理的普遍性．目前針對(duì)微分中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)的研究已經(jīng)取得了一些結(jié)果．文獻(xiàn)[4]研究了二階拉格朗日中值定理和柯西中值定理＂中間點(diǎn)＂的漸近性質(zhì)，文獻(xiàn)［5］研究了二階柯西中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)，文獻(xiàn)[6][7]分別研究了三階與四階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)；文獻(xiàn)[3]給出了一個(gè)非常有趣的事實(shí)，即當(dāng)時(shí)，的位置將趨于與的中點(diǎn)，寫作定理的形式：設(shè)函數(shù)滿足（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）存在且．則拉格朗日中值定理和柯西中值定理的中間點(diǎn)均滿足．但作者只證明了在一階的情況下的有這個(gè)結(jié)論，沒有討論二階或者更高階的拉格朗日中值定理中間點(diǎn)在一定條件下是否也具有同樣的性質(zhì)？文獻(xiàn)[4]雖然討論了二階拉格朗日中值定理和柯西中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性質(zhì)，但并不完善．本文主要是在文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究二階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì).2定理及證明為了本文定理及其證明，先給出以下引理：引理1[1]（一階拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù)滿足:⑴在上連續(xù)；⑵在內(nèi)可導(dǎo).則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得． （1）引理2[２]（二階拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù)滿足:⑴在上連續(xù)；⑵在內(nèi)二階可導(dǎo).則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.（2）定理1設(shè)函數(shù)滿足：(1)在上連續(xù)；(2)在內(nèi)存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且在點(diǎn)連續(xù)，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)滿足，為不為零的常數(shù),.則對(duì)任意的,一階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)滿足，．證明構(gòu)造函數(shù)（3）對(duì)任意，在上連續(xù)，在內(nèi)可微，由一階拉格朗日中值定理有，．因此,． （4）另一方面，應(yīng)用泰勒定理，將在處展開，得，.由于，則．（5）由（4）（5）兩式得.命題得證.定理2設(shè)函數(shù)滿足：⑴在上連續(xù)；⑵在內(nèi)三階可導(dǎo),且.則對(duì)任意的,二階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)滿足.證明構(gòu)造函數(shù)，.（6）對(duì)任意，在上連續(xù)，在內(nèi)可微，由二階拉格朗日中值定理有．（7）根據(jù)(6)與(7)式有．兩邊同時(shí)取極限，有．（8）另一方面由羅比達(dá)法則，連續(xù)求導(dǎo)，有．（9）由(8)(9)式得．定理得證．定理3設(shè)函數(shù)滿足：(1)在上連續(xù)；(2)在內(nèi)存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且在點(diǎn)連續(xù)，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)滿足.則對(duì)任意的,二階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)滿足證明構(gòu)造函數(shù)(10)對(duì)任意，在上連續(xù)，在內(nèi)可微，由二階拉格朗日中值定理有． (11)由以上兩式得．兩邊取極限，有（12）另外由羅比達(dá)法則，連續(xù)求導(dǎo)次．(13)由(12)(13)式可得．定理得證．定理4設(shè)函數(shù)滿足：(1)在上連續(xù)；(2)在內(nèi)階可導(dǎo)，且在點(diǎn)連續(xù)，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)滿足，則對(duì)任意的,二階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)滿足證明構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用泰勒定理，將在點(diǎn)泰勒展開，有,．則有另外由羅比達(dá)法則，連續(xù)求導(dǎo)次．由上兩式可得．定理得證．注：在定理一中取即得文獻(xiàn)三中的定理二；在定理四中取，即得定理三；若在此基礎(chǔ)上再取，即得定理二．結(jié)束語從費(fèi)馬定理到柯西中值定理，是一個(gè)逐步完善、不斷向前發(fā)展的過程，隨著相關(guān)理論的完善，微分中值定理也隨之完善起來.微分中值定理是微分學(xué)的核心,是研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間關(guān)系的重要工具.1637年,法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費(fèi)馬定理,現(xiàn)行大多數(shù)微積分教材中都將它列為微分中值定理的第一個(gè)定理.1691年法國數(shù)學(xué)家羅爾給出了多項(xiàng)式的羅爾定理,這是現(xiàn)在羅爾中值定理的特殊形式.1797年,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》中給出了拉格朗日中值定理,并給出了證明.在微積分建立以后的一段時(shí)期內(nèi)，由于自身理論的不完善性，微積分受到了很多人的攻擊．荷蘭數(shù)學(xué)家紐文蒂認(rèn)為微積分的＂無窮小＂與零無法區(qū)別；法國數(shù)學(xué)家羅爾說微積分是巧妙的謬論的匯集；對(duì)微積分做出最厲害攻擊則來自英國的貝克萊主教,1734年，他發(fā)表了一篇名為《分析學(xué)者，或致一個(gè)不信教的數(shù)學(xué)家，其中審查現(xiàn)代化分析的對(duì)象、原則與推斷是否比之宗教的神秘與信條，構(gòu)思更為清楚，或推理更為明顯》，他在這篇文章中指出，創(chuàng)立微積分的數(shù)學(xué)家們只是歸納而非演繹地推進(jìn)，他們對(duì)自己的每一步?jīng)]有給出邏輯，更沒有說明理由.他批判了牛頓的很多觀點(diǎn)，比如在牛頓的《求曲邊形面積》中他說牛頓首先給一個(gè)增量，然后又令它為零，這違背了背反律，是依靠雙重錯(cuò)誤得到的不科學(xué)的卻正確的結(jié)果；對(duì)于，貝克萊說它們既不是有限量也不是無窮小量，但又不是無，是消失的靈魂.在有人批判和攻擊微積分的同時(shí)，也有一大批數(shù)學(xué)家在努力改進(jìn)微積分．英國數(shù)學(xué)家朱林于1734年發(fā)表《幾何學(xué)，非不信教的朋友》試圖為牛頓的＂瞬＂和＂流數(shù)＂作出解釋，可惜未能成功；英國數(shù)學(xué)家麥克勞林于1742年發(fā)表《流數(shù)論》，用窮竭法作為微積分的基礎(chǔ)；歐拉則拒絕無窮小的概念，他在1755年的《原理》中說：＂一個(gè)無窮小量是一個(gè)正在消失的量，因此它本身就等于零，按無窮小的定義，他應(yīng)小于任意指定的量，這樣它就該是無，否則總能給它一個(gè)與之相等的量，但這是矛盾的＂.歐拉雖然沒有完成微積分的嚴(yán)密化，但他把微積分從幾何中解放出來，使其建立在代數(shù)的基礎(chǔ)上，為后來實(shí)數(shù)系統(tǒng)的微積分理論奠定了基礎(chǔ).達(dá)朗貝爾在他的一篇論文中說“極限理論是微積分的真正對(duì)象……它決不是微分學(xué)中的無窮小量的一個(gè)問題：它獨(dú)特的是有限量的極限問題.”同時(shí)他給出了極限的一個(gè)“定義“：一個(gè)變量趨近于一個(gè)固定量，趨近的程度小于任何的給定量，這和現(xiàn)代微分學(xué)中極限的定義極其相似，但他并沒有結(jié)合他的正確思想作出微積分形式的闡述，另外他的許多觀點(diǎn)是非常含糊的，甚至讓人懷疑某個(gè)變量是否一定能達(dá)到它的極限.柯西則以嚴(yán)格化為目標(biāo),對(duì)微積分理論進(jìn)行了重構(gòu),建立了極限理論，以極限理論作為微積分的理論基礎(chǔ).他在《無窮小計(jì)算教程概論》給出了拉格朗日中值定理的嚴(yán)格證明,并推廣得到了柯西中值定理.他同時(shí)利用極限把無窮小定義為＂以零為極限的變量＂，在此基礎(chǔ)上又定義了導(dǎo)數(shù)、微分、連續(xù)性等概念，糾正了萊布尼茨所謂連續(xù)性原則的邏輯錯(cuò)誤,柯西的工作在很大程度上使微積分的理論基礎(chǔ)進(jìn)入嚴(yán)格化.后來德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯繼續(xù)進(jìn)行微積分的嚴(yán)格化,回避了無窮小的問題，解決了連續(xù)性的問題，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)；接著德國數(shù)學(xué)家戴德金繼續(xù)進(jìn)行未完成的工作，提出了＂戴德金分割＂理論，填補(bǔ)了有理數(shù)系中的＂缺口＂，使實(shí)數(shù)系變?yōu)檫B續(xù)；然后康托爾創(chuàng)立的＂集合論＂解決了關(guān)于極限、連續(xù)性的非議.到此，微積分的嚴(yán)格化已基本完成，解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī),使微積分得以更廣泛的應(yīng)用，成為數(shù)學(xué)史上影響最為深遠(yuǎn)的一門學(xué)科.本文通過在文獻(xiàn)［3］和［4］的基礎(chǔ)上主要研究了二階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)，進(jìn)一步熟悉了微分中值定理的有關(guān)性質(zhì)，通過對(duì)其的研究主要得到了以下幾個(gè)結(jié)果、和．對(duì)于二階的柯西中值定理中間點(diǎn)的性質(zhì)和高階微分中值定理中間點(diǎn)的性質(zhì)本文沒有進(jìn)行研究，但在參看相關(guān)文獻(xiàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論，對(duì)于三階、四階直至階的柯西中值定理與拉格朗日中值定理中間點(diǎn)均成立，關(guān)于這一方面的研究目前已有很多結(jié)果，可參閱相關(guān)文獻(xiàn).參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,2001,第3版.[2]杜家祥.柯西中值定理與拉格朗日中值定理的高階形式[J].淮北煤師院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,22（4）67-70.[3]張廣梵.關(guān)于微分中值定理的一個(gè)注記[J].數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐,1988,18(1):87-89.[4]徐國棟.二階拉格朗日定理和柯希定理＂中間點(diǎn)＂的漸進(jìn)性質(zhì)[J].北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào),1990,10(2):84-89.[5]王成偉.二階柯西中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)[J].北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào),2003,23(2):63-65.[6]王成偉.三階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì)[J].北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào),2004,24(4):37-40.[7]王成偉.