河北省石家莊市第八十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

河北省石家莊市第八十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則

(

)參考答案：C2.橢圓ax2+by2=1與直線y=1﹣x交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：綜合題．分析：聯(lián)立橢圓方程與直線方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理得AB中點坐標：（），AB中點與原點連線的斜率k===．解答： 解：聯(lián)立橢圓方程與直線方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中點坐標：（），AB中點與原點連線的斜率k===．故選A．點評：本題考查直線和圓錐曲線的經(jīng)綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，，，點E為的中點，則點到平面AEC的距離為（

）A. B. C. D.1參考答案：A【分析】利用等體積法，由，確定的面積及C到平面的距離可得.【詳解】設(shè)到平面的距離為，由于為正四棱柱，且點為的中點，則，，，，且點到平面的距離為，由等體積法，，得，即點到平面的距離為，選A．【點睛】本題考查點到平面的距離，一般可直接幾何作圖，在直角三角形中計算距離；或利用等體積法.考查空間想象能力及計算能力，屬于中檔題.4.若雙曲線E：的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|=7，則|PF2|等于（）A．1 B．13 C．1或13 D．15參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的定義真假求解即可．【解答】解：雙曲線E：的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|=7，a=3，b=4，c=5．點P在雙曲線E左支上．則|PF2|=2a+|PF1|=6+7=13．故選：B．5.函數(shù)的最大值與最小值之差為A

B.

4

C.

3

D.參考答案：A6.已知實數(shù)x，y滿足不等式組則的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略7.高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大發(fā)明”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別為，它們的平均數(shù)為，方差為；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為，，，，，它們的平均數(shù)為，方差為，則，分別為（

）A.， B.， C.， D.，參考答案：C【分析】由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，化簡、運算，即可求解，得到答案.【詳解】由平均數(shù)的計算公式，可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為：故選C.【點睛】本題主要考查了樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算與應(yīng)用，其中解答中熟記樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，合理化簡與計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知雙曲線的離心率為，且它的一個焦點到一條漸近線的距離為2，則雙曲線的標準方程可以是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：焦點在軸時，漸近線方程，，焦點到漸近線的距離，，解得，即方程是，若焦點在軸方程就是，故選B.考點：雙曲線標準方程9.若x≥0，y≥0，且x+2y=1，則2x+3y2的最小值是（）A．2 B． C． D．0參考答案：B【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】由題設(shè)條件x≥0，y≥0，且x+2y=1，可得x=1﹣2y≥0，從而消去x，將2x+3y2表示成y的函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求出最小值得出答案【解答】解：由題意x≥0，y≥0，且x+2y=1∴x=1﹣2y≥0，得y≤，即0≤y≤∴2x+3y2=3y2﹣4y+2=3（y﹣）2+，又0≤y≤，y越大函數(shù)取到的值越小，∴當(dāng)y=時，函數(shù)取到最小值為故選B10.設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項和為，則A.

B.

C. 4

D.2參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)的最大值為

。參考答案：略12.拋物線在處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為（包含三角形內(nèi)部和邊界）。若點是區(qū)域內(nèi)的任意一點，則的取值范圍是

▲

參考答案：易知切線方程為：所以與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域三個點為易知過C點時有最小值，過B點時有最大值0.513.如圖偽代碼的輸出結(jié)果為．參考答案：26【考點】偽代碼．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=1+1+3+…+9的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=1+1+3+…+9的值并輸出．∵S=1+1+3+…+9=26故答案為：2614.若，是第二象限的角，則_______．參考答案：略15.

；參考答案：.16.使函數(shù)y＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)兩次最大值，則ω的最小值為________．參考答案：17..已知集合參考答案：,，所以三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.砷是廣泛分布于自然界中的非金屬元素，長期飲用高砷水會直接危害群眾的身心健康和生命安全，而近水農(nóng)村地區(qū)，水質(zhì)情況更需要關(guān)注．為了解甲、乙兩地區(qū)農(nóng)村居民飲用水中砷含量的基本情況，分別在兩地隨機選取10個村子，其砷含量的調(diào)查數(shù)據(jù)如下（單位：ACC1A1）：甲地區(qū)的10個村子飲用水中砷的含量：52

32

41

72

43

35

45

61

53

44乙地區(qū)的10個村子飲用水中砷的含量：44

56

38

61

72

57

64

71

58

62（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成莖葉圖，試比較兩個地區(qū)中哪個地區(qū)的飲用水中砷含量更高，并說明理由；（Ⅱ）國家規(guī)定居民飲用水中砷的含量不得超過50，現(xiàn)醫(yī)療衛(wèi)生組織決定向兩個地區(qū)中每個砷超標的村子派駐一個醫(yī)療救助小組．用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從乙地區(qū)隨機抽取3個村子，用X表示派駐的醫(yī)療小組數(shù)，試寫出X的分布列并求X的期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機變量及其分布列．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（I）法1：求出甲地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，推出乙地區(qū)的飲用水中砷含量更高．法2：利用莖葉圖可直接推出結(jié)果，乙地區(qū)的引用水中砷含量更高．（II）由題可知若從乙地區(qū)隨即抽取一個村子，需要派駐醫(yī)療小組的概率：得到X的分布列，求出期望．【解答】解：（I）法1：設(shè)甲地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，；設(shè)乙地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，．由以上計算結(jié)果可得，因此可以看出乙地區(qū)的飲用水中砷含量更高．法2：從莖葉圖可以看出，甲地區(qū)的調(diào)查結(jié)果中有80%的葉集中在莖“3”“4”“5”，而乙地區(qū)有80%的葉集中在莖“5”“6”“7”，因此乙地區(qū)的引用水中砷含量更高…（II）由題可知若從乙地區(qū)隨即抽取一個村子，需要派駐醫(yī)療小組的概率：X的分布列為…

X0123P∵…【點評】本題考查莖葉圖以及離散型隨機變量的分布列期望的求法，考查計算能力．19.（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.參考答案：（1）見解析（2）見解析【分析】（1）由展開利用基本不等式證明即可；（2）由，結(jié)合條件即可得解.【詳解】證明：（1）因為，當(dāng)時等號成立.（2）因為，又因為，所以，，，∴.當(dāng)時等號成立，即原不等式成立.【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，需要進行配湊，具有一定的技巧性，屬于中檔題.20.（本題16分）平面直角坐標系中，為坐標系原點，給定兩點，點

滿足，其中，（1）求點的軌跡方程（2）設(shè)點的軌跡與雙曲線（）交于兩點、，且以為直徑的圓過原點，求證：為定值參考答案：解：（1）設(shè)，∵，∴∴，∵α－2β=1∴x+y=1,即點C的軌跡方程為x+y=1。---------6分（2）

聯(lián)立方程組，消去y，整理得，依題意知,設(shè)∴∵以MN為直徑的圓過原點，∴即∴，∴∴=2為定值

---------16分

21.在平面直角坐標系中,以為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,取相同的長度單位,已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).

(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程.

(2)若直線與曲線相交于,兩點,求的值.參考答案：(1).曲線的極坐標方程為,即,可得直角坐標方程:.由(為參數(shù))消去參數(shù)可得普通方程:.

(2).把直線的方程代入圓的方程可得:,則,,∴22.（本小題滿分12分）節(jié)日期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段后得到如下圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）此調(diào)查公司在采樣中用到的是什么抽樣方法?（Ⅱ）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值.（Ⅲ）若從車速在的車輛中任抽取2輛,求抽出的2輛車中車速在的車輛數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：（I）系統(tǒng)抽樣

……2分