2022年高二數(shù)學(xué)上冊常考題專練重難點突破專題18 圓錐曲線選填中檔題匯編含答案

2022年高二數(shù)學(xué)上冊?？碱}專練重難點突破專題18圓

錐曲線選填中檔題匯編（1）

一.選擇題（共10小題）

1.已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)（3,0）是E的焦點，過尸的直線/與E相交于4,8兩點,

且43的中點為M（-2,右），則E的方程為（）

22

2.已知雙曲線C:5-t=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,點P是C的右支上

ab~

一點，尸耳連接尸耳與y軸交于點/,若|片0|=2|?！▅（。為坐標原點），則雙曲線C

的漸近線方程為（）

A.y=+y/2xB.y=+2xC.y=+\[5xD.y=+3x

2

3.若點。和點尸分別為雙曲線r土-V=1的中心和左焦點，點尸為該雙曲線上的任意一點,

2

則麗?麗的最小值為（）

12

A.2+B.2-,\[GC.—D.—

22

4.已知耳，E分別是橢圓專+￡=1的左、右焦點，過后的《直線與過E的直線4交于點

N,線段環(huán)2的中點為線段內(nèi)N的垂直平分線心與的交點尸（第一象限）在橢圓

上，且心交x軸于點G,則需的取值范圍為（）

A.（0,V2+l）B.（0,V2+l]C.（0,^D.

5.設(shè)耳，巴是雙曲線。：5-/=1（。>0,6>0）的左、右焦點，尸是雙曲線C右支上一點.若

\PF}\+\PF2\=（>a,且&坨巴=&2,則雙曲線C的漸近線方程是（）

A.A/2X±=0B.x±yfly=0C.V3x±2y=0D.2x±y/3y=0

6.已知不入是橢圓爭得=1的左，右焦點，尸是橢圓上任意一點，過耳引””的

外角平分線的垂線，垂足為0,則。與短軸端點的最近距離為（）

A.5B.4C.2D.1

1/33

7.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點片，旦，尸，。分別是它們在第一象限和第三象限的交

點，且N0gP=6O。，記橢圓和雙曲線的離心率分別為q,%則3=+31等于（）

e\e2

A.4B.2拒C.2D.3

22

xv2

8.已知雙曲線C:*-T=l（q>0,b>0）的左、右焦點分別為F2,過點耳的直線與圓

好+必=/相切于點。，交雙曲線的右支于點尸，且點。是線段尸身的中點，則雙曲線C的

漸近線方程為（）

A.y=~~^~xB.y=±；xC.y=+y/3xD.y=+2x

22

9.過雙曲線*"-WW>。力>0）的右焦點/作圓的切線尸加，交y軸于點尸，

1.n.

切圓于點若兩=§而+§而，則雙曲線的離心率是（）

A.75B.73C.2D.近

10.己知點石、8分別為雙曲線7:=l（a>0,6>0）的左、右焦點，過用的直線與雙

/b2

曲線T的左、右兩支分別交于4、8兩點，若|26|:|8-|:|/例=5:5:4,則雙曲線T的離心

率為（）

A.-B.屈C.2"D.不

2

二.多選題（共13小題）

2222

11.已知橢圓M:「+4=l（a>b>0）,雙曲線==若雙曲線N的兩條漸近線

ab“mn

與橢圓M的四個交點及橢圓"的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結(jié)論正確的是（

）參考數(shù)據(jù)1.414,6*1.74）

A.橢圓的離心率e=6-lB.雙曲線的離心率e=2

C.橢圓上不存在點/使得福?而<0

D.雙曲線上存在不同的四個點4?=1,2,3,4）,使得與巴垂直4巧

r22

12.已知曲線C的方程為-^一+二v一=l（keR）,則下列結(jié)論正確的是（）

k-26-k

A.當2c攵<6,曲線C為橢圓

B.當人=0時，曲線。為雙曲線，其漸近線方程為歹=±岳

2/33

C."k>6或％<2”是“曲線C為雙曲線”的充要條件

D.不存在實數(shù)”使得曲線C為離心率為的雙曲線

13.如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，A,B、,當為橢圓的頂點，F(xiàn)為右焦

點，延長與廠與交于點2，若N8/當為鈍角，則該橢圓的離心率可能為（）

0ID-

14.設(shè)Z（X],必）,B6,外）是拋物線丁=4x上兩點，O是坐標原點，若。下列

結(jié)論正確的為（)

A.乂％為定值

B.直線48過拋物線_/=4x的焦點

C.最小值為16

D.O到直線AB的距離最大值為4

15.已知橢圓G：與=l（a>b>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),離心率為q,橢圓G的

a~42

上頂點為P,且△0/=；心的面積為〃.雙曲線G和橢圓G焦點相同，且雙曲線C2的離心率為

%/是橢圓G與雙曲線的一個公共點，若/耳朋8=9,則下列說法正確的是（

C.e；+e；=2D.e：—e；=g

A.殳=百B.e.e2=-

64

16.已知雙曲線C過點（3,啦）且漸近線為y=±*x,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.C的方程為工-『=1

3

B.C的離心率為百

C.曲線y=e*-2_i經(jīng)過c的一個焦點

D.直線=0與C有兩個公共點

3/33

17.已知拋物線E:『=4x的焦點為尸，準線為/,過尸的直線與E交于4,8兩點，C,

。分別為/,8在/上的射影，且|XF|=3|BF|,"為Z8中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ZCFD=90°B.△CM。為等腰直角三角形

C.直線Z8的斜率為土百D.線段48的長為3

3

18.在平面直角坐標系xQy中，己知雙曲線C:5-4=15>0,6>0）的離心率為且，拋

物線V=4后的準線過雙曲線的左焦點，A,8分別是雙曲線C的左，右頂點，點尸是雙

曲線C的右支上位于第一象限的動點，記P/,P8的斛率分別為九，k2,則下列說法正確

的是（）

雙曲線C的漸近線方程為y=±2xB.雙曲線C的方程為二-/=1

c.左向為定值;D.存在點尸，使得匕+&=2

19.我們通常稱離心率是叵］的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓

2

C：—+^-=1（67>/>>0）,4,A2,4，當分別為左、右、上、下頂點，耳，鳥分別為左、

右焦點，尸為橢圓上一點，下列條件中能使橢圓C為'‘黃金橢圓”的是（）

Bi

A.14幣?儲41=14招『B.4旦4=90。

C.軸，且尸?！?片D.四邊形4與44的內(nèi)切圓過焦點￡,

八

20.已知拋物線/=2px（p>0）的焦點為尸，過點尸的直線/交拋物線于4、B兩點,以線

段48為直徑的圓交y軸于A/、M兩點，則（）

A.若拋物線上存在一點E（2,f）到焦點廠的距離等于3,則拋物線的方程為/=4x

B.若|/尸|=2|8尸|,則直線/的斜率為2&C.若直線/的斜率為百，則

I”哼

D.設(shè)線段力8的中點為尸，若點尸到拋物線準線的距離為2,則sinNPA/N的最小值為,

2

21.已知耳，名分別為雙曲線=1（。>0力>0）的左、右焦點,4，4分別為其實軸

/h2

的左、右端點，且|片￡|=幺，點P為雙曲線右支一點，/為△尸與鳥的內(nèi)心，則下列結(jié)論

a

正確的有（）

A.離心率6=忘+1

B.點/的橫坐標為定值a

C.若久協(xié)=邑物+犯師（加夫）成立，貝n=3-1

D.若尸，垂直x軸于點4,則"4

22.己知橢圓C:捺+方=1（“>6>0）的左、右焦點分別為￡,￡,其長軸長是短軸長的;，

若點尸是橢圓上不與耳，心共線的任意點，且△尸片心的周長為16,則下列結(jié)論正確的是（

）

A.C的方程為---H-——1

2516

4

B.C的離心率為

5

c.雙曲線三-乙=1的漸近線與橢圓c在第一象限內(nèi)的交點為（3,3石）

5433

D.點。是圓X2+J/=25上一點，點Z,8是C的左、右頂點（。不與4,8重合），設(shè)

直線P8,08的斜率分別為占，&,若/,P,0三點共線，則25勺=16&

23.發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有興趣.像笛卡爾卵形線

一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線.卡

西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點到兩定點（焦點）的距離之積為常數(shù).已

知：曲線C是平面內(nèi)與兩個定點6（-1,0）和6（1,0）的距離的積等于常數(shù)a2（a>1）的點的軌跡,

則下列命題中正確的是（）

A.曲線C過坐標原點B.曲線C關(guān)于坐標原點對稱

c.曲線c關(guān)于坐標軸對稱D.若點在曲線c上，則aKP行的面積不大

于

2

5/33

三.填空題(共10小題)

24.已知橢圓彳+3=1的上焦點為F,M是橢圓上一點，點/(26,0),當點以在橢圓

上運動時，|M4|+|W|的最大值為.

22

25.設(shè)F為橢圓C:0+￡=1的左焦點，尸為C上第一象限的一點.若NFPO=三,

ab6

\PF\=y[3\OF\,則橢圓C的離心率為.

22

26.在平面直角坐標系工作中，F(xiàn)1,居分別為橢圓[+2=13＞?。?))的左、右焦點，B、

ab~

q人2

C為橢圓的上、下頂點，直線叫與橢圓的另一個交點為。，若△￡8工的面積為言，則

直線的斜率為一.

27.已知拋物線C:/=4x的焦點F與雙曲線(-的右焦點相同，則雙曲線

的方程為一，過點尸分別作兩條直線右，直線4與拋物線C交于4,8兩點，直線4

與拋物線C交于D,E兩點，若4與4的斜率的平方和為1,則|481+1DE|的最小值為.

28.汽車前照燈的反射鏡為一個拋物面.它由拋物線沿它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成.通常前照

燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成，其中燈泡位于拋物面的焦點上.由燈泡發(fā)出的

光經(jīng)拋物面反射鏡反射后形成平行光束，再經(jīng)過透鏡的折射等作用達到照亮路面的效果.如

圖，從燈泡發(fā)出的光線尸尸經(jīng)拋物線V=2px反射后，沿PN平行射出，NQN的角平分線

所在的直線方程為2x+y-12=0,則拋物線方程為一.

29.如圖，過拋物線V=2px(p＞0)的焦點尸的直線/交拋物線于點力,8,交其準線于點

C,若15cl=2|8尸且尸|=3,則直線的方程為.

6/33

y

30.設(shè)F為拋物線C:y=8x的焦點，過F且傾斜角為60。的直線交。于4,B兩點，。為

坐標原點，則AO/B的面積為.

31.已知拋物線y=gx2的焦點為尸，過尸的直線/與拋物線交于N,B兩點,拋物線的準

線與y軸交于點“，當七四最大時，弦48長度是一.

可

32.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于4,8兩點，交C的準線于。，E兩點.已知

|/5|=4后，|小|=26，則C的焦點到準線的距離為.

21

33.已知是拋物線y=2px（p>0）與雙曲線上r三-產(chǎn)=3有一個公共的焦點尸，點尸為拋

物線上任意一點，A/（-l,0）,則也的最小值是,

\PM\

專題18圓錐曲線選填中檔題匯編（1）

一.選擇題（共10小題）

1.已知雙曲線￡的中心為原點，尸（3,0）是E的焦點，過尸的直線/與E相交于/,8兩點,

且N8的中點為〃（-2,右），則E的方程為（)

y2

A-T-f=IB/Vc』-1

D,-------------------1D

6354-十》

2

r2J

【解答】解：設(shè)雙曲線的標準方程為0=l(a>0,b>0),由題意知c=3,a2+f>2=9,

a

設(shè)/（王，%），8（%，為），

則有:

%一%/（3+乙）-4川

兩式作差得:

2

芭一々a（y,+y2）2氐?

7/33

又的斜率是叵

—2—3J：

所以將2/=力代入/+/=9,

解得Q*=6,b2=3.

所以雙曲線的標準方程是W-*=1?

63

故選：B.

V22

2.已知雙曲線。:=-彳v=1（。>0力>0）的左、右焦點分別為耳，工，點尸是C的右支上

ab~

一點，尸耳，尸g.連接尸耳與y軸交于點M,若|耳0|=2|0加|（0為坐標原點），則雙曲線C

的漸近線方程為（）

A.y=+\[2xB.y=±2xC.y=±V5xD.y=+3x

【解答】解：在△可居中，tanNPK^=W￥=*^='，

1212

\PF}\|￡O|2

???|]用=2|"月|,

由雙曲線的定義知，\PFl\-\PF2\=2a,

尸耳|=4a,\PF2\=2a,

?/PFJPF2,

2

:\PF^^\PF2^=\F,F2I,即16/+4。2=4i，即^=5/，

b2=c2—a2=5a2—a2=4a2,即2=2,

a

雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

故選：B.

2

3.若點。和點尸分別為雙曲線上-/=1的中心和左焦點，點尸為該雙曲線上的任意一點,

2

則而?存的最小值為（）

1->

A.2+痛B.2-46C.-D.--

22

【解答】解：設(shè)尸（x,y）（x,-0或x.0）,

由題意可得，尸（-G，0）,0（0,0）,

則赤=（x,y）,而=（x+百/）,

OP>FP=x2+43x+y2=x2+y/3x+--\^-x2+^3x-1

22

8/33

=—(X+~*(X，-或，

.?.當X=-V2時，OP^FP取最小值為|(-72+乎)2-|=2-a.

故選：B.

4.已知耳，鳥分別是橢圓專+以=1的左、右焦點，過耳的《直線與過6的直線4交于點

N,線段￡N的中點為M,線段月N的垂直平分線M尸與。的交點尸(第一象限)在橢圓

上，且心交x軸于點G,則需的取值范圍為()

A.(0,亞+1)B.(0,72+1]C.(0,^^-)D.(0,^^-]

【解答】解：因為尸M為耳N的中垂線，所以

又。為百巴的中點，所以|OM|=g|乙N|,

設(shè)點P(x0,%),(x0＞0,外＞0),因為耳(-c,0),

XC222

所以|「耳|=7(0+)+K=,J(x0+c)+(l-^-)b=a+ex0,

同理可得|次|=。-ex(),

所以I《N|=|P6HPEI=2%,則|OA1|=%，

又由已知橢圓方程可得Q=8,b=4五,所以c=40,

則e=￡=，所以|OA/|=--xQ，

a22

42

因為。呷所以也=3=二^一+」^

\GP\\PF\V2&航

28--產(chǎn)8-三x0

因為與e(0,8),且y=-1+—'一在(0,8)上單調(diào)遞增,

,8%。

當x（,=0時，y=0,當x0=8時，y=亞+1,

所以ye（0,行+1）,

故選：A.

5.設(shè)片，鳥是雙曲線C:*—《=1(。＞0力＞0)的左、右焦點，P是雙曲線C右支上一點.若

9/33

\PFi\+\PF2\=6a,且S“尸的=①2,則雙曲線。的漸近線方程是（）

A.y[2x±y=0B.x土也y=。C.y/3x±2y=0D.2x±y/3y=0

【解答】解：由雙曲線的定義知，|。耳|-|P￡|=2a,

??,|尸耳|+1+鳥|=6a,

??.|P耳|=4*\PF2\=2a,

"S^]F2=~\PF}\-\PF2\sinZFtPF2,

1-4a-2a-sinNF/B=夙，即sin/耳尸乙=,

在△PFtF2中，由余弦定理知

cos々PF：+1”廣-小號】16a2+4/-4/+〃）7、

122

2\PFt\-\PF2\2-4a-2a4a,

22

?/sinZ.FiPF2+cosZJFiPF2=1,

化簡得，4=2,

a

雙曲線c的漸近線方程為夕=±2'=±缶，即⑸土y=o.

a

故選：A.

V22

6.已知百，鳥是橢圓元+巳v=1的左，右焦點，P是橢圓上任意一點，過百引/石尸尼的

外角平分線的垂線，垂足為。，則。與短軸端點的最近距離為（）

A.5B.4C.2D.1

【解答】解：?./是焦點為耳、E的橢圓（+看=1上一點，

尸0為4尸乙的外角平分線，QFXLPQ,

設(shè)F?的延長線交F2P的延長線于點M,

PM|=|PF、|,

：

■\PFX\+\PF2\=2a=10,MF21=|PM\+\PF2\=2a=10,

由題意知。0是△耳瑪"的中位線，

0Q\=a=5,

點的軌跡是以。為圓心，以5為半徑的圓，

10/33

當點。與y軸重合時，

。與短軸端點取最近距離〃=。-6=5-4=1.

故選：D.

7.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點耳，F(xiàn)2,P,。分別是它們在第一象限和第三象限的交

點，且尸=60。，記橢圓和雙曲線的離心率分別為q,q,則3等于()

e\e2

A.4B.2百C.2D.3

【解答】解：設(shè)橢圓的長半軸長為q,雙曲線的半實軸長為生,P在雙曲線的右支上，

根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得|「月|+|「乙|=2叫，|尸耳|-|「6|=2%,

可得|用|=%+電，I/名|=。]一出，設(shè)的l=2c,ZQF2P=60°,

四邊形耳尸死。是平行四邊形，所以，N片％=120。，

在△尸耳月中由余弦定理得，4c2=?+%>+(%-%)？一2(4+的)(%-%)cos120°,

化簡得3a：+al-4c2,

該式可化為：號+粵=4,

CC

結(jié)合C]=—,e2=—,

%%

則3=+31=4.

故選：A.

22

8.已知雙曲線C：A-==l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過點耳的直線與圓

ab~

相切于點。，交雙曲線的右支于點尸，且點。是線段尸片的中點，則雙曲線C的

漸近線方程為()

A.y=~~^~xB.y=±；xC.y=±6xD.y=±2x

【解答】解：如圖，連接00,PF1,

?：過點Ft的直線與圓f+/=a2相切于點。，，尸可，

11/33

依題意可得|。0|=。，|。尸|產(chǎn)匕,:.\QF]\=b,\PFl\=2b,\PF2\=2af

???|P耳|一|尸瑪|=2〃,/.2b-2a=2a,

bc

/.—=2,

a

???雙曲線C的漸近線方程為y=±-x=±2x.

a

?+/=/的切線，交y軸于點尸,

___1___）__

切圓于點M,若兩=；而+：而，則雙曲線的離心率是（）

A.V?B.73C.2D.V2

___1__o__

【解答】解：若麗=一赤+—而，可得尸A/=2MP,且OM_LPb,

33

由|OM|二a,\OF\=c,可得|"==b,\MP\=^,

在AOP廠中，由直角三角形的射影定理可得|OM『二|M可?|心|,

則a2=/??—,即b=yfla,

2

貝lje=￡=Jl+q=Jl+2=G,

a\a

故選：B.

12/33

22

10.已知點耳、8分別為雙曲線7:]-方=15>0,6>0）的左、右焦點，過巴的直線與雙

曲線7的左、右兩支分別交于/、B兩點,若耳|:|56|:|43|=5:5:4,則雙曲線7的離心

率為（）

A.—B.向C.277D.不

2

【解答】解：\AFl\:\BFi\:\AB\=5:5:4,

設(shè)18gb機，|AFX|=5t,\AB\=M,則|B耳|=5f,\AFi|=5Z,

根據(jù)雙曲線的定義，得M平|一|/耳|=|3片|-|帆|=2a,

即4r+m-5t=5t-m=2ai

解得t=afm=3a

即|4耳|=5Q,Mg|=7a,|3月|=5〃，|

△月中，|不巴『冒「+13工『一218片||8g|cosNK8片

4c2=9a2+25a2-2x3〃x5axcosNF？BF、,

在三角形力8月石中，I力片|2=|幽|2+|力例2-213用.M0cos乙4BF、

222

4c=16a+25a-2x4。x5。xcos48耳，cos/-F1BFX4-cosZJJ?/^=0,

4c2=46。2,可得c=a,

2

因此，該雙曲線的離心率e=巫.

2

故選：A.

13/33

二.多選題(共13小題)

11.已知橢圓河：鳥+與=1(“>6>0),雙曲線N：W-A=1.若雙曲線N的兩條漸近線

abrnn

與橢圓"的四個交點及橢圓”的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結(jié)論正確的是(

）參考數(shù)據(jù)（夜=1.414,石=1.74）

A.橢圓的離心率e=B-l

B.雙曲線的離心率e=2

C.橢圓上不存在點/使得福?正<0

D.雙曲線上存在不同的四個點8,6=1,2,3,4),使得烏耳垂直與巴

【解答】解：如圖，設(shè)|￡用|=2c,則由正六邊形性質(zhì)可得點/(I，

由點/在橢圓上可得》+翡=1,結(jié)合可得號=2癢3,

所以橢圓的離心率el=/_.="-26=百-1,故4正確，

所以2/一(表)2=[2-4(e-I)2142Vo,

所以當點/為橢圓上頂點時，cosNE/g<0,此時西?而<0,故C錯誤,

點%,爭在雙曲線N：/A的漸近線上可得茨邛C,哈5

所以雙曲線的離心率弓=2,故8正確,

當由正六邊形的性質(zhì)可知，雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點與，B2,B,,鳥,

使得垂直與死，故。正確.

故選：ABD.

14/33

A.當2cA<6,曲線C為橢圓

B.當％=0時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為y=±瓜

C."4>6或4<2"是“曲線。為雙曲線”的充要條件

D.不存在實數(shù)上使得曲線C為離心率為&的雙曲線

【解答】解：對于力：當曲線C表示橢圓時，"2>0且6-Q0,解得2〈左<6,

但k=4時，曲線。為r+/=2,表示圓，故/錯誤；

22/T

對于8：當％=0時，曲線C為匕一三=1,漸近線為、=土區(qū)'=±半》=土瓜，故8正確;

對于C：當曲線C為雙曲線，則(4-2)(6-/)<0,解得《<2或左>6,故C正確；

對于。：當曲線C為離心率為e=JI的雙曲線時，則a=b,即|%-2|=|6-%|,解得太=4,

經(jīng)檢驗4=4時，曲線C表示圓，故。正確，

故選：BCD.

13.如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，A,B1,4為橢圓的頂點，尸為右焦

點，延長員F與/片交于點尸，若/qPB?為鈍角，則該橢圓的離心率可能為()

【解答】解：由題意設(shè)/(a,0),4(0,6),B式0,-b),F(c,0),

則ABt=(-a,b),W2=(-c,-b),

且/及P區(qū)為向量幅與國的夾角，

15/33

因為/用尸名為鈍角，

則福?反<0,即（-a,b）-（-c,-h）<0,

即ac-y<0,又或=a?_c?,

所以a?—"—廿>0,BP2+e-l<0,解得

e22

J5-[

X0<e<l,所以0<”二^——?0.617,

2

故選：BCD.

14.設(shè)力（須，必），B（x2,必）是拋物線丁=4x上兩點，。是坐標原點，若O4J.O3,下列

結(jié)論正確的為（）

A.M力為定值

B.直線48過拋物線V=4x的焦點

C.最小值為16

D.O到直線的距離最大值為4

【解答】解：設(shè)直線力8方程為x=my+〃，4（%,必），8（工2，歹2），

將直線AB方程代入拋物線方程/=4x,焦點坐標（1,0）

得y2-4町-4/2=0,

貝I］必+外=4加，y1y2=，

二必必二-4/7

OA±OB，k?k=—1,n=4.

OAOB2

x}x2-Anrn+4〃+〃

于是直線48方程為x=〃沙+4,該直線過定點（4,0）.故/正確;

焦點坐標不滿足直線方程，所以8不正確;

yty2=-4〃=-16，

；Q||OB|=ix斤牙?我虧?

=；xI必力IX.XJ（必2+16）笳+16）

=；xj（y；+16）（yj+16）

…;xj2《165]囚16|%|2=16.當且僅當|以|=|%|=4時，取等號,

16/33

SMOB最小值為16.所以C正確；

O到直線Z8的距離d=74“4,當機=0時，”取得最大值4,即O正確；

+機2

故選：ACD.

22

xv一

15.已知橢圓G：/+}=l(“>6>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,離心率為q,橢圓G的

上頂點為p,且△尸耳鳥的面積為/.雙曲線c2和橢圓G焦點相同，且雙曲線。2的離心率為

%,"是橢圓G與雙曲線的一個公共點，若NFMF?=三,則下列說法正確的是()

=

A.—=A/3B.exe2=-C.e：+e；=2D.ef~~

ex42

【解答】解：由題意可得△WB的面積為=

即有b=c,則q=￡=-T=-=>

ay/2c2

設(shè)雙曲線的方程為二■-《=1("?>0,〃>0),M在第一象限，且耳|=s,也不|=f,

m~n

由橢圓的定義可得S+/=2G,由雙曲線的定義可得s-，=2〃?,

解得S=4+〃？，，=〃-〃？，

c2-L/2—4c21

在△肛《中，cosZ^A^s=-——------=-,

1st2

則s2+12-st=4c2,可得(a+m)2+(a—m)2—(a+m)(a—m)=a2+3nr=4c2,

則￡+/=4,即有3+與=4,

ccq/

由q=孝，可得02=當，

則-=>/3,ef+e；=—+—=2,—e^=———=-l,

2e}2222

所以選項4C正確；8。錯誤.

故選：AC.

16.已知雙曲線C過點(3,行)且漸近線為y=±等x,則下列結(jié)論正確的是()

A.C的方程為上-/=1

3

B.C的離心率為道

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C.曲線y=，-2_i經(jīng)過c的一個焦點

D.直線》-0-1=0與C有兩個公共點

【解答】解：設(shè)雙曲線C的方程為工+匕=1(機〃<0),

mn

根據(jù)條件可得2+2=i,且一

mnm3

解得朋=3,/?=—1,

2

所以雙曲線C的方程為工-V=1,故/對；

3,

離心率e=：=F^=Fp=￥，故8錯；

雙曲線C的焦點為(2,0),(-2,0),將x=2代入得y=e°—l=0,所以C對；

f2

-x2_1

聯(lián)立,整理得/一2。+2=0,則△=8-8=0,故只有一個公共點，故。

x--J2y-1=0

錯，

故選：AC.

17.已知拋物線E:/=4X的焦點為尸，準線為/,過尸的直線與￡交于4,B兩點,C,

。分別為4,8在/上的射影，且|/尸|=3|8"，”為N8中點，則下列結(jié)論正確的是()

A./LCFD=90°B.ACM。為等腰直角三角形

C.直線48的斜率為±6D.線段48的長為史

3

【解答】解：由拋物線方程_/=4x,可得焦點尸(1,0),

準線方程為x=-l,

由題意可得直線AB的斜率不為0,

由題意設(shè)直線的方程為：x=my+\,

設(shè)”(陽，必)，B5,%),

由題意可知C(-l,乂)，。(-1,%)，

將直線AB與拋物線E:y2=4x聯(lián)立整理得y2-4my-4-01

則必+K=4機，yty2=-4,

A中,FC>FD=(-2,必)?(一2,y2)=(-2)x(-2)+yty2=4-4=0,即定J.而，即ZCFD=90°,

所以/正確；

8中，由力正確，不可能CM_LOM,更不會NMC?；騈MDC為直角，所以8不正確；

18/33

C中，因為M用=3|8尸I，所以萬=3而，即％=-3%,又%+%=4加，y,y2=-4,

所以b2%=4",解得“2=[,即"?=士也，所以直線N3的斜率為±6,所以C正確；

[-3%=-433

。中，由題意可得弦長

|AB|=71+w2+?2）。-4、必=1+〃一,-^4zn）2+16=J+）,6（1+^=~>所以。正

確.

故選：ACD.

18.在平面直角坐標系xQy中，已知雙曲線。=-二=1（。>00>0）的離心率為正，拋

a~2

物線y2=4后的準線過雙曲線的左焦點，A,8分別是雙曲線C的左，右頂點，點尸是雙

曲線C的右支上位于第一象限的動點，記尸力，尸8的斜率分別為用，k2,則下列說法正確

的是（）

A.雙曲線C的漸近線方程為、=±2t

B.雙曲線C的方程為巨-爐=1

4-

C.勺&為定值1

D.存在點尸，使得勺+%=2

...e=￡=好，2=J邑2-1」,漸近線方程為v=±1x,故4錯誤;

a2a\a22

又c=J?,則a=2,b2=\,則雙曲線方程為工-V=],故8正確：

19/33

???力(—2,0),8(2,0),設(shè)尸(x,y),貝lj左渡2=*-------—=/—=,，故C正確；

x+2x-2x-44

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