2020-2021學(xué)年浙江省臺州市臨海市某中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年浙江省臺州市臨海市邵家渡中學(xué)八年級

（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V8B.V15C.V25

2.要使代數(shù)式標(biāo)有意義，則（）

A.zn>0B.m<0C.m=0D.不存在

3.如果線段a、b、c,滿足a2=c2-b2,則這三條線段組成的三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

4.己知a=2021X2023-2021x2022,b=V20242-4X2023-c=V20222+2.

則a,b,c的關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c

5.如圖，菱形ABC。的邊長為6,乙4=60°,

積為（）

A.9V3

B.18V3

C.36

D.36>/3

6.已知在中，AB=5,AC=9,D,

點(diǎn)，則DE的長可以是（）

A.6

B.7

C.8

D.9

7.有一個(gè)邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他

的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍

成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，

變成了如圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝

繁葉茂”，請你算出“生長”了2021次后形成的圖形

中所有的正方形的面積和是（）

A.2022B.2021C.2020D.1

8.如圖，已知矩形04BC的周長為18,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,7),

則矩形0ABe的面積為()

A.28

B.16

C.8

D.4

9.如圖，n/lBCD的對角線相交于點(diǎn)。，且48440,過點(diǎn)。

作OE1BD交BC于點(diǎn)E,若4CDE的周長為10,則口力BCD

的周長為()

A.14B.16C.20D.18

10.若正方形4BCD的邊長為12,E為BC邊上一點(diǎn)，且襄=：M為線段4E上一點(diǎn)，射

LE7

線BM交正方形的一邊于點(diǎn)尸，且BF=4E,貝DBM長為()

A.B.等吟TD|

二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)

11.實(shí)數(shù)2-g的倒數(shù)是

12.如圖，延長矩形4BCO的邊BC至點(diǎn)E,使CE=BD,連結(jié)4E,如果=30°,

則ZE=度.

13.如圖，在菱形ABCD中，/.BAD=80°,4B的垂直平分

線交對角線4C于點(diǎn)E,交4B于點(diǎn)F,連接DE,則

Z.CDE=.

14.已知4(1,1),8(4,3),C(6,-2),在平面直角坐標(biāo)找一點(diǎn)D,使以4、B、C、。四點(diǎn)

的四邊形為平行四邊形，則。點(diǎn)的坐標(biāo)是.

第2頁，共23頁

15.如圖，在菱形ABCD中，△4EF是等邊三角形，E,F分別在BC,CD上，且EF=CD,

求4B4D的度數(shù)

16.如圖，正方形4BCD和正方形CEFG中，點(diǎn)。在CG邊上.連接4F,H是力產(chǎn)的中點(diǎn),

若CH=有，正方形力BCD的面積為1,則正方形CEFG的面積為.

三、解答題（本大題共8小題，共64.0分）

17.計(jì)算:

(1)V27-V12+

(2)2V8V18.

18.如圖是由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)(小

正方形的頂點(diǎn))上.

(1)求四邊形4BC。的面積和周長；

(2)求乙4DC的度數(shù).

19.如圖，在△ABC中，。是邊的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作射線AD的垂線，垂足分別

為E、F,連接BF、CE.

(1)求證：四邊形BEC尸是平行四邊形；

(2)若4F=FD,在不添加輔助線的條件下，直接寫出與aABD面積相等的所有三

角形.

20.由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹甲被從點(diǎn)4處攔腰折斷，如圖所示，其樹恰好落在另一

棵樹乙的根部C處，已知4B=4米，BC=13米，兩棵樹的株距(兩棵樹的水平距離

)為12米，請你運(yùn)用所學(xué)的知識求這棵樹原來的高度.

第4頁，共23頁

21.(1)觀察下列各式的特點(diǎn)：

V2-1>V3-V2,

V3-V2>2-V3.

2-V3>V5-2，

V5-2>V6-V5.

…根據(jù)以上規(guī)律可知：V2021-V2020V2022-V2021(iM">"“<"或

“=”).

(2)觀察下列式子的化簡過程：

1=但T_萬一1

引一(V2+1)(V2-1)7乙"

1_晶一"一Q一萬

75W5―(x/3+V2)(V3-V2)

.1=_6-四_=網(wǎng)-耳

V4+V3(x/4+V3)(>/4-V3)V。'…

根據(jù)觀察，請寫出式子舄言522,且n是正整數(shù))的化簡過程.

(3)根據(jù)上面(1)(2)得出的規(guī)律計(jì)算下面的算式：

11…11,…11

17^一8+方-1小+或一機(jī)+百1+1小+%一病+〃1+“

11

.+1—==--------::1

VToo+V99VToT+Vioo

22.已知，在。4BCD中，AE1BC于點(diǎn)E,AF1CD于點(diǎn)F,S.AE=AF.

(1)如圖1,當(dāng)EC=4,4E=8時(shí)，求。力BCD的對角線BC的長；

(2)如圖2,若點(diǎn)M為CO的中點(diǎn)，連接EM,4M.求證：AM=EM.

23.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

(1)如圖1,四邊形48co中，點(diǎn)E,F,G,H分別為邊4B,BC,CD,ZM的中點(diǎn).求

證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形力BCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足P4=PB,PC=PD,乙APB=4CPD,

點(diǎn)E,F,G,"分別為邊4B,BC,CD,D4的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，

并證明你的猜想；

(3)若改變(2)中的條件，使乙4PB=ACPD=90°,其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四

邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想.

24.如圖，△48。中3。=(1,AC=b,^ACB=90°,其中a<b；

(1)求線段AB的長(用a和b的代數(shù)式表示)；

(2)如圖1,若a=6,b=8,點(diǎn)尸在4B上，點(diǎn)。在AC上，點(diǎn)尸到4c和BC的距離相等,

AD=AF,連接FD,求DF的長；

(3)如圖2,若尸為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別在線段CA,CB上，S.AD=AF,BE=BF,

連接FD,EF和DE,則NFDE=90。，求藍(lán)的值.

第6頁，共23頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、V8=2V2,不是最簡二次根式；

B、后是最簡二次根式，符合題意；

C、儂=|5，不是最簡二次根式；

D、R=也,不是最簡二次根式；

\22

故選：B.

利用最簡二次根式的定義判斷即可.

此題主要考查了最簡二次根式，正確把握最簡二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：由題意得：

I-m>0

解得：m=0,

故選：C.

根據(jù)二次根式有意義的條件可得0,再解不等式組即可.

此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的

長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

如果在一個(gè)三角形中，有兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三

角形.

【解答】

解：?.?a2=c2-b2,

:.a2+b2=c2,

??.這三條線段組成的三角形是直角三角形.

故選民

4.【答案】D

【解析】解：a=2021x2023-2021x2022

=2021x(2023-2022)

=2021

=<20212,

b=V20242-4x2023

="2023+1)2-4x2023

=7(2023-l)2

=V20222,

c='20222+2,

v20212<2022?<20222+2,

a<b<c.

故選：D.

根據(jù)題意a中提取公因式可得2021x(2023-2022),即可得出a=2021,根據(jù)二次根

式的性質(zhì)可得a=V20H7,b的被開方數(shù)可化為(2023+I)2-4x2023,根據(jù)完全平方

公式的變式應(yīng)用可化為(2023-1產(chǎn)，可得b=伍疹，再根據(jù)二次根式比較大小的方

法進(jìn)行求解即可得出答案.

本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，完全平方公式，二次根式的比較大小，熟練掌

握二次根式的性質(zhì)與化簡，完全平方公式，二次根式的比較大小進(jìn)行求解是解決本題的

關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：???菱形4BCD的邊長為6,

過。作DE14B于E,貝IJ/DE4=90°,

vZ.A=60°,

???4ADE=30°,

???AE=-AD=3,

2

第8頁，共23頁

由勾股定理得：DE-y/AD2—AE2=V62-32=3-73)

二菱形力BCD的面積是48XDE=18次，

故選：B.

根據(jù)菱形的性質(zhì)求出和AB長，解直角三角形求出DE,根據(jù)面積公式求出即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，能求出高DE長是解此題的關(guān)鍵.

6.【答案】A

【解析1解：???AB=5,AC=9,

4<BC<14,

???D,E分別是4B,AC的中點(diǎn)，

???DE=-BC,

2

2<DE<7,

故選：A.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到4<BC<14,根據(jù)三角形中位線定理得到DE=\BC,判斷

即可.

本題考查的是三角形中位線定理、三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的中位線平行于第三

邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解：由題意得，正方形4的面積為1,

由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1,

“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為

2,

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的

面積和為3,

二“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

二“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2022.

故選：A.

根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總

結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那

么a2+b2=c2.

8.【答案】C

【解析】解：連接。B,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,7),

0B2=42+72=16+49=65,

???矩形。力BC的周長為18,

???OC+BC=18+2=9,

二(0C+BC)2=0C2+20C-BC+BC2=81,

???OC2+BC2=OB2=65,

???20C-BC=16,

???OC-BC=8.

故選：C.

連接OB,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求OB?,再根據(jù)矩形。ABC的周長為18,可得。C+

BC=9,再根據(jù)勾股定理和矩形的面積公式即可求解.

本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是求出OJBC的值.

9.【答案】C

【解析】解：???四邊形4BC。是平行四邊形，

■1?AB-CD,BC=AD,OB=OD,

OE1BD,

???BE=DE,

COE的周長為10,

DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10,

???平行四邊形ABC。的周長=2(BC+CD)=20；

故選：C.

由平行四邊形的性質(zhì)得出4B=CD,BC=AD,OB=OD,再根據(jù)線段垂直平分線的性

質(zhì)得出BE=CE,由ACDE的周長得出BC+CD=6cm,即可求出平行四邊形ABCD的

周長.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形、平行四邊形周長的

第10頁，共23頁

計(jì)算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

10.【答案】B

【解析】解：???正方形的邊長為12,且差=不

Cb,7

?,.BE—5,CE=7,

:.AE=7AB2+BE?=V122+52=13,

①點(diǎn)尸在CD上時(shí)，如圖1,在RtZkABE和RtaBC尸中,

(BF=AE

bw=BC'

/.Rt△ABE三Rt△BCF(HL),

???Z,BAE=乙CBF,

vZ.BAE+/-AEB=90°,

??.Z.CBF+Z-AEB=90°,

:.乙BME=90°,

:.BFJ.AE,

=

S〉A(chǔ)BE=5x13,BM-x12x5,

解得BM=詈

②點(diǎn)尸在4。上時(shí)，如圖2,

在和Rt△B4F中，

(BF=AE

=BA'

???Rt△ABEzRt△BAF(HL),

???AF=BE,

連接EF,則四邊形ABEF是矩形，

：?BM=-AE=—,

22

綜上所述，BM的長為,或￡.

故選：B.

利用勾股定理列式求出AE,再分①點(diǎn)F在CO上時(shí)，利用“HL”證明RtAABE和/?￡△

BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得4B4E=NCBF,再求出8F14E,利用三

角形的面積列式求解即可得到BM的長；②點(diǎn)F在力。上時(shí)，利用“HZ,”證明Rt△力BE和

RSBAF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得4F=BE,連接EF,可得四邊形4BEF

是矩形，再根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分解答.

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形

更形象直觀.

11.【答案】2+V3

【解析】解：實(shí)數(shù)2-6的倒數(shù)是義="2：工令=2+6.

2—V3(2—V3)(2+V3)

故答案為：2+6.

利用倒數(shù)的定義，以及分母有理化性質(zhì)計(jì)算即可.

此題考查了分母有理化，以及倒數(shù)，熟練找到有理化因式也是解本題的關(guān)鍵.

12.【答案】15

【解析】解：連接4C,

???四邊形4BCD是矩形，

???AD//BE,AC=BD,且乙408=4a40=30°,

???(E=Z.DAE,

又???BD=CE,

CE=CA,

??Z.E=Z.CAE,

vZ.CAD=/-CAE+Z.DAE,

???4E+=30°,即4E=15°,

故答案為：15.

連接4C,由矩形性質(zhì)可得NE=NDAE、BD=AC=CE,知/E=tCAE,而/4DB=

乙CAD=30°,可得4E度數(shù).

本題主要考查矩形性質(zhì)，熟練掌握矩形對角線相等且互相平分、對邊平行是解題關(guān)鍵.

13.【答案】60°

【解析】解：如圖，連接BE,

在菱形4BCD中，Z.BAC=I^BAD=1x80°=40°,

第12頁，共23頁

???EF是AB的垂直平分線，

:.AE=BE,

??.乙ABE=/.BAC=40°,

???菱形/BCD的對邊,

???Z-ABC=180°-乙BAD=180°-80°=100°,

:.Z-CBE=乙ABC-Z-ABE=100°-40°=60°,

由菱形的對稱性，Z-CDE=^CBE=60°.

故答案為60。.

連接8E,根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得4比4c=40。，根據(jù)線段垂直平分線上

的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得4E=BE,根據(jù)等邊對等角可得乙4BE=4B4C,再根據(jù)

菱形的鄰角互補(bǔ)求出/ABC,然后求出4CBE,最后根據(jù)菱形的對稱性可得4CDE=乙CBE.

本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對等

角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】(9,0)或(—1,6)或(3,-4)

【解析】

【分析】

根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得到。點(diǎn)坐標(biāo)的三種情況：當(dāng)AB“CD,

4C〃BD時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(9,0)；^AD//BC,4C〃BD時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,6)；^AB//CD,

時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4).

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，要求學(xué)生掌握平行四邊形的性質(zhì)并會靈活運(yùn)用.

【解答】

解：???兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，.??可以分以下三種情況分別求出。點(diǎn)的

坐標(biāo)：

①當(dāng)AB〃CD,4C〃BC時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,0)；

②當(dāng)4D〃BC,AC〃BD時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,6)；

③當(dāng)4B〃CD,AD//BC時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-4).

故D點(diǎn)坐標(biāo)為(9,0)或(一1,6)或(3,-4)；

故答案為:(9,0)或(一1,6)或(3,-4).

15.【答案】100°

【解析】解：設(shè)NB4E=x,

vAE=AF=EF=CD,乙B=乙D,

???乙B=乙D=Z-AEB=Z.AFD,

???△ABEwa/O尸(SAS),

:.乙BAE=Z-DAF=%,

vBC//AD,

???Z-AEB=Z.EADy

:.Z-ABC=Z.AEB=Z-EAF+Z-DAF=60°+%,

vZ-ABC+/-AEB+^BAE=180°,

???60。+%+60。+%+%=180°,

:.x=20°,

:./-BAD=20°+60°+20°=100°.

故答案為：100°.

利用菱形以及等邊三角形的性質(zhì)用x表示出NB和ZB4),進(jìn)而得出答案.

此題主要考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定解答，難度一般.

16.【答案】9

【解析】解：連接AC、CF,如圖，

???正方形4BCD的面積為1,

BC=1,

???四邊形4BCD和四邊形CEFG都是正方形，

???Z.ACD=45°,乙FCG=45°,AC=V2BC=y/2,CF=

V2C￡，

???AACF=45°+45°=90°,

VCH=V5，”是4尸的中點(diǎn)，

???AF=2CH=2遙，

在Rt△4CF中,CF=y]AF2-AC2=V20-2=3或，

CE=—CF=3，

2

???正方形CEFG的面積為9,

故答案為：9.

連接47、CF,如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得41CD=45。，ZFCG=45°,利用勾股定理

計(jì)算出CF=3V2,然后根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵

第14頁，共23頁

是能正確作出輔助線.

17.【答案】解：(1)何一V12+

=3V3-2V3+y

=鴻

(2)2弼+V18

=2+：x3V2

—2V16X3V2

=8x3V2

=24V2.

【解析】(1)先把每一個(gè)二次根式化成最簡二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)利用二次根式的乘除法法則，按照從左到右的順序，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

本題考查了二次根式的加減法，乘除法，準(zhǔn)確熟練地把每一個(gè)二次根式化成最簡二次根

式是解題的關(guān)鍵.

18.［答案】解：(1)AD=A/22+I2=V5>DC=V42+22=2>/5>AB=V32+32=3-72>

BC=V22+32=/13?

故四邊形/BCD的面積為：

5x5—2x1+2—3x3+2—3x2+2—4x2+2

=25-2-4.5-3-4

=12.5,

四邊形4BCD的周長為：V54-2V5+3V2+V13=3V5+3V2+V13;

(2)AD=V5.DC=2b，AC=5,

AD2+DC2=AC2,

/.ADC=90°.

【解析】(1)根據(jù)面積的和差關(guān)系和勾股定理，結(jié)合周長的定義即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論.

本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】(1)證明：在AABF與AOEC中

??-D是BC中點(diǎn)，

BD=CD

(24題圖)

■：BELAE,CFJ.AE

4BED=乙CFD=90。，

在△48尸與4DEC中

ZBED=乙CFD

乙BDE=乙CDF,

BD=CD

BED三4CFD(AAS)

ED=FD,

■■■BD=CD

四邊形BFEC是平行四邊形：

(2)與AAB。面積相等的三角形有ZMCD、△CEF.△BEF,△BEC.△BFC.

【解析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出ED=FD,進(jìn)而利用平行四邊形的判定

證明即可；

(2)利用三角形的面積解答即可.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形

的判定和性質(zhì)得出ED=FD.

20.【答案】解：如圖所示：延長4B,過點(diǎn)C作CD14B延長線

于點(diǎn)。，

由題意可得：BC=13m,DC=12m,

故BQ2=Be2=52,即BD=5米，

AD=9m,

^\AC2=AD2+CD2=152,即AC=15米,

故AC+AB=15+4=19(m),

答：樹原來的高度19米.

第16頁，共23頁

【解析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，得出8D的長是解題關(guān)鍵.

首先構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而求出BD的長，進(jìn)而求出AC的長，即可得出答案.

21.【答案】＞

［解析】解：(1)V2021-V2020>V2022-V2021;

故答案為：＞；

x/n-Vn-1

-yfn~Vn—l(n>2,且n是正整數(shù));

(Vn+Vn-l)(x/n-Vn-l)

(3)原式=|V2-1-(V3-V2)|+|V3-V2-(V4-V3)|+|V4-V3-(V5-V4)|+???

+|V100-V99-(V101-V100)|

=(V2-1)-(V3-V2)+(V3-V2)-(V4-V3)+(V4-V3)-(V5-V4)+-

+(V100-V99)-(V101-V100)

=V2-1-V101+10

=V2+9-VToT.

(1)利用題目中的幾個(gè)不等式的大小的規(guī)律求解；

(2)利用分母有理化進(jìn)行化簡；

(3)先分母有理化，再去絕對值，然后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和分

母有理化是解決問題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：(1)連接ZC,如圖,

???四邊形4BCD是平行四邊形,

???Z-ABE=Z-ADF,

在△4BE和△4DF中，

?ABE=Z.ADF

44EB=44FD=90。，

=AF

???△ABE三△4DF(44S),

:.AB=AD,

???平行四邊形/BCD是菱形，

.?.AB=BCfAC±BD,

vEC=4,AE=8,AEd.BC,

4c=>JEC2+AE2=4V5.

設(shè)4B=BC=x,則BE=BC-EC=x-4,

在中，AE2+BE2=AB2,貝!)8?+(x—4/=/,

解得，x=10,即AB=BC=10,

^^ABCD-AE-BC=-AC-BD,

8x10=-x475xBD,

2

解得，BD=8A/5;

(2)如圖，延長AM、EC交于點(diǎn)F,

.-.AD//BC,

???乙D=乙FCM,乙DAM=乙F,

???點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，

???DM=CM,

在△ADM和△FCM中，

2D=乙FCM

乙DAM=ZF，

DM=CM

???△ADM三△FCM(7L4S),

??.4M=FM=〃F,

2

??-EM是RtA4EF斜邊4尸上的中線,

EM=-AF=AM,

2

即AM=EM.

【解析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理可得4B=4。，再根據(jù)

菱形的判定可得四邊形4BC。是菱形，然后利用勾股定理分別求出BC、AC的長，最后

第18頁，共23頁

利用等面積法即可得解；

(2)如圖，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得AM=FM,再根據(jù)直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半即可得證.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知

識點(diǎn)，較難的是題(2),通過作輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

23.【答案】解：(1)如圖1,連接BD,

???點(diǎn)E、”分別為邊AB、AD的中點(diǎn),

EH//BD.EH=^BD,

???點(diǎn)F、G分別為BC、DC的中點(diǎn)，

???FG//BD.FG=\BD,

AEH=FG.EH//FG,

二中點(diǎn)西邊形EFGH是平行四邊形；

(2)四邊形EFGH是菱形，

如圖2,連接AC、BD,

H,D

圖2

vZ-APB=Z.CPD,

:.Z-APB+/.APD=乙CPD+乙APD,即4APC=(BPD,

在△/「仁和中，

AP=BP

乙APC=(BPD,

PC=PD

???△APC?BPD(S/S),

:.AC=BD,

?.?點(diǎn)E、F、G分別為48、BC、CO的中點(diǎn)，

???EF=-AC,FG=-BD,

22

???EF=FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

二四邊形EFGH是菱形；

(3)四邊形EFGH是正方形，

設(shè)4C、BD交點(diǎn)為0,AC與PD交于點(diǎn)M,AC與EH交于點(diǎn)、N,

??,△APC=ABPD,

:.Z.ACP=乙BDP,

v乙DMO=乙CMP,

???乙COD=LCPD=90°,

vEH//BD.AC//HG,

???乙EHG=Z.ENO=Z.BOC=乙DOC=90°,

???四邊形EFGH是菱形，

四邊形EFGH是正方形.

【解析】⑴連接B。、由點(diǎn)E、H分別為邊4B、力。的中點(diǎn)，同理知FG〃BD、FG=：BD,

據(jù)此可得EH=FG、EH//FG,即可得證；

(2)連接力C、BD,APg^BPD得AC=BD,由EF=^AC.FG=^8。知EF=FG,

結(jié)合四邊形EFG"是平行四邊形即可得；

(3)設(shè)4C、8。交點(diǎn)為0,AC與PD交于點(diǎn)M,AC與EH交于點(diǎn)、N,由AAPC三ASP。知

Z.ACP=ABDP,根據(jù)乙DM。=NCMP知kC。。=NCPD=90°,再禾U用E77//BD、

AC//HG^ti\^EHG=90。即可得.

本題主要考查四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理、平行四邊

形和菱形、正方形的判定與性質(zhì).

24.【答案】解：(1)VBC=a,AC=b,Z.ACB=90°,

???AB=y/BC2+AC2=y/a2+b2;

(2)作FG作BC于G,FHLAC于H,如圖1所示：

第20頁，共23頁

B.

圖1

則四邊形CGFH是矩形,

?.?點(diǎn)F到AC和BC的距離相等,

FG=FH,

二四邊形CGFH是正方形，

CG=CH=FG=FH,

設(shè)CG=CH=FG=FH=X,則8G=6-x,AH=AC-CH,

???△BCF的面積+△4CF的面積=△4BC的面積，乙4cB=90°,

111

.：-BCxFG+-ACxFH=-ACxBC,

Bpix6x+|x8x=1x6