2020考研數(shù)學(xué)二真題【含解析】

2020年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定的位置上.

（1）當(dāng)x0+下列無窮小的階數(shù)最高的是（）.

x2x

t3

（A）(e1)dt（B）ln1tdt

00

sinx1cosx

（C）2（D）3

sintdt0sintdt

0

【答案】（D）

2

xt2

解析：(A)((e1)dt)'ex1x2(x0)

0

x3

3'32

(B)(ln(1tdt)ln(1
x)x(x0)

0

sinx

2'22

(C)(sintdt)sin(sinx)cosxx(x0)

0

1cosx

3'

(D).(sintdt)sin3(1cosx)sinxcx4(x0)

0

1

x1

eln1x的第二類間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

（2）函數(shù)fx

ex1x2

（A）1(B)2(C)3(D)4

【答案】（C）

解析：間斷點(diǎn)為x1,0,1,2

limfx為無窮間斷點(diǎn)，

x1

1

limfx為可去間斷點(diǎn)

x02e

limfx為無窮間斷點(diǎn)，

x1

limfx為無窮間斷點(diǎn)，

x2

1arcsinx

（3）dx（）

0

x1x

22

(A)(B)(C)(D)

4848

【答案】（A）

2

212

1

1arcsinx

解析：dx2arcsinxdarcsinx=arcsinx==

0x1x0024

n

（4）函數(shù)fxx2ln1x，當(dāng)n3時(shí)，f0（）.

n!

(A)(B)(C)

n2nn

!

n

2

2

2

!!

(D)n

n

【答案】（A）

nn21n12n2

解析：fxln1xxnCln1x2xnCln1x2

n2n2n3nn!

f0Cnln1x2x0nn111n3!

n2

xy,xy0

，給出下列結(jié)論

（5）對(duì)函數(shù)fx,yx,y0

y,x0

f2f

①0,01③lim

0,01fx,y0④limlimfx,y0

x②xyx,y0,0y0x0

則正確的個(gè)數(shù)為（）.

(A)4(B)3(C)2(D)1

【答案】（B）

f(x,0)f(0,0)x0

解析：flimlim1，①對(duì)；

0,0

xx0x0x0x0

limfx,ylimxy0，則limlimfx,y0，③與④對(duì)；

x,y0,0x,y0,0y0x0

2f(0,y)f(0,0)f(0,y)1

flimxxlimx1，②錯(cuò).

0,0

xyy0y0y0y

于是正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).

（6）函數(shù)fx在2,2上可導(dǎo)，且fxfx0，則().

21

(A)ff1(B)f0

f

f12f23

(C)e(D)e

1ff1

e1

【答案】（B）

fxfxx

解析：因?yàn)閒xfx0，所以，所以110，記Fxefx，

fxfx

則Fx0，F(xiàn)0f0,F1ef1，因?yàn)镕x單調(diào)增，所以F0F1，

f0

即f0ef1，即e

f1

（7）已知四階矩陣Aaij不可逆，a12的代數(shù)余子式A120，1,2,3,4為矩陣A的列向量

組，A*為A的伴隨矩陣，則方程組A*x0的通解為（）.

(A)xk11k22k33,其中k1、k2、k3為任意常數(shù)

(B)xk11k22k34,其中k1、k2、k3為任意常數(shù)

(C)xk11k23k34,其中k1、k2、k3為任意常數(shù)

(D)xk12k23k34,其中k1、k2、k3為任意常數(shù)

【答案】（C）

ArAA

解析：因?yàn)椴豢赡?，所?，又因?yàn)?20，所以rA3，所以

rA=3，rA=1，又因?yàn)?2A0，所以1,3,4線性無關(guān)，又因?yàn)锳AO，所以

A*x0的通解xkkk,其中k、k、k為任意常數(shù).

112334123

（8）設(shè)A為三階矩陣，1,2為矩陣A的屬于特征值1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，3為

100

矩陣A的屬于特征值1的特征向量，則使得P1AP010的可逆矩陣P為（）.

001

(A)13,2,3(B)12,2,3

(C)13,3,2(D)12,3,2

【答案】（D）

AA

解析：由題知1=1,A2=2,A3=3，所以（1+2）=1+2,A(3)=3，

100

1

令P,,，則PAP010.

1232

001

二、填空題：9～14題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定的位置上.

2

xt1d2yˇ

（9）設(shè)，則.

2

2dx

yln(tt1)t1

答案：應(yīng)填2.

dy1t

(1)

dytˇt21t211

dt

解析：，

dxdxtt

dtt21

11

2dd1122

dydtt1dy

ttˇ，則2.

dx2dxdtdxt2tt3dx2

t1

t21

11ˇ

（10）dyx31dx.

0y

2

答案：應(yīng)填(221).

9

解析：交換積分次序得，

1

111x223

33

dyx1dxdxx1dyxx1dx

0y000

11332

x1d(x1)(221).

0

39ˇ

（11）設(shè)zarctan(xysin(xy))，則dz.

(0,)

答案：應(yīng)填(1)dxdy.

ydxxdycos(xy)(dxdy)

解析：dzdarctan(xysin(xy))ˇ，

1(xysin(xy))2

則dz(1)dxdy.

(0,)

（12）斜邊為2a的等腰直角三角形平板鉛直地沉浸在水中，斜邊與水平面齊平，重力加

速度為g，水的密度為，則該平板一側(cè)受到的水壓力為.

13

答案：應(yīng)填ga.

3

aa13

解析：水壓力為Fg(ay)2ydy2g(ay)ydy
ga.

003

（13）設(shè)yy(x)滿足y2yy0，且y(0)0，y(0)1，則y(x)dx.

0

答案：應(yīng)填1.

解析：y2yy0的特征方程為r22r10，則r1為二重根，微分方程的

x

通解為y(CCx)e.

12

x

y(0)0y(0)1C0C1yxey(x)dxxexdx1.

由，得，，則，

1200

a011

0a11

（14）行列式

11a0

42

答案：應(yīng)填a14a.10a

aaaa

11111111

0142

a110a110a1a4a

解析：原式=aa

11a011a002a11

110a110a021a1

三、解答題：15～23小題，共94分，請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分10分）

x1x

求曲線yx(x0)的斜漸近線.

1x

解析：只考慮x0的情形

x

yxx

x1

klimlim

limx，

xx

xx(1x)1xe

1x1xxex1xx(1x)x

blimyxlimlim

xx

xx

ex(1x)ee(1x)

xxx

1x1xln11xln

1x

limxe1limxee1limxe1x

1

xexex

e1x

1

1xln11

1x1111ln1

limx1xlnlimxlimt1t

ex1xex1et0t

x

1tln(1t)1

lim，

2

et0t2e

11

于是，曲線的斜漸近線方程為yˇx.

e2e

（16）（本題滿分10分）

fx1

已知函數(shù)fx連續(xù)，且lim1,gxfxtdt,求gx，并證明gx在

x0x0

x0連續(xù).

uxt11xfx

解析：x0時(shí)，1fxtdtxfudu，gxfudu，

當(dāng)gx0x0

x20x

當(dāng)x0時(shí)

1x

fudu0fudu

x

gxg00

x0fx1

g0limlimlimlim，

2x

x0xx0fxxx0x02x2

11fudu,x0

20

gxxx

所以1，

,x0

2

1fx1

limgxlim[fudu1=g0

1fx11fx

]limˇfudulim=lim

x0x0x20xx0x20x0xx02x2

所以gx在x0連續(xù).

（17）（本題滿分10分）

求函數(shù)f(x,y)x38y3xy的極值．

f2

x3xy011

解析：令得駐點(diǎn)(0,0),,

ˇf

24y2x0612

y

2

f2f2f

且26x,1,48y.

xxyy2

22

(x,y)2fffACB2極值

ABC

x2xyy2

0100

(0,0)無

111140極小

,

612

11111

故f(x,y)在6,12處取得極小值且極小值f6,12216

.

（18）（本題滿分10分）21

x22x

設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)椋?，+）且滿足2fxxf，求fx，并

x1x2

13

求曲線yfx,y,y及y軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

22

121

111t2tt2

解析：令x，得2f()f(t)，即

2

ttt11t2

1

t2

22

212tt212xx

2tf()f(t)，即2xf()f(x)，

t1t2x1x2

2

21x2xx

與題中的2fxxf聯(lián)立得，f(x)，

x11x2

x2

133

由yf(x)
,得x，由y得x3.

232

32123x123

2

體積為V()3()33(1x)dx(2)(3
)

223

3

2

3(23)3.

23666

（19）（本題滿分10分）

x2y2

設(shè)平面區(qū)域D由直線x1,x2,yx與x軸所圍,計(jì)算dxdy.

Dx

x2y2

解析：令I(lǐng)dxdy

Dx

12

4dcosrdr

01

cosˇcosˇ

2

2

1rcosˇ

4()dˇ

0

cosˇ21

cosˇ

31

4d

3ˇ

20cosˇ

3

4secdtanˇ

0

2

ˇ

332

secˇtan4ˇ4tansecdˇ

2020

32ˇ3

4(sec21)

22secd0

ˇ

32ˇ333

4sec4secdˇ

220

02

334

2Iln(sectan)

220

33

2Iln(21)

22

3

I[2ln(1ˇ2)]

4

（20）（本題滿分11分）設(shè)

x2

函數(shù)f(x)t

e1dt；

2

（1）證明：存在(1,2)，使得f()(2)e.

2

（2）證明：存在(1,2)，使得f(2)ln2e.

證明：(1)令F(x)(2x)f(x),由題意f(1)0,F(1)0,F(2)0

因?yàn)镕(x)在1,2上連續(xù)，在1,2可導(dǎo)，所以由羅爾定理可知(1,2)使F()0,即

2

f()(2)e

（2）令g(x)lnx,f(x),g(x)在1,2上連續(xù)，在1,2可導(dǎo)，且g(x)0,所以由柯西中

f()f(2)f(1)2

值定理可知存在(1,2),使得，即f(2)ln2e.

g()g(2)g(1)

（21）（本題滿分11分）

設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(x)0，曲線yf(x)（x0）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其上任意一

點(diǎn)M處的切線與x軸交于T，又MP垂直x軸于點(diǎn)P，已知曲線y
f(x)，直線MP以

及x軸所圍圖形的面積與三角形MPT面積之比恒為3:2，求滿足上述條件的曲線方程.

解析：設(shè)所求曲線方程為yy(x)，任一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y)，

由題意得MPy

tany，即TP，

TPy

三角形MPT的面積為

1

1yy2

SMPTPy，

22y2y

x

曲邊三角形OMP的面積Sy(x)dx，

0

2

y2x

由兩面積之比為常數(shù)得y(x)dx，

2y30

2

兩邊關(guān)于求導(dǎo)得2yy2，

2yyyyy4y(x)，即

xy

y233

dp

令p(y)y，則yp，

dy

dp2dp2

原方程化為ypp2，即p[yp]0。

dy3dy3

由p0得yC，這是原方程的一個(gè)解但不合題意舍去。

2

dp22

p0，得3y3

由ypC1y，即Cy，

dy31

1

y3

從而CxC，

121

3

由曲線過原點(diǎn)，得y0，代入得C20.

x0

11

3Cx，

所求曲線為y
31

由C的任意性，曲線可表示為yCx3，C為任意常數(shù).

1

（22）（本題滿分11分）

求二次型f(x,x,x)x2x2x22axx2axx2axx經(jīng)可逆線性變換

123123122313

x1y1

222

xPy化為二次型g(y,y,y)yy4y2yy，

2212312312

xy

33

（1）求a；

（2）求可逆矩陣P.

1aa110

解析：（1）設(shè)Aa1a，B110，由題意可得，r(A)r(B)，而r(B)2，

aa1004

1

則r(A)2，于是可得a.

2

（2）對(duì)于二次型f，

f(x,x,x)x2x2x2xxxxxx

123123122313

11333

(xxx)222xx

12223x+x223

1134243

(xxx)2(xx)2

12223423

11

zxxxxz
zz

1111

112223113233

322

令z(xx)，即x
2zz，得fzz，取P021，

223223121

233

z3x3