【三維設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 第七章第三節(jié)空間點、直線、平面間的位置關(guān)系 A

第七章立體幾何第三節(jié)空間點、直線、平面間的位置關(guān)系抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練

[備考方向要明了]考

什

么1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．2.能證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.

怎

么

考1.點、線、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點，也是高考的熱點．2.以考查點、線、面的位置關(guān)系為主，同時考查邏輯推理

能力與空間想象能力．3.多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題

中，屬低中檔題.名稱圖示文字表示符號表示公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號表示公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l二、空間直線的位置關(guān)系位置關(guān)系的分類2．平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相

．3．等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角

．平行相等或互補(bǔ)4．異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O

作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角．(2)范圍：

．銳角(或直角)三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)直線l在平面α內(nèi)直線l與平面α相交l?α無數(shù)個l∩α＝A一個位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)直線l與平面α平行l(wèi)∥α0個四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)兩平面平行兩平面相交

＝l

個(這些公共點均在交線l上)α∥β0個α∩β無數(shù)答案：

C解析：如圖與AB共面也與CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5條．1．(教材習(xí)題改編)平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為 (

)A．3

B．4C．5 D．6答案：

D解析：由異面直線的定義可知選D.2．下列說法正確的是 (

)A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面3．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 (

)A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面答案：

B解析：在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯．4．(教材習(xí)題改編)兩個不重合的平面可以把空間分成______部分．答案：

3或4解析：由題意知兩個不重合的平面可以平行或相交，平行時分空間3部分，相交時分空間4部分．5.一個正方體紙盒展開后如圖所示，

在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________．解析：把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體如圖所示，則AB⊥EF，EF與MN為異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③1．三個基本性質(zhì)的作用(1)基本性質(zhì)1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)．(2)基本性質(zhì)2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件．(3)基本性質(zhì)3的作用：①判定兩平面相交；②作兩相交平面的交線；③證明多點共線．[精析考題][例1](2012·臺州模擬)以下四個命題中①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數(shù)是 (

)A．0

B．1C．2 D．3[答案]

B[自主解答]①中顯然是正確的；②中若A、B、C三點共線則A、B、C、D、E五點不一定共面．③構(gòu)造長方體或正方體，如圖顯然b、c異面故不正確．④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)1．(2011·沈陽模擬)如圖是正方體或四面體，P、Q、

R、S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是 (

)解析：A、B、C圖中四點一定共面，D中四點不共面．答案：D2．(2011·南通月考)定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點，且P不在α內(nèi)，若直線

AP、BP與α分別交于C、D點，求證：不論P在什么位置，直線CD必過一定點．證明：設(shè)定線段AB所在直線為l，與平面α交于O點，即l∩α＝O.由題意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP＝P，∴AP、BP可確定一平面β且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.∵A∈β，B∈β，∴l(xiāng)?β，∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.∴不論P在什么位置，直線CD必過一定點．[沖關(guān)錦囊]1．證明線共點問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上．2．證明點或線共面問題，一般有以下兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余線(或點)均在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合.[精析考題])[例2](2012·金華模擬)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)[自主解答]圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②、④中GH與MN異面．[答案]

②④3．(2012·廣州模擬)若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案：

A解析：若兩直線為異面直線，則兩直線無公共點，反之不一定成立．4．(2012·杭州模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中與AC成“黃金異面直線”共有________對．解析：正方體如圖，若要出現(xiàn)所成的角為60°的異面直線，則直線為面對角線，與AC構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條．答案：4[沖關(guān)錦囊]1.異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不

是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件

出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯

定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．2.客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一

點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.[精析考題][例3]

(2011·全國高考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為________．[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)5．(2012·滄州模擬)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是 (

)A．45° B．60°C．90° D．120°答案：

B6．(2012·青島模擬)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為________．[沖關(guān)錦囊]求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下1．一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；2．二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；3．三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．解題樣板構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系[考題范例](2011·淄博模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中所有正確的命題是 (

)A．①④ B．②④C．①

D．④[快速得分]我們借助于長方體模型來解決本題．對于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)