備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)名師預(yù)測模擬卷（上海專用）模擬卷六（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考名師預(yù)測模擬卷(6)

—.填空題(共12小題)

374

1.三階行列式|1561的值為44.

200

【分析】利用行列式展開式的對角線法則直接求解.

374

【解答】解：|1561=3x5x0+1x0x4+6x7x2-2x5x4-6x0x3-7x1x0=44.

200

故答案為：44.

2.己知集合A=(-oo,2),則AnNu_IO—l}—.

【分析】利用交集定義直接求解.

【解答】解：集合A=(YO,2),

則A0|N={0,1}.

故答案為：{0,1}.

3.與角只乃終邊相同的最小正角的大小是-.

6~6~

【分析】根據(jù)終邊相同角的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

【解答】解：?和U乃終邊相同的角為x=U/r+2%r,kwZ,

66

.,?當(dāng)4=-1時，X=—9

6

.?.與u乃終邊相同的最小正角是￡,

66

故答案為：

6

4.若O為坐標(biāo)原點，點4(4,0)、3(4,4)、C(2,6),則直線AC與03交點P的坐標(biāo)為

(3,3)_.

【分析】分別求出直線直線AC和直線OB的方程，聯(lián)立方程組，能求出直線AC與。B交點尸的坐標(biāo).

【解答】解：???O為坐標(biāo)原點，點A(4,0)、3(4,4)、C(2,6),

v6—0

直線AC的方程為：—整理得：3x+y-12=0,

x-42-4

直線08的方程為：上=±,解得x-y=0.

x4

[3x+y-12=0

聯(lián)立《，解得x=3，y=3,

[x-y=0

直線AC與OB交點P的坐標(biāo)為(3,3).

故答案為：(3,3).

5.某次體檢測得6位同學(xué)的身高分別為172、178、175、180、169、177(單位：厘米)，

則他們身高的中位數(shù)是176(厘米).

【分析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，計算該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可.

【解答】解：把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為169、172、175、177、178、180,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是gx(175+177)=176.

故答案為：176.

6.在AA3c中，已知。=60。，b=y[6,c=3,則3=45度.

【分析】利用正弦定理結(jié)合大邊對大角，容易求出3.

【解答】解：因為C=60°,b=底,c=3,

由正弦定理得一J=—即_一=巫，

sinCsinBsin60°sinB

，sinB=也，又因為b<c,所以3為銳角，

2

故8=45度.

故答案為：45.

7.從3個函數(shù)：y=xy=V和y=x中任取2個，其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(Y),0)內(nèi)

單調(diào)遞增的概率是--

一3一

【分析】基本事件總數(shù)〃=C；=3,利用列舉法求出其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(-oo,0)內(nèi)單

調(diào)遞增包含的基本事件有2個，由此能求出其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(ro,0)內(nèi)單調(diào)遞增

的概率.

【解答】解：從3個函數(shù)：y=x3,y=/和y=x中任取2個，

基本事件總數(shù)〃=C；=3,

其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(-oo,0)內(nèi)單調(diào)遞增包含的基本事件有2個，分別為:

323

y=xfy=x^y=x,y=x,

故其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(TO,0)內(nèi)單調(diào)遞增的概率是尸=』.

3

故答案為：

3

8.已知耳(-2,0)、g(2,0),設(shè)P是橢圓/+2;/=8與雙曲線尤2-丫2=2的交點之一，則

|「耳||「￡|=6.

【分析】求出橢圓與雙曲線的交點坐標(biāo)，然后利用距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：由題意可得/：+2『=8,x=±2；y=±y/2,不妨尸(2,a),

X2-y=2

所以|能|?|可|=J(2+2)2+(0)2."(2-2)2+(揚2=6.

故答案為：6.

9.(x+y-z)'的展開式中，孫2z?的系數(shù)是_一60_.

【分析】由題意利用乘方的意義，組合數(shù)公式，得出結(jié)論.

【解答】解：(x+y-z)6表示6個因式(x+y-z)的乘積，故其中有一個因式取x,

其中2個因式取y,其余的因式都取-z,

即可得到展開式中孫V的項，故該項的系數(shù)為C：?《?(-爐=-60,

故答案為：-60.

10.已知々eR,過定點A的動直線依+y-l=0和過定點5的動直線犬-0-2+3=0交于

點P,則PA2+PB2的值為13.

【分析】由兩直線方程可得定點A(0,l),5(-3,-1),再由兩直線垂直，求出IAS?進(jìn)而可以

求解.

【解答】解：由己知可得A(0,l),B(-3,-l),

因為直線fcv+y-1=0與直線x-Ay+3=0互相垂直，

所以PH+PB2=AB2=32+(1+1)2=13,

故答案為：13.

11.已知實數(shù)a>0,函數(shù)/'(?=--y,g(x)=x+a,若對任意司￡[一2々，2〃],總存在

1+ar

e[-2a,2a],使得/(9)，，g(%J，則。的最大值為_43—.

【分析】由題意可得/(%)*,,g(x).,由一次函數(shù)的單調(diào)性可得g(x)的最小值,討論當(dāng)

1

噫/為時，不等式不成立；當(dāng)-2tz?x<0時，/(x)=———再討論-2a與一的大小關(guān)

ax+—不

x

系，結(jié)合單調(diào)性求得最值，可得。的不等式，解不等式可得最大值.

【解答】解：對任意演€|-2?,2a],總存在々€[-2”，2a],使得/(x2)，，g(xj，

等價為g(x)而“,

由g(x)=x+a在[-2a,2a]遞增，可得g(x)的最小值為g(-2a)=-a,

所以一二7”一a在xe[-2a,2a]成立，

1+ax

當(dāng)0轟/為時，不等式不成立；

當(dāng)-2a,,x<0時，/(%)=----j-

QXH----

X

當(dāng)-2a<一-\=

即時,0)遞減，可得

\Ja

1時取得最大值-26

X"而

即有產(chǎn)，可得0<@4-3,綜上可得ae0；

一2&

1-1

當(dāng)一2a..—亍，即0<%43時,y=ar+上在[-2a,0)遞減，燈得x=2時取得最大值

X

2a

即有-a..：一2,..,解得o<小不].

-4cr-1

綜上可得，。的取值范圍是(0,4'5].

即有a的最大值為4；

故答案為：4T.

12.已知邊長為2的正方形ABCD邊上有兩點F、Q,滿足|PQ|..l,設(shè)O是正方形的中心,

則OPOQ的取值范圍是—[-2-1]

【分析】本題可采用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解，具體過程詳見解析.

【解答】解：根據(jù)題意，以點。為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)NPOQ=〃，則有

OPOQ=\OP\\OQ\cos0,

又由余弦定理可得，PQ2=OP'+0Q2-2OPOQcos0,

所以O(shè)P?OQ?cos6=g(OP?+OQ2-PQ2)

所以O(shè)戶=戶2+O02-尸^].

①當(dāng)點P,。為正方形對角頂點時，6=180。，此時|O戶|=|。。|=夜，

此時，\PQ\=2V2,則有麗?麗=；(2+2—8)=—2,即為的最小值.

②當(dāng)點P,。在同一條邊上時，

若P,Q分別為該邊的兩個端點時，OPLO。，且OP=OQ=0,PQ=2,此時麗?麗=0,

即為該情況下的最小值；

若點尸為邊的中點，。為邊的端點時，假設(shè)OP=1,OQ=y[2,PQ=\,此時

OP.Og=^x(l+2-l)=l,即為該情況下的最大值.

③當(dāng)P,。在相鄰邊上時，只有當(dāng)OP=OQ時，而取得極值，此時

如述一i)=i.

222

綜上可得，而的取值范圍為[-2,1].

二.選擇題(共4小題)

13.已知復(fù)數(shù)z="2-3a+(a2-l)i,aeR,貝U“a=0”是"z為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】利用純虛數(shù)的定義求出a,再利用充要條件的定義判定即可.

【解答】解:若復(fù)數(shù)z="2—3。+d-1?為純虛數(shù),

則卜2一3"-°，0或a=3，

[a2-1*0

.?.則a=0是z為純虛數(shù)的充分不必要條件，

故選：A.

14.已知/*)=19-4/,有反函數(shù)尸(x)=-gj9-4x2,xeA,則/(x)的定義域。

可能是()

A.B.[-1,0JC.10,|JD.[-3,3]

【分析】直接利用原函數(shù)的定義域和反函數(shù)的值域的關(guān)系，不等式的解法，集合間的關(guān)系的

應(yīng)用判斷A、B、C、。的結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系，

原函數(shù)的定義域為反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域為反函數(shù)的定義域；

故函數(shù)f(x)的定義域為：9-4/.0,整理得：-|領(lǐng)k|,

反函數(shù)尸'(*)=-；＞/9-4犬,的值域為：-|就尸(x)0,

一白3領(lǐng)k-3

故函數(shù)的定義域為：.22,故函數(shù)的定義域為：xe-3,0],

-|^F'(x)02

13

由于[-5,0]a[-5,0]，

故選：B.

15.若無窮等比數(shù)列他“｝各項的和為4,則外的取值范圍是()

A.(0,8)B.(0,4)0(4,8)

C.(-8,0)5。，1)D.(-8,0)0(0,1]

a2

【分析】由題意可得：一^—=4,q€(_1,0)0(0,1),可得：a,=4q-4q2=-4(夕-3)2+1，

\-q2

利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

a?

【解答】解：由題意可得：」匚=4,qe(-l,0)U(0.1),

1-q

可得：a,=4q-4c/2=-4(q—^)2+1,

qe(-l,O)時，a,e(-8,0).

qe(0,1)時，a2G(0,1].

a2e(-8,0)50,1].

故選：D.

16.設(shè)。是(0,+oo)的一個子集，稱函數(shù)尸f(x)(xe￡>)為“機智”的，若存在奇函數(shù)y=g(x),

使得/(x)=10式%,有兩個命題：

①若對任意XV。，都成立Ie。，fd)=—,則y=r(x)是“機智”的；

XXf(x)

②若對任意X,-GD,都成立/(I)=」一,則y=/-(%)是“機智”的.

XX/(X)

則下列判斷正確的是()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是假命題D.①、②都是真命題

【分析】由題設(shè)可推導(dǎo)出/(3=—L，分析其定義域即可.

X/(X)

【解答】解：由題可知g(x)為奇函數(shù),則有g(shù)(-x)=-g(x),

函數(shù)/(x)="網(wǎng)的定義域為{x|x>0},

?/?(!)=1o"他?=1()-$體>=-!—=-J—,

"Jx)10虱則/(x)

即/d)=—L,當(dāng)且僅當(dāng)X,'都是。中的元素，

Xf(x)X

而。是(0,+00)的-個子集，故①是真命題，②是假命題，

故選：A.

三.解答題(共5小題)

17.如圖，三棱柱4BC-ABC的底面是等腰直角三角形，ZACB=ZBCCt=90°,四邊形

4CGA是菱形，ZACC,=120°.

(1)證明：A,C1ABI；

(2)若AC=2,求點G到平面的距離?

(分析】(1)連接AG,證明AC,JLAC.結(jié)合BC±AC,8C_LCC；,推出8CJ_平面ACQA,，

即可證明AC_LBC.推出然后證明AC_L平面ABC，進(jìn)一步得到A。，入用.

(2)作AOLAC于點O，則A。J?平面ABC,求出三棱錐A-的體積，取AB上靠

近A的四等分點。，設(shè)點G到平面叱A的距離為〃，根據(jù)等體積變換，求解點G到平面

A34A的距離.

【解答】解：(1)證明：連接AG，

因為四邊形AACG為菱形，所以4G，AC.

因為3C_LAC,BC1CC,,ACp\CCt=C,

所以8C_L平面ACC|A，旦4Cu平面ACGA，所以ACL3C.

因為8C//BC，所以AC_L4G，

又因為AGrpc=C1,所以4。1,平面426，

又A耳U平面A8C，所以AC_LAB].

(2)由(1)知8CJ■平面AACG，

所以平面AACCJL平面A8C,

作AO-IAC于點O,則A。1平面ABC,

因為四邊形AAC0為菱形，幺AC=60。，

所以^AAC為等邊三角形，所以O(shè)為AC的中點.

三棱錐A-44G的體積sMiCi?A。=言.

取AB上靠近A的四等分點。，則ODL/W,且。。=在，

2

連接AQ,則由AB_LA。，AB_L。。旦OD「|AO=O，

J\A.

所以平面40。，從而A3LA8,則4。二卷一，

從而sAAo=—x2V2xYi己=布,

設(shè)點G到平面A84A的距離為〃，

根據(jù)等體積變換，則有吃“林:匕.胸，則力=當(dāng)，

所以點G到平面A84A的距離為零.

18.已知，(x)=log1，-6x+10).

2

(1)解不等式:f(x\,-1；

(2)若y=f(x)在區(qū)間［a,a+1］上的最小值為-2,求實數(shù)a的值.

【分析】⑴根據(jù)1%，-6》+10),,-1,可得f-6x+10..2,然后求出不等式的解集即可;

2

(2)利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，分a.3,a<2和Z,a<3三種情況，結(jié)合條件求出a的值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，f(x)的定義域為R.

由log,(x2-6x+10)?-1,得log1，-6x+10)?log12,

222

所以d-6x+10..2,則d-6x+8..O,解得x..4或％,2.

所以不等式f(x)?-1的解集為(-8,2］|J［4,+oo).

(2)^/=X2-6X+10=(X-3)2+1,

因為y=f(x)在區(qū)間［a,a+1］上的最小值-2,

所以f=(x-3)2+1,在xe［a,a+1］上的最大值為4,

又當(dāng)a..3時，r=(x-3)2+l,則f,皿=(a+I-3)2+l=4="=2+石；

當(dāng)a+【v3,即a<2時，/=(x-3)2+l,則北四=(“-3)2+1=4=a=3—G.

當(dāng)a<3,,a+l,即2,a<3時，顯然f的最大值不能取4.

綜上，a=2+石或3-5

19.某工廠承接制作各種彎管的業(yè)務(wù)，其中一類彎管由兩節(jié)圓管組成，且兩節(jié)圓管是形狀、

大小均相同的斜截圓柱，其尺寸如圖I所示（單位：cm）,將其中一個斜截園柱的側(cè)面沿例

剪開并攤平，可以證明由截口展開而成的曲線A.BCDA,是函數(shù)

f（x）=MCOS（（OA-）+M（--M生）的圖象，其中M>0,<y>0,如圖2所示.

（1）若“=5,6=13,a=45°,求y=/（x）的解析式；

（2）己知函數(shù)y=/（x）的圖象與x軸圍成區(qū)域的面積可由公式S=計算，若制作該種

CO

類彎管的一節(jié)圓管所用材料面積（即斜截圓柱的側(cè)面積）等于與之底面相同且高為ac機的圓

柱的面積，求。的值（結(jié)果精確到0.01°）.

【分析】（1）利用題中的條件，列出等式，解出參數(shù)”，。，即可解出;

（2）將截面畫出來,找出等量關(guān)系,即可解出.

【解答】解：（1）過點A-C且垂克于底面的平面去截斜截圓柱，截面如圖所示:

作AFJ.CE于點F,

依題意兩節(jié)圓管是形狀、大小均相同的斜截圓柱,

.?.M=a=5,CE=b=l3,CF=b—a=3,ZCA,D=45°,ZCA.F=45°,

Q

/.AF=------=8

tan45°

底面直徑為8,

.?.展開后44=8萬，OC=CF=8,

/.A（T乃，0），4（4肛0）,

71,

一=4萬

:函數(shù)/(x)=Mcos(5)+M(—K^k-),CD

71

CDCD---二-4〃A

.co

1

：.Ct)=—

4

jrjr

把點C(0,8)代入f(x)=Mcos(0x)+M(-一張！k—)得：McosO+M=8,r.M=4,

CDCD

Y

/(x)=4cos—+4(-4通!k4萬)?

4

(2)由(1)可知至即為底面周長，底面直徑為2二CF=b-a,

cotana

f((S)=M+M=b-a；

b-a24h-a

：.M=--------，/.——=-----71，

2cotana

.-.斜截圓柱側(cè)面積(上巴)%a,

tana22tana

圓柱的面積2萬(上幺)2乃a,

2tanatana

b-ab-a/b-a

-------x4x-------=24x(---------)x-2>

tana22tana

tana=1,:.a=45.00°.

22

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E與雙曲線C：5-\=l有共同的中心和準(zhǔn)線,

且雙曲線C的一條漸近線被橢圓E截得的弦長為4夜.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)若過點尸(0,m)存在兩條互相垂直的直線都與橢圓E有公共點，求實數(shù)加的取值范圍.

【分析】(1)求得雙曲線的準(zhǔn)線方程和漸近線方程，設(shè)橢圓的方程］+《=1(。＞方＞0)，

a~h~

運用準(zhǔn)線方程和弦長公式，解方程可得〃，。，進(jìn)而得到橢圓方程：

22

(2)當(dāng)橢圓的方程為匕+三=1,討論當(dāng)-3張M3時，直線和橢圓恒有交點；當(dāng)相＞3或

96

m＜-3時，設(shè)直線方程為y="+m,聯(lián)立橢圓方程，由判別式大于等于0,可得m,左的

不等式；再將A換為-工，可得〃2,2的不等式，結(jié)合不等式有解的條件，可得加的范圍;

k

同理可得當(dāng)橢圓的方程為匕+土=1,可得機的范圍.

248

【解答】解：(1)雙曲線C:(-t=1的準(zhǔn)線為尸土矗，即丫=±3百,

漸近線的方程為：y=土后，

由題意可得橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的方程￡+二=1(〃>6>0),

a-b~

所以可得￡=，二一=36,可得從=空上①，

C27

將一可代入橢圓中，可得e+於』，所以I層;

所以弦長為+3|Xj—x21=2x2J③成——~=4\/J,

整理可得乎2=2②,

3/r+a

由①②可得/=24,〃=§,或〃=9,Z?2=6?

3

所以橢圓的方程為上+工=1或E+工匚=1:

96248

(2)當(dāng)橢圓的方程為《+《=1,

96

當(dāng)-琛M3時，過點P(0，㈤存在兩條互相垂直的直線都與橢圓E有公共點;

當(dāng)機>3或〃?<-3時，由題意可得直線的斜率存在且不為0,設(shè)為3

聯(lián)立卜'："+?可得(3+26)/+4最+2裙-18=0,

[3xz+2y=18

由△..0可得(4初2)2-4(3+2k2)(2加-18)..0,

化為優(yōu),9+6公，

即汽.亡2①

6

將％換為.，可得味2,,9+,

即」…止2②

k26

首先公二2>0,所以滿足①②的％存在等價為o<V*,,i,

66

即3<|相|”V15,

綜上可得m的范圍是[-715,V15]；

當(dāng)橢圓的方程為（+*=1,同理可得，”的范圍是[-半，浮

21.已知；LeR,一個項數(shù)為N的有窮實數(shù)列｛%｝（M.3）稱為“人數(shù)列”，若其滿足下列三

個條件：①a,<a2,ax_,>aN；②當(dāng)1融N-1時，4*/旬;③當(dāng)1融N-1時，

+M+2,4<4+1

[ak-Aak_t,ak>ak+l

（1）若存在義使得數(shù)列1、x、2為“人數(shù)列”，求x的值；

（2）已知存在有窮等比數(shù)列為''右數(shù)列"，求實數(shù)4的取值范圍；

（3）設(shè)&｝是各項均為正整數(shù)的2"+1項數(shù)列，q=7,與力=9,且當(dāng)砥今10時，以

勺=4”為通項的數(shù)列出｝（0到2"-*,/eN）都是“乙數(shù)列”，求數(shù)列%最大項的值.

【分析】（1）由題意可得，